东北大学离散数学复习总结满分版Word文档格式.docx
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第二步：
用合取∧连接
第三步：
求上一步中的析取范式即可
7、逻辑推理的写法
直接推理论证：
其中I公式是指重言蕴涵式那部分
其中E公式是指等价公式部分
条件论证:
形如~,~,~=>
R->
S
RP（附加条件）
......
ST
R->
SCP
8、谓词基本内容
注意：
任意
用—>
连接
存在
用∧连接
量词的否定公式
量词的辖域扩充公式
量词分配公式
其他公式
9、带量词的公式在论域内的展开
10、量词辖域的扩充公式
11、前束范式的写法
给定一个带有量词的谓词公式，
1）消去公式中的联接词→和←→（为了便于量词辖域的扩充）；
2）如果量词前有“﹁?
”，则用量词否定公式﹁?
”后移。
再用摩根定律或求公式的否定公式，将“﹁?
”后移到原子谓词公式之前；
3）用约束变元的改名规则或自由变元的代入规则对变元换名（为量词辖域扩充作准备）；
4）用量词辖域扩充公式提取量词，使之成为前束范式形式。
简要概括：
1、去->
，<
2、移﹁
3、换元4、量词辖域扩充
12、谓词演算的推理理论
推理规则：
P、T、CP、US、ES、EG、UG的使用
ESUS去量词
EGUG添量词
★谨记：
ES要在US之前,很重要
添加量词注意事项：
13、集合的幂集（用P表示，也常有花P表示）
A是集合，由A的所有子集构成的集合，称之为A的幂集。
记作P（A）或2的A次方
给定有限集合A，如果|A|=n,则|P（A）|=2的n次方
14、求集合的划分数与等价关系数——相同
15、三种重要集合运算
1、差运算-（相对补集）
2、绝对补集~
3、对称差
前三章重点内容（考题重点）：
最常考
内容和方法需要看自己课件，前三章考试内容不多且简单
1、命题符号化（包括第一章简单的命题和第二章谓词的命题）
2、逻辑推理（命题逻辑和谓词逻辑两种推理，每章书最后部分）
3、主析取范式与主合取范式（命题逻辑和谓词逻辑中的两种范式写法）
4、真值的判断
后五章重点内容（知识重点）：
1、笛卡尔积
定义:
设A、B是集合，由A的元素为第一元素，B的元素为第二元素组成序偶的集合，称为A和B的笛卡尔积，记作A×
B
如果A、B都是有限集，且|A|=m,|B|=n，则|AXB|=mn.
2、域的表示：
定义域dom（关系的第一个元素的范围）
值域Ran（关系的第二个元素的范围）
3、空关系、完全关系、A上的恒等关系IA的定义
空关系只有点，没有一条边。
4、关系的个数
5、对称、反对称、自反、反自反、传递的判定
6、等价关系、等价类
定义：
设R是A上关系,若R是自反的、对称的和传递的，则称R是A中的等价关系
等价关系的个数：
划分数；
由等价关系图求等价类：
R图中每个独立子图上的结点，构成一个等价类。
不同的等价类个数=独立子图个数
7、相容关系、相容类
特点：
自反、对称。
图的简化：
⑴不画环；
⑵两条对称边用一条无向直线代替
相容类：
设r是集合X上的相容关系，C?
X,如果对于C中任意两个元素x,y有<
x,y>
∈r,称C是r的一个相容类
从简化图找最大相容类：
最大相容类的意义是——一个相容类加多一个点就不是相容类了，所以最大相容类可以是多个而不是唯一的“最大”的概念，定义类似极大线性无关组，但元素个数不同
------找最大完全多边形。
最大完全多边形：
含有结点最多的多边形中，每个结点都与其它结点相联结。
通过最大相容类求完全覆盖：
完全覆盖就是指所有最大相容类构成的集合。
8、关系的分类：
偏序关系定义：
R是A上自反、反对称和传递的关系，则称R是A上的偏序关系。
并称<
A,R>
是偏序集。
全序关系定义：
A,≤>
是偏序集，任何x,y∈A，如果x与y都是可比较的，则称≤是全序关系（线序、链）。
9、偏序集Hasse图的画法
1）.用“。
”表示A中元素。
2）.如果x≤y,且x≠y，则结点y要画在结点x的上方。
3）.如果x≤y,且y盖住x，x与y之间连一直线。
4）.一般先从最下层结点（全是射出的边与之相连（不考虑环）），逐层向上画，直到最上层结点（全是射入的边与之相连）。
（采用抓两头，带中间的方法）
10、重要元素定义（极大小元、最大小元、上下界、最大下界与最小上界）
11、如何求映射是入（单）、满、双射？
分别求出定义域和值域
比较就出来了，就那么简单
但是要证明的话：
两者结合得：
双射成立
12、复合函数中的重要性质（常考）：
f:
X→Y,g:
Y→Z是两个函数,则
⑴如果f和g是满射的，则g。
f也是满射的；
⑵如果f和g是入射的，则g。
f也是入射的；
⑶如果f和g是双射的，则g。
f也是双射的
⑴如果g。
f是满射的，则g是满射的；
⑵如果g。
f是入射的，则f是入射的；
⑶如果g。
f是双射的，则f是入射的和g是满射的
13、函数种类个数的求法
14、逆函数（性质）
设f:
X→Y是双射的函数，fC:
Y?
X也是函数,称之为f的逆函数。
X→Y是双射的函数，则有
15、第六章基础知识重点
幂等元、幺元e、零元0、逆元的概念
同态同构：
f（x）满射、并且满足
*不是双射就一定复合同构的条件：
必须具有幺元对幺元、零元对零元......
代数系统（重点）
半群：
封闭、可逆独异点：
有幺元
群：
可逆交换群：
可交换
群的特征：
1.消去律2.无零元3.除幺元外无其他幂等元
运算表中：
每个元素在每一行、列必须出现仅出现一次！
16、第七章基础知识重点
格：
是偏序集，如果任何a,b∈A,使得{a,b}都有最大下界和最小上界，则称<
是格
平凡格：
所有全序都是格，称之为平凡格。
分配格：
（判定定理）
所有链均为分配格。
设<
A,≤>
是分配格，对任何a,b,c∈A,如果有a∧b=a∧c及a∨b=a∨c则必有b=c.
有界格：
有界格定义：
如果一个格存在全上界1与全下界0，则称此格为有界格。
从格的图形看：
全上界1，就是图的最上边元素（只一个）。
全下界0，就是图的最下边元素（只一个）。
有补格：
（判定定理：
根据定义看是不是每个中间元素都有补元）
补元：
是个有界格，a∈A,如果存在b∈A,使得a∨b=1a∧b=0则称a与b互为补元（其中∨是求最小上界，∧求最大下界）
有补格的定义：
一个有界格中，如果每个元素都有补元，则称之为有补格
布尔格：
如果一个格既是分配格又是有补格，则称之为布尔格。
*重要定理：
在有界分配格中，如果元素有补元，则补元是唯一的。
17、格的同构条件（特别）需同时满足：
钻石定律：
一个布尔代数的所有原子（直接覆盖最小元0的元素）构成的布尔代数一定与元代数同构
18、布尔代数表达式和布尔函数
B,∨,∧,ˉ>
是布尔代数的形式
含有变元x1,x2,…,xn的布尔表达式记作E（x1,x2,…xn）,也可以看成是一个函数f:
Bn→B,称之为布尔函数
布尔表达式的范式的写法（很重要，与第一第二章的方法类似）
19、第八章图论的重要知识点（好多好多的定义自己记吧）
图的同构：
两个图同构的必要条件:
1.结点个数相等.
2.边数相等.
3.度数相同的结点数相等.
4.对应的结点的度数相等.
图的连通：
强连通、单侧连通和弱连通（一般不考）
如果任何两个结点间相互可达,则称G是强连通.如果任何一对结点间,至少有一个结点到另一个结点可达,则称G是单侧连通.如果将G看成无向图后（即把有向边看成无向边）是连通的,则称G是弱连通
强分图、单侧分图和弱分图
在简单有向图中,具有强连通的最大子图,称为强分图.
具有单侧连通的最大子图,称为单侧分图.
具有弱连通的最大子图,称为弱分图.
图的矩阵表示和写法（前两个有点重要）：
1、邻接矩阵
每一行的1：
在无向图中代表一条线
有向图中代表—>
出线
列中的1代表<
—入线
2、可达性矩阵
3、完全关系矩阵
图中结点的度与个数、边的关系：
考试需要两则结合
20、欧拉图与H（汉密尔）图（重点）
在无孤立结点的图G中,若存在一条回路,它经过图中每条边一次且仅一次,称此回路为欧拉回路.称此图为欧拉图
汉密尔顿回路（H回路）:
通过G中每个结点恰好一次的回路.具有汉密尔顿回路（H回路）的图.
欧拉回路的判定：
（充要条件）
无向图G具有欧拉路,当且仅当G是连通的,且有零个或两个奇数度的结点.
汉密尔顿图的判定:
（只有充分条件）
（充分条件）设G是有n个结点的简单图,若G中每对结点度数之和大于等于n,则G有一条H回路
欧拉回路的算法（重重重！
虽然可能不考）
（记做闭迹交集法）
H回路的算法（重重重！
（记做相邻最小权法）
21、树中的重要方法：
树的结点与边数：
边数=结点数-1e=v-1
m叉有序树转化成二叉树的方法：
赋权图的最小生成树的求法（记做相邻最小权不回路法）：
一棵生成树中的所有边的权之和称为该生成树的权.具有最小权的生成树,称为最小生成树.
最优树求法：
定义
***后五章重点内容（考题重点）：
精华看完绝对不亏>
1、求逆元（例如a逆）
求出幺元e
a逆与a进行所定义的运算，写出等式：
如a*a逆=e,求解
2、群的阶性质
*有一个群G，a属于G，a元素的阶为n，当且仅当k=mn（n的整数倍）,a的k次方=e.
*n阶群中的元素x，x的n次方等于e
3、树的边数e与叶结点t的关系
e=2t-2
4、图的画法与格的判断
画法在前面总结过：
偏序集Hasse图的画法
3）.用“。
4）.如果x≤y,且x≠y，则结点y要画在结点x的上方。
判断——
看是否任意都有最小上界、最大下界；
跟那俩个特别的格比较，没有那样的子格就是分配格；
链一定是分配格
有无最大最小元（1,0表示），有限个元素的格一定是有界格；
看是否每个元素都有补元
若有补元，补元唯一的是有界分配格！
布尔格：
分配、有补
5、复合函数的性质
6、完全图的边数
无向完全图：
边数为n（n-1）/2
有向完全图：
边数为2的n次方
7、欧拉图、H图
完全图Kn，n为奇数时，完全图既是欧拉图又是H图；
8、证明子格
证明从封闭性入手，若对∨,∧（取最小下界、最大上界运算）运算封闭则为子格。
9、证明子群
证明非空集合；
在集合中任取两个进行自定义的运算，证明封闭性；
任意取一个集合中的数a，证a逆属于集合即证明可逆性。
10、证明等价关系
证明三点：
自反、对称、传递
11、证明同态、同构（或者自同构）
证明f（x）双射，①先证入射（单射），②再证满射，则为双射
证类似如下式子成立
12、求图定点数与欧拉握手定理
形如：
“一个图，边12，有6个3度结点，其他结点度数都小于3，求最少有几个结点”的问题
用欧拉握手定理：
边数|E|为m，则所有结点度数累加起来等于2m
任何图中都有：
奇数度顶点个数为偶数。
13、布尔表达式的析取范式、合取范式的求法
和前面说的一样，与第一第二章的范式写法类似，最好列真值表
14、分清叶结点、分支节点、树中节点数与边的关系、度数和与节点数的关系
15、Δ（G），k（G），δ（G），λ（G），W（G），x（G）分别表示图G的（最大度），（点连通度），（最小度），（边连通度），（连通分支数），（最小着色数）
K（G）表示点连通度λ（G）表示边连通度d（u，v）表示最短两点距离deg（v）表示度degi表示入度dego表示出度
16、代数系统的证明
半群——》独异点——》群——》交换群
对应证明顺序：
封闭、可结合——》有幺元——》可逆性——》可交换
！
当复杂时，可以用画出运算表的方法，就可以证明是否运算封闭、有幺元、有逆元。
17、循环群、生成元（g）与交换群（循环群属于需要了解）
循环群一定是交换群
素数阶群一定是循环群
证明交换群：
证任意X、Y，对运算X*Y=Y*X成立。
循环群周期：
g的N次方等于e（幺元），则n为周期
无限循环群与<
I,+>
同构，K阶有限循环群与<
I，+K>
同构
+4、+6运算的意义：
模加运算，将两个数相加后取模
p为素数，p阶循环群有p-1个生成元。
18、图的面与欧拉公式
欧拉公式：
对于一个平面图
V-e+r=2
v为顶点数，e为边数，r为面的数量。
19、完全二叉图的顶点、边数与叶的关系（理解性记忆）
叶子结点：
n
顶点数：
2n-1
边数：
2（n-1）
m叉图：
叶子结点：
t分支结点：
i
则有（m-1）i=t-1
20、二元关系种数
若A有n个元素，B有m个元素，A→B有2的nm次方种关系。
21、三叉树
叶结点为n，边数为3（n-1）/2
22、证明图不连通、其补图一定连通
任取u,v∈V（G）,如果u与v不邻接,则在
中有边（u,v），所以在
中u与v是连通的；
如果在G中u与v邻接,则u与v在G的同一个连通分支,由于G是不连通的,所以G必有另一个连通分支G（V1）,设w∈V1（G）,于是在
中必有边（u,w）,（w,v）,于是在
中必有路uwv,所以
是连通的。
23、最优树问题
在第八章知识点最后一个方法，考试考的可能性还算大
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