第二讲特殊二次函数的图像.docx

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第二讲特殊二次函数的图像

第二讲特殊二次函数的图像

知识框架

知识点

1、二次函数的图像

一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到．

抛物线（其中a、c是常数，且）的对称轴是y轴，即直线x=0；顶点坐标是（0，c）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点

2.二次函数的图像

一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到．

抛物线（其中a、m是常数，且）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x=-m；顶点坐标是（-m，0）．当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．

【例1】在同一平面直角坐标系中，画出函数、和的图像

【例2】将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？

完成下表．

抛物线

开口方向

对称轴

顶点坐标

【例3】说出下列函数的图像如何由抛物线平移得到，再分别指出图像的开口方向、

对称轴和顶点坐标．

（1）；

（2）．

【例4】在函数；；中，图像开口大小按题号顺序表

示为（）

A．>>B．>>C．>>D．>>

【例5】抛物线，，共有的性质是（）

A．开口向上B．对称轴都是y轴C．都有最高点D．顶点相同

【例6】已知，点（a–1，y1）、（a，y2）、（a+1，y3）都在函数的图像上，

则（）

A．B．

C．D．

【例7】将抛物线的图像绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是

_____________．

D．

【例8】若函数的图像经过点（0，1），（1，2），求2a+b的值．

【例9】若二次函数，当x取，（）时，函数值相等，则当x取时，函数的值为________．

【例10】若抛物线的顶点在x轴下方，求m的值．

【例11】若函数的函数值为5，则自变量x的值为__________．

【例12】若点P（-1，a）和点Q（1，b）都在抛物线上，求线段PQ的长．

【例13】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）过点A作∥交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．

【例14】在同一平面直角坐标系中，画出函数、和

的图像．

【例15】将函数、与函数的图像进行比较，函数

、的图像有哪些特征？

完成下表．

抛物线

开口方向

对称轴

顶点坐标

【例16】说出下列函数的图像如何由抛物线平移得到，再分别指出图像的开

口方向、对称轴和顶点坐标．

（1）；

（2）．

【例17】已知函数，当x=______时，函数取得最______值，为______；

已知函数，当x=______时，函数取得最______值，为______．

【例18】把抛物线向左平移2个单位得到抛物线____________；若将它向下

平移2个单位，得到抛物线____________．

【例19】已知抛物线，当x>1时，y随着x的增大而______；当x<1时，

y随着x的增大而______．

【例20】顶点坐标为（-5，0）且开口方向、形状与函数相同的抛物线是____________．

【例21】若抛物线的对称轴为直线x=-1，且它与抛物线的形状

相同，开口方向相反，则点（a，m）关于原点的对称点为______．

【例22】一台机器，原价50万元，如果每年折旧率为x，两年后这台机器的价格为y

万元，则y与x的函数关系式为（）

A．B．

C．D．

【例23】下列命题中，错误的是（）

A．抛物线不与x轴相交

B．抛物线与形状相同，位置不同

C．抛物线的顶点坐标为（，0）

D．抛物线的对称轴是直线

【例24】已知二次函数图像的顶点在x轴上，且图像经过点（2，2）与（-1，8），求此

函数解析式．

【例25】已知二次函数的顶点坐标为，且过点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）点在这个函数图像上吗？

（3）如何通过左右平移函数图像，使它经过点B？

【例26】已知抛物线的顶点为C，直线y=2x+4与抛物线交于A、B两点．试求．

课堂练习

【习题1】函数的图像是________，开口________，对称轴是________，顶

点坐标是________，它的图像有最_________点，这个点的纵坐标是_______，此函数的图像是由的图像向________平移________个单位得到的．

【习题2】函数的图像是________，开口________，对称轴是________，

顶点坐标是________，它的图像有最_________点，这个点的纵坐标是_______，此函数的图像是由的图像向________平移________个单位得到的．

【习题3】已知抛物线，当x______时，y随x的增大而增大；当x______时，y随x的增大而减小．

【习题4】函数与函数的图像的形状相同，开口方向相反．将函数

图像沿y轴向上平移2个单位，所得的函数解析式是______．

【习题5】二次函数的图像关于直线对称，那么它的解析式是

______________，图像的顶点坐标是______________．

【习题6】二次函数图像经过点（1，）、（0，1），求此函数解析式，并求出

开口方向、顶点坐标．

【习题7】抛物线绕顶点旋转180°后，再向左平移3个单位得到的抛物线是

_____________．

【习题8】已知二次函数，当a为何值时，图像的顶点在x轴上．

【习题9】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=3x+4交y轴与点A，在抛物

线上能否存在一点P，使的面积等于10（平方单位）？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

课后作业

【作业1】抛物线是由抛物线（）得到的．

A．向上平移2个单位B．向下平移2个单位

C．向上平移3个单位D．向下平移3个单位

【作业2】填表：

函数

开口方向

顶点

对称轴

最值

对称轴左侧的增减性

【作业3】二次函数的最大值为______，二次函数的最大值为

______．

【作业4】在平面直角坐标系中，如果抛物线不动：

（1）把x轴向上平移2个单位，在新坐标系下抛物线的解析式是_____________；

（2）把y轴向右平移2个单位，在新坐标系下抛物线的解析式是_____________．

【作业5】任给一些不同的实数n，得到不同的抛物线，关于这些抛物线有

以下结论，其中判断正确的个数是（）

、开口方向都相同；、对称轴都相同；、形状都相同；、都有最低点．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【作业6】抛物线顶点坐标是（0，2），且形状与相同，求抛物线的

解析式．

【作业7】已知抛物线与x轴的交点的横坐标分别是-2、2，且与y轴的交点的纵坐标是

-3，求该抛物线的解析式．