微积分教学中应该注意的一些问题Word文档下载推荐.docx
《微积分教学中应该注意的一些问题Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分教学中应该注意的一些问题Word文档下载推荐.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
不定积分和定积分的应用（几何应用、经济学应用）。
第四部分，无穷求和与函数的无穷和表达。
数项级数和幂级数的概念、性质、敛散
性判别法，幂级数的收敛区间的求法，简单函数的幂级数展开。
第五部分，多元函数的微积分。
多元函数的概念、偏导数与全微分的概念与计算、
隐函数的导数计算、二重积分的概念和简单区域上简单函数的二重积分的计算。
1
第六部分，简单微分方程与差分方程。
微分方程与差分方程的概念，简单一阶、二
阶微分方程与差分方程的解法。
上述内容中，第六部分是选学内容，不做考试要求。
第五部分内容对专科学员是选学内容，不做
考试要求。
函数概念是高等数学的最基本的概念，要准确理解。
函数的记法,包含了函数概念y,f（x）,x,D的重要信息：
1．函数建立了两个变量xx和之间的关系，是自变量，是函数的定义域，表示自变量的变化Dy
范围，x是因变量，它随着的变化根据对应关系而变化。
fy
2．函数的两个要素是定义域和对应关系,就是说，如果y,f（x）,x,Dy,g（x）,x,D和是两个12函数，则他们两个是相等的函数的充分必要条件是：
定义域相等，即D,D，且对应关系相同，即对12每个x,D,D,。
f（x）,g（x）12
2x,1可举例说明：
1.函数和函数不是相等函数，因为，前者定义域为，y,x，1{x,Rx,1}y,x,1
后者的定义域为全体实数，定义域不同。
R
22y,x（cosx，sinx）3.与是相等的函数，因为二者定义域都是全体实数，且对每个实Ry,x
22xx（cosx，sinx）,x数，。
对于一个用数学解析式子表示的具体的函数求定义域，通常指求使得解析是有意义的自变量的变
化范围，称为函数的自然定义域。
其基本原则是：
零不能作除数，即分式的分母不能为零；
由于微积
分是在实数范围内讨论问题，因此负数不能开偶次方；
对数函数logx的真数要大于零，并且对数函a
xa数和指数函数arcsinu,arccosua的底数要大于零不等于1；
反正弦和反余弦函数的自变量u绝对值
不能超过1。
当一个函数是由几个较简单函数的四则运算构成时，其定义域是各部分定义域的公共部分，当一
个函数由几个函数复合而成时，其定义域是使得函数能够完成复合的过程且函数最终有意义的自变量
的变化范围。
2x,12例如求函数f（x）,，4,x，lg（x,1）f（x,1）,f（sinx）的定义域，并求.x，1
2
注意，由于不存在，因此实际上不存在！
sinx,1,0,lg（sinx,1）f（sinx）
函数的初等性质指函数的有界性、奇偶性、周期性和单调性，这些性质可直接借助函数的定义说
清楚，而函数的有些性质必须借助极限的概念才能定义好，如连续、导数、积分、级数的敛散性等。
单调性可以借助导数来判断，对周期性只要知道三角函数类的周期性即可，函数的有界性和奇偶性要
求会根据定义来判断。
函数的初等运算指函数的四则运算（）、取反函数运算和复合运算，这些，,，,
运算也可直接借助函数的定义说清楚，而求导数、级数求和等必须用极限来完成。
初等运算是用已知
函数构造新函数的常用方法，后续内容如极限运算、导数运算都与初等运算有关。
f（x）x2可举例，判断函数,f（g（x））的奇偶性和有界性，并求。
f（x）,x，xsinx,g（x）,2g（x）1，x
客观现象多种多样，描述这些现象的函数也必然呈现出各种各样的模式。
在长期的实践中，人们
逐渐在众多的函数中筛选出最基本的六类函数，称为基本初等函数。
有：
常数函数y,x；
幂函数；
y,c
sinxcosxxy,ay,logx指数函数cosx；
对数函数；
三角函数，，，，tanx,cotx,sinxacosxsinx
11，；
反三角函数arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx。
在学习过程中，这六secx,cscx,cosxsinx
类函数（14个）的表达式、定义域、值域、图形、周期性、单调性应该搞清楚。
由基本初等函数通过有限次的四则运算和复合运算构成的函数称为初等函数。
初等函数和由初等
函数分段表示的分段函数是微积分中研究的主要的具体函数。
对复合函数要会分析其复合关系，基本
原则是分解成基本初等函数的复合或者四则运算。
分段函数是一个函数而非多个函数，只是在不同的
自变量变化范围内函数表达式可能不同而已。
22例如，y,sin（x，1）,可分解为y,u,u,sinv,v,x，1；
1sin1uxy,e可分解为y,eu,vv,,sin,。
分解时由左往右层层剥开。
x
2,2，xx,10y,1，x又如，y,f（x）,,（,,,0）是分段函数。
在上是初等函数，,x,1x,0,
在（0,）1，,,,上，是初等函数。
yx
初等函数在实践中是否够用呢？
可以指出，有相当广泛的函数，在一定条件下可以用幂函数的某
3
种和式表示出来（幂级数理论），差不多每个周期函数都可以用三角函数的某种和式表示出来（三角级
数，但本课程中不予讨论）。
设商品的需求量（或者生产量）为C,商品的市场价格为,企业的固定成本为,生产件产品QQP0的可变成本为,销售（或者生产）件产品的收入是利润为则有C（Q）QR（Q）,L（Q）,1
需求（或者供给）函数：
，Q,f（P）
C（Q）,C，C（Q）总成本函数：
，O1
1总收入函数：
R（Q）,Q,P,Q,f（Q），
总利润函数：
。
L（Q）,R（Q）,C（Q）
Q1E,cTq，c,库存函数：
cc其中是每件物品在单位时间内的存储费用，是每次进货的进12122q
货费用，Q是计划期内对某种物品的总需求量，如果在时期内均匀地分n次进货，则每批进货量TT
1QQE,cTq和c分别为储存费用和进货费用为。
q,122qn
例如，某工厂生产某种产品，固定成本为200元，每多生产1件产品，成本增加10元，该产品的需求函数为C,200，10Q或者C,200，10（50,2P）,700,20PQ,50,2P，则成本函数，平均
250,QQ2002C,，10R,QP,50P,2P,R,Q,,Q,成本函数25，收益函数或者。
Q22
22利润函数L,R,C,（50P,2P）,（700,20P）,70P,2P,700，
22QQL,R,Q,（25Q,）,（200，10Q）,15Q,,200或者。
22
极限是微积分中最基本的一个概念，是后续内容中研究函数的一个基本工具。
极限研究的是两个
变量xx和，在其中一个变量（自变量）的无限变化过程中，另一个变量（函数）的变化趋势（即yy是否能无限趋于一个固定常数）问题，极限是由近似逼近精确的桥梁。
由于自变量的取值和变化过程
的不同，极限的定义有7种具体形式：
limx,,a自变量离散地取自然数，且n,,；
nn,,
4
，自变量分别趋于正（负,双侧）无穷大；
limf（x）,A,limf（x）,A,limf（x）,Ax,，,x,,,x,,
自变量分别大（小、双侧）于x且趋于x，，。
limf（x）,A,limf（x）,Alimf（x）,A00，,x,xx,xx,x000
双侧极限和单侧极限之间的关系为：
limf（x）,A,limf（x）,A,limf（x）x,,x,，,x,,,
limf（x）,A,limf（x）,A,limf（x），,x,xx,xx,x000
无穷小量（）和无穷大量（）是用极限方式定义的两个概念，应该注意到，无limy,0limy,,穷小量和无穷大量都是变量并且伴随自变量的一个无限变化过程。
要了解极限的一些基本性质，对理
解极限和求极限会有帮助。
微积分中，对极限的定义只要求基本理解极限的描述性定义就行了，对
xa,不做要求。
此处有些学员可能会问，自变量趋于有限数为什么是自变量,,,,,N语言，语言
的无限变化过程？
实际上，对任意的,要x无限趋于a（其涵义是）必须经过无限多个xa0,,xa,
数。
极限的计算问题是极限理论的基本问题也是整个微积分的基本问题。
微积分中，函数的连续性概
念、导数的概念和计算、定积分的概念、广义积分和无穷级数敛散性的判断等都与极限的概念和计算
直接相关，因此正确地计算极限是学好微积分必须具备的技能。
首先应该掌握一些简单的极限计算结
果，例如：
11mnxxlim,0（k,0,m是常数）,limq,0（q,1）,lime,，,,lime,0，k，,n,,n,,x,x,00n
a,n,n,m,,nn,1bmax，ax，？
a,nn,10lim,0,n,m,limlnx,,,,limlnx,，,。
mmn,1，x,,x,，,x,0bx，bx，？
b,,n,mmm,10,
,
x，121．极限的四则运算法则和函数的连续性求极限：
lim（sin）xx，，x,2x,1
sinx1x2．利用两个重要极限和变量代焕法求极限：
已知lim,1,lim（1，）,e,则可有x,0x,,xx
22x22sin
（1）x,22,22,x,2lim,lim
（1）lim[
（1）],,，122x,xx,,,,x,1xx
3．分段函数在分段点处的极限由左右极限与双侧极限的关系来求：
5
1,01,0,,,,xxxx,,fxgx（）（）.,,,,22xxxx，,,,1,0,1,0,,
2x,44．根式或者分式求极限时往往需要进行根式、分式化简：
lim（52）,limxxx，,，22xx,，,,xx,,2
还可以利用罗必达方法求极限等等。
函数的连续性是一个重要概念，在客观事物中，当自变量的变化幅度小时，因变量的变化幅度也
小这种现象给出了一种严格的数学定义。
连续函数有重要的性质，比如，有界闭区间上的连续函数是
有界函数，零点定理成立，有介值性，并且能够取到最大值与最小值（最优解的存在性）；
要函数可导
首先要连续；
连续函数是可积的；
连续函数求极限十分简单，即极限值等于函数值，。
limf（x）,f（a）x,a当等式,f（x）在a不成立时，称函数处是不连续，称为f（x）的间断点。
由于连续函limf（x）,f（a）x,a
数的四则运算（除法时使得分母为零的点除外）、取反函数运算和复合函数运算保持连续性。
这里应注
意一种数学思想：
首先根据连续性定义直接证明几个简单函数的连续性，然后建立连续函数的运算法
则，由此立刻可得到两个重要结论：
基本初等函数在其定义域内处处连续；
初等函数在其定义区间（既
包含在定义以内的区间）内处处连续。
对分段函数在分段点的两侧有共同初等函数表达式的开区间内
是连续的，分段点处根据左右连续性来讨论其连续性。
例如，
1sin1sin,,xxxfxgxhx（）,（）,（）,,,,22x12，，,xxx2,xxx，,1,1（）,（）.yxfx,,,sinx31,1,,xx,
我们知道，一元一次方程，一元二次方程都有求根公式。
可以证明三次、四次方程也有类似的求
根公式，不过比较复杂。
五次和五次以上的代数方程没有求根公式，因此，五次和五次以上的代数方
程，更一般的函数方程f（x）,0是否有根就是一个重要的理论问题。
零点定理给出了在一定条件下保
x20052x2,1,0,x，2x,1,0证根存在的一个充分条件。
例如可用零点定理证明方程（0,1）在区间上至少有一个根存在。
导数和微分是微积分学的基本概念。
物理学中变速直线运动的瞬时速度的计算归结为一个特殊形
S（t，,t）,S（t）,S00式的函数极限vt,,y,f（x）（）limlim；
几何学中曲线在一点的切线斜率的计0,t,0,t,0,t,t
6
fx，,x,fx（）（）,y00算也归结为一个特殊形式的函数极限。
还有许多量的计算都kt,,（）limlim0,x,,t,00,x,x
会归结为这种特殊模式极限的计算，对一般的函数研究这种特殊形式的极限就抽象出导数的y,f（x）
概念。
导数本质上是一个量y关于另一个量x的变化率，凡是变化率问题都可以用导数来解决。
微分
是由近似计算的想法产生的概念：
如,y,f（x，,x）,f（x）,A,x，o（,x），就把的主要部分,y00
x（它是的线性函数）称为函数在点的微分，记为。
通过研究发现，函数在一点的f（x）dyA,x,x0
,可导性与可微性是等价的，并且得到。
由此可得导数的另外一个解释：
导数是函数dy,f（x）dxf（x）
dy,的微分dy与自变量的微分之商。
同时说明，可用导数计算微分，或者用微分计算导数。
f（x）dxdx
可导、可微、连续三者之间的关系为：
可导,可微,连续，连续,可导。
引入数学概念时，应十分重视对引例的讲解，它使抽象的概念成为有源之水。
可根据导数的定义公式求导数，由此即可得到一批简单函数得导数公式；
再建立求导法则，主要
有四则运算法则，复合函数求导法则。
这里应再一次注意一种数学思想：
首先根据导数的定义直接计
算几个简单函数的导数公式，然后建立求导数运算法则，由此可知原则上任何初等函数的导数都可以
比较容易的计算出来。
此外还有针对复杂的乘积和幂指函数，简化导数计算的对数求导法，以及针对
由方程确定的隐函数的隐函数求导法。
一般而言，对初等函数求导，必须记住基本初等函数的求导公
式，记住求导法则，在特殊点处（如分段函数分段点）会用导数定义公式计算导数。
记住基本求导公
x,式，也就记住了基本微分公式，同时有助于记忆基本积分公式。
除了e,ln（1，x）,sinx,cosx,（1，x）等几个简单函数的n阶导数公式要记住外，一般函数求高阶导数主要是二阶，三阶导数会求即可。
dydyx,,,，，例如，yxsinxecos求,,dy,,y.；
3dxdxx,0
1234x,yy,sin，lntan（x，1）,arctan（e）,求；
y,,,y,1，xe设函数y,f（x）y,y.由方程确定，求；
2,x,1,x,0,,f（x）,,求f（x）.,2,x，1,x,0,
7
作为刻画变化率（速度）的导数，可以广泛地用于研究函数的各种性质。
这就要求在函数的导数
和函数之间建立起某种紧密的关系，微分中值定理就是把函数的导数和函数用某种等式联f（x）f（x）
系起来的几个定理，他们是微分学的基本定理。
可以从分析定理的条件、结论、几何直观解释、简单
用法和这几个定理间的关系等方面去理解定理的内容。
对给定的具体函数要能够判断其是否在所给区
间上满足指定的定理的条件，会用中值定理解决一些简单的问题。
例如，验证函数f（x）,x3,x在区间[0，3]上满足罗尔定理条件，并求出使得的f（,）,0,（这种没有一般的求法，只有简单的函数才有可能求出具体的值，定理的重要在于它保证了这种,,,的存在性）。
又如，证明不等式：
对任意的实数都成立；
arctanx,arctany,x,yx,y
（2）设,,,在（0,1）内可导，0,1上连续，且，证明：
对任意的实数，存在f（x）f
（1）,0,f（0）
x,F（x）,ef（x），使得（令）。
,（0,1）f（,），,f（,）,0
利用导数可以建立求极限的罗必达法则；
判断函数的单调性；
判断曲线的凹凸性；
求极值和最值；
求曲线的渐近线。
0,罗必达法则是求未定式极限的十分有效的方法，有两种基本型，即随着自变量的无限变化过,0,
f（x）程，商式中分子分母同时趋于零，或者同时趋于无穷大时，商式的极限可能存在，可能不存在，g（x）
求极限比较复杂。
利用罗必达法则，将极限问题转化为可能较为简单的导数比的极限
f（x）0,f（x）lim（,）,lim。
应该注意罗必达法则是充分条件定理，而非充要条件定理，当条件满足,g（x）0,g（x）
000,,,,,,,1,0,,时可多次使用。
还有其他五种未定式，是可转化为两种基本型的未定式。
0,,,0,,,,,,,这四种未定式是针对极限的四则运算求极限时不能确定其极限的存在性而言0,
v（x）limv（x）Blimu（x）,limu（x）,A的。
如果limu（x）,A,0,limv（x）,B,则幂指函数求极限时有法则limu（x）,limv（x）,不符合上述条件时，例如u（x）,1,v（x）,,,幂指函数求极限时会产生未定式
001,0,,。
ln0xsin0sinln（0）xxx,,例如，用罗必达法则求极限lim（）；
；
lim（0）limxe,limln（0）xx,,，，，x,1xx,,00x,0x,10
8
xf（x）,xe又如，求函数的单调区间，凹凸区间，拐点，极值点及在区间[-2，2]上的最大值和
最小值。
14
在微积分课程中，利用导数可以进行边际量的计算，求最大收益、最大利润和最小成本，可以进行商
品的弹性分析。
设函数处可导，则有f（x）在点x,a
yf（a，,x）,f（a）,,f（a）,lim,lim,,y,f（a）,x（,x比较小时）,x,0,x,0,x,x
在经济学中，通常取，即研究自变量发生一个单位的改变时，函数的变化幅度，并且一般直接取,x,1
,x,a，称其为函数在处的边际量，通常称为函数的边际函数。
如果函数分,y,f（a）f（x）f（x）f（x）别取需求函数,收益函数，成本函数，利润函数，则有Q,f（P）R,R（Q）C,C（Q）L,R（Q）,C（Q）
dLdRdCdRdCdQ边际需求,,，边际收益，边际成本，边际利润。
dQdQdQdQdQdP
导数在经济分中的另一个重要应用是关于商品的弹性分析。
设商品的需求函数为，则函数的Q,f（P）
dQ改变量,Q和导数反映的是商品的需求量Q随着价格P的变化而变化的绝对改变量和绝对变化率，是dP
dQ带有量纲的量。
如果价格P的单位是元，需求量Q的单位是件，则,Q和的单位分别为（件）和（件/dP
元）。
如果要在不同性质的商品之间进行对比，分析市场需求量关于价格的变动情况，这种带量纲的量就不
方便使用，为此，经济学家引入了弹性的概念，它是不带量纲的量。
一般的设有函数y,f（x），称量,y
x,yyx和yf（x）x,x，,x为函数在两点之间的弹性，分别反映了两个变量在基础上发生改和,,xy,x
x
y,x,x,y,x变（%）,,（%），即x变化（%）y变化（%）,,（%）,x和,y时的相对变化量，时，，由yxxyx,y,y
xyxfxEy,（）,yx,yy,x于,,,lim,（或者记为）,f（x）（,x,0），而，称极限,,,x,0,xyf（x）,xf（x）Exf（x）,x,x
xx
xx为函数在处弹性。
表示当自变量在的基础上发生1%的改变时，函数产生%的改变，是一个无量y,,纲的量。
当函数为需求函数时，即为需求关于价格的弹性（简称需求弹性），当函数为供给函数时，即为供
给关于价格的弹性（简称供给弹性）。
由于需求函数通常是减函数，供给函数通常是增函数，为了应用方便，
9
,Pf（P）Pf（P）取。
因此需求弹性取，供给弹性取。
由于收益函数,,0,,,,,f（P）f（P）
dRdR,,,，,,（）,（）（）（）
（1）Rpfpfppfpfp,。
因此，时，收益随提价而增长，,,1,0,dpdP
dRdR称为低弹性商品；
时，,0,收益随提价而增长，称为不变弹性商品；
时，,1,收益,,1,,1dPdP随提价而减少，称为高弹性商品；
例如，设某个企业生产某种产品，日总成本为C元，其中固定成本为200元，每多生产一个单位的商品，成本增加10元。
设商品的需求函数为。
计算下列量：
（1）边际收益；
（2）最大利润时的生Q,100,2P
产水平；
（3）需求弹性，并给出P=5时弹性的经济意义解释。
（5）
15
54已知函数,,y,F（x）,xy,F（x）,f（x）,5x,对其求导数，得。
如果问题是，已知函数
44,f（x）,5xF（x）,f（x）,5x，要求另为一个函数F（x）,使得，则正好是与原来求导问题相反的问题。
54取,F（x）,xf（x）,5x即可，称其为函数的原函数。
一般的，如果，F（x）,f（x），称F（x）是f（x）的原函数。
如果F（x）是f（x）的原函数，则对任意的常数，F（x），C都是f（x）的原函数，且f（x）的所有C
原函数都具有这种形式。
把一般形式的原函数F（x），C称为f（x）的不定积分，记为f（x）dx，即,f（x）dx=F（x），C。
由f（x）F（x），CF（x），C求的过程称为计算不定积分，当求出时即说求出了不定积分。
16
由不定积分的定义可见，求导数与求不定积分（原函数）互为逆运算。
因此，由求导数（或者求微分）
公式可反转而得基本初等函数的积分公式，称为基本积分公式。
当掌握基本的积分公式后，借助积分的线
性运算性质即可计算出一些函数的积分。
再由两种基本记分方法：
换元积分法和分部积分法就可求出常见
函数的不定积分。
2例如，求1xx（cos2x，2xe）dxxcosxdxxedx[3,2x，,5sinx]dx；
.2,,,,x
2又如设曲线y,f（x）P（x,y）在其上点的切线斜率k,3x,2x，1，且曲线经过点（0,1），求此曲
3xf（x）线方程；
设f（x）dx,cosx，C,计算dx。
,sinx
10
2,R（x）,60,2x,2xx再如已知某产品的边际收入函数为（为销售量）,求总收入函数.R（x）
17
定积分是微积分学的基本概念，他的几何背景是平面图形（曲边梯形）面积的计算，其计算模式归结
nb为一个特定和式的极限limf（,）,xf（x）dx,（是对分划区间的精细程度的d（T）,max,x,iii,adT（）,0in1,,i,1
描述），并且有许多不同领域中都会出现这种特定和式的极限，从数学上便抽象出一个一般的概念，即函数
nblimf（,）,x在区间[a,b]上的定积分，定义为f（x）d
升级会员 