与名师对话文椭圆一Word文档下载推荐.docx

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2．已知椭圆＋＝1（m>

0）的左焦点为F1（－4,0），则m＝（　　）

A．2B．3C．4D．9

[解析]　由4＝（m>

0）⇒m＝3，故选B.

[答案]　B

3．（选修1－1P42A组T1改编）若F1（3,0），F2（－3,0），点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是（　　）

A.＋＝1B.＋＝1

C.＋＝1D.＋＝1或＋＝1

[解析]　由题意可知，P点轨迹为椭圆，设椭圆方程为＋＝1（a>

0），则2a＝10，a＝5，c＝＝3，得b＝4.

所以椭圆方程为＋＝1.故选A.

[答案]　A

4．（选修1－1P40例5改编）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（　　）

A.B.

C．2－D.－1

[解析]　由题意可知，|PF2|＝2c，|PF1|＝2c.

因为|PF1|＋|PF2|＝2a，∴2c＋2c＝2a，

解得＝－1.故选D.

[答案]　D

5．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是__________．

[解析]　由已知得

解得3<

k<

5且k≠4.

[答案]　（3,4）∪（4,5）

考点一　椭圆的定义及应用

【例1】　

（1）（2019·

河北保定一模）与圆C1：

（x＋3）2＋y2＝1外切，且与圆C2：

（x－3）2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为____________________．

（2）（2018·

广东中山一中月考）已知椭圆C：

＋＝1，F1，F2为椭圆的左、右焦点，点P在C上且∠F1PF2＝，则△F1PF2的面积为________．

（3）（2019·

河南郑州三模）椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是________．

[思路引导]　

（1）→→

（2）→→

（3）→→

[解析]　

（1）设动圆的半径为r，圆心为P（x，y），则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10>

|C1C2|＝6，即P在以C1（－3,0），C2（3,0）为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为＋＝1.

（2）由＋＝1可得a2＝16，b2＝8，c2＝8，

∴a＝4，c＝2，则|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，

|F1F2|＝4.

在△PF1F2中，由余弦定理得

cos＝

＝

＝＝.

解得|PF1||PF2|＝，

∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin＝.

（3）如图，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′.

因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，

所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．

此时|MN|＝＝，又c＝＝＝1，所以此时△FMN的面积S＝×

2×

＝.

[答案]　

（1）＋＝1　

（2）　（3）

（1）椭圆定义的应用范围

①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．

②解决与焦点有关的距离问题．

（2）焦点三角形的应用

椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；

利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|；

通过整体代入可求其面积等．

[对点训练]

1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（　　）

A．2B．6C．4D．12

[解析]　由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋

|BF|＋|CF|＋|CA|＝（|BA|＋|BF|）＋（|CF|＋|CA|）＝2a＋2a＝4a＝4.故选C.

[答案]　C

2．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：

（x＋4）2＋y2＝1和（x－4）2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为（　　）

A．9,12B．8,11C．8,12D．10,12

[解析]　

如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝10，易知|PM|＋|PN|＝（|PM|＋|MF1|）＋（|PN|＋|NF2|）－2，则其最小值为|PF1|＋|PF2|－2＝8，最大值为|PF1|＋|PF2|＋2＝12.故选C.

考点二　椭圆的标准方程

【例2】　求满足下列条件的椭圆的标准方程：

（1）过点（，－），且与椭圆＋＝1有相同焦点；

（2）经过两点（2,0），（0,1）．

[思路引导]　

（1）→→→

（2）→→→

[解]　

（1）解法一：

（定义法）椭圆＋＝1的焦点为（0，－4），（0,4），即c＝4.

由椭圆的定义知，2a＝＋，解得a＝2.

由c2＝a2－b2，可得b2＝4.

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

解法二：

（待定系数法）设所求椭圆方程为＋＝1（k<

9），将点（，－）的坐标代入，可得＋＝1，解得k＝5或k＝21（舍去），所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

（2）解法一：

当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1（a>

0）．

∵椭圆经过两点（2,0），（0,1），

∴解得

∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；

当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1（a>

与a>

b矛盾，故舍去．

综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.

设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m>

0，m≠n）．

∵椭圆过（2,0）和（0,1）两点，

　求椭圆标准方程的2种常用方法

定义法

根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程

待定系

数法

若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；

若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上的两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1（A>

0，B>

0，A≠B）

1．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点（2,0），长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为（　　）

A.＋y2＝1B.＋＝1

C.＋y2＝1或＋＝1D.＋y2＝1或＋x2＝1

[解析]　由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有a＝2b，又椭圆经过点（2,0），则若焦点在x轴上，则a＝2，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1；

若焦点在y轴上，则a＝4，b＝2，椭圆方程为＋＝1，故选C.

2．（2019·

长沙市高三一模）椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为（　　）

A.＋＝1B.＋y2＝1

C.＋＝1D.＋＝1

[解析]　由题意易知，b＝c＝，故a2＝b2＋c2＝4，从而椭圆E的标准方程为＋＝1.故选C.

考点三　椭圆的几何性质

椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大．高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：

（1）由椭圆的方程研究其性质；

（2）由椭圆的性质求参数的值或范围；

（3）求离心率的值或范围．

角度1：

由椭圆的方程研究其性质

【例3－1】　（2018·

全国卷Ⅰ）已知椭圆C：

＋＝1的一个焦点为（2,0），则C的离心率为（　　）

A.B.C.D.

[解析]　不妨设a>

0，因为椭圆C的一个焦点为（2,0），所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.故选C.

角度2：

由椭圆的性质求参数的值或范围

【例3－2】　

（1）（2019·

贵州质检）已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于（　　）

A．8B．7C．6D．5

（2）如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·

的最大值为（　　）

A．1　　　B．2

C．4　　　D．4

[解析]　

（1）∵椭圆＋＝1的长轴在x轴上，

∴解得6<

m<

10.

∵焦距为4，∴c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.故选A.

（2）设P点坐标为（x0，y0）．

由题意知a＝2，∵e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.

所求椭圆方程为＋＝1.∴－2≤x0≤2，－≤y0≤.又F（－1,0），A（2,0），

＝（－1－x0，－y0），＝（2－x0，－y0），

∴·

＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝（x0－2）2.

当x0＝－2时，·

取得最大值4.故选C.

[答案]　

（1）A　

（2）C

角度3：

求离心率的值或范围

【例3－3】　（2018·

全国卷Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：

＋＝1（a>

0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°

，则C的离心率为（　　）

（2）（2019·

安徽皖南八校联考）已知椭圆＋＝1（a>

0）的左、右焦点分别为F1，F2.若在直线x＝2a上存在点P使得线段PF1的垂直平分线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）

C.D.

[解析]　

（1）由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°

，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，∴点P的坐标为（c＋2ccos60°

，2csin60°

），即点P（2c，c）．∵点P在过点A，且斜率为的直线上，∴＝，解得＝，∴e＝，故选D.

（2）∵直线x＝2a上存在点P使线段PF1的垂直平分线过点F2，∴根据垂直平分线的性质以及直角三角形的性质可得，|PF2|＝|F1F2|＝2c≥2a－c，∴2a≤3c，∴e≥.又∵e<

1，∴椭圆离心率的取值范围是.故选B.

[答案]　

（1）D　

（2）B

（1）求椭圆离心率的3种方法

①直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．

②列出含有a，b，c的齐次方程（或不等式），借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程（或不等式）求解．

③数形结合，根据图形观察，通过取特殊值或特殊位置求出离心率．

（2）椭圆中有关范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<

e<

1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等式关系．

1．已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为，则实数m等于（　　）

A．2B．2或

C．2或6D．2或8

[解析]　显然m>

0且m≠4，当0<

4时，椭圆长轴在

x轴上，则＝，解得m＝2；

当m>

4时，椭圆长轴在y轴上，则＝，解得m＝8.故选D.

广州市高三毕业班综合测试）已知F1，F2分别是椭圆C：

0）的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

[解析]　解法一：

设P（x0，y0），由题易知|x0|<

a，因为∠F1PF2为钝角，所以·

<

0有解，即c2>

x＋y有解，即c2>

（x＋y）min，又y＝b2－x，x<

a2，故x＋y＝b2＋x∈[b2，a2），所以（x＋y）min＝b2，故c2>

b2，又b2＝a2－c2，所以e2＝>

，解得e>

，又0<

1，故椭圆C的离心率的取值范围是，故选A.

椭圆上存在点P使∠F1PF2为钝角⇔以原点O为圆心，以c为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b<

c，如图，由b<

c，得a2－c2<

c2，即a2<

2c2，解得e＝>

课后跟踪训练（五十四）

基础巩固练

一、选择题

1．“－3<

5”是“方程＋＝1表示椭圆”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]　要使方程＋＝1表示椭圆，只需满足解得－3<

5且m≠1，因此，“－3<

5”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B.

2．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为（　　）

A．4B．3C．2D．5

[解析]　连接PF2，由题意知，a＝5，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.故选A.

3．已知椭圆＋＝1的两个焦点分别是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是（　　）

A.B．2C．2D.

[解析]　由椭圆的方程可知a＝2，c＝，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1.又|F1F2|＝2c＝2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2为直角三角形，所以S△PF1F2＝|F1F2|·

|PF2|＝×

1＝.故选A.

4．（2017·

全国卷Ⅲ）已知椭圆C：

0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为（　　）

[解析]　以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点（0,0），半径为r＝a，圆的方程为x2＋y2＝a2，直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：

d＝＝a，

整理可得a2＝3b2，即a2＝3（a2－c2），2a2＝3c2，

从而e2＝＝，椭圆的离心率e＝＝＝，

故选A.

5．（2019·

上海崇明一模）如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（－2，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的方程为（　　）

[解析]　依题意，设椭圆方程为＋＝1（a>

0），右焦点为F′，连接PF′.

由已知，半焦距c＝2.又由|OP|＝|OF|＝|OF′|，知∠FPF′＝90°

.

在Rt△PFF′中，|PF′|＝＝＝8.由椭圆的定义可知2a＝|PF|＋|PF′|＝4＋8＝12，所以a＝6，于是b2＝a2－c2＝62－

（2）2＝16，故所求椭圆方程为＋＝1，故选C.

二、填空题

6．（2019·

安徽黄山一模）已知圆（x－2）2＋y2＝1经过椭圆＋＝1（a>

0）的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e＝________.

[解析]　圆（x－2）2＋y2＝1经过椭圆＋＝1（a>

0）的一个顶点和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F（1,0），一个顶点为A（3,0），所以c＝1，a＝3，因此椭圆的离心率为.

[答案]　

7．（2018·

北京朝阳模拟）已知椭圆＋＝1（a>

0）的一个焦点是F（1,0），若椭圆短轴的两个三等分点M，N与F构成正三角形，则此椭圆的方程为__________．

[解析]　由△FMN为正三角形，得c＝|OF|＝|MN|＝×

b＝1.解得b＝，∴a2＝b2＋c2＝4.故椭圆的方程为＋＝1.

[答案]　＋＝1

8．从椭圆＋＝1（a>

0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是________．

[解析]　由已知，点P（－c，y）在椭圆上，代入椭圆方程，得P.∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，即－＝－，则b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，则＝，即该椭圆的离心率是.

三、解答题

9．F1、F2分别是椭圆＋＝1（a>

0）的左、右焦点，椭圆上的点到F2的最近距离为4，最远距离为16.

（1）求椭圆方程；

（2）P为该椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°

，求△F1PF2的面积．

[解]　

（1）依题意知，

∴a＝10，c＝6.

∴b＝8.

∴所求椭圆方程为：

＋＝1.

（2）∵∠F1PF2＝60°

，

∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°

即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·

|PF2|＝144.

∴（|PF1|＋|PF2|）2－3|PF1|·

又|PF1|＋|PF2|＝20，

∴|PF1|·

|PF2|＝.

∴S△F1PF2＝|PF1|·

|PF2|·

sin60°

＝×

×

10．（2019·

湖南长沙望城一中第三次调研）P为圆A：

（x＋1）2＋y2＝8上的动点，点B（1,0）．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.

（1）求曲线Γ的方程；

（2）当点P在第一象限，且cos∠BAP＝时，求点M的坐标．

[解]　

（1）圆A的圆心为A（－1,0），半径等于2.

由已知得|MB|＝|MP|，所以|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MP|＝2，

故曲线Γ是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，设Γ的方程为＋＝1（a>

0），a＝，c＝1，b＝1，

所以曲线Γ的方程为＋y2＝1.

（2）由点P在第一象限，cos∠BAP＝，|AP|＝2，得P.

于是直线AP的方程为y＝（x＋1）．

代入椭圆方程，消去y，可得

5x2＋2x－7＝0，即（5x＋7）（x－1）＝0.

所以x1＝1，x2＝－.因为点M在线段AP上，

所以点M的坐标为.

能力提升练

11．（2018·

辽宁大连二模）焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1（a>

0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（　　）

[解析]　由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得×

2c·

b＝（2a＋2c）·

，得a＝2c，即e＝＝，故选C.

12．（2019·

广西桂林期末）若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·

A．2B．3C．6D．8

[解析]　设点P（x0，y0），则＋＝1，即y＝3－.又因为点F（－1,0），所以·

＝x0（x0＋1）＋y＝x＋x0＋3＝（x0＋2）2＋2.又x0∈[－2,2]，所以（·

）max＝6.故选C.

13．（2019·

云南昆明质检）椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________．

[解析]　记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.则m＝|PF1|·

|PF2|≤2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.所以点P的坐标为（－3,0）或（3,0）．

[答案]　（－3,0）或（3,0）

14．已知椭圆＋＝1（a>

0），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.

（1）若∠F1AB＝90°

，求椭圆的离心率．

（2）若＝2，·

＝，求椭圆的方程．

[解]　

（1）若∠F1AB＝90°

，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.

所以a＝c，e＝＝.

（2）由题知A（0，b），F1（－c,0），F2（c,0），其中c＝，设B（x，y）．

由＝2，得（c，－b）＝2（x－c，y），

解得x＝，y＝－，即B.

将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3c2①.

又由·

＝（－c，－b）·

＝，

得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1②

由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.

所以椭圆的方程为＋＝1.

拓展延伸练

15．（2019·

广东中山一模）设椭圆：

0）的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为（　　）

[解析]　如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且＝＝，即＝，解得e＝＝.故选B.

16．（2019·

浙江温州模拟）正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1（a>

0）上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）

[解析]　设正方形的边长为2m，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m>

c.又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1（a>

0）上，∴＋＝1>

＋＝e2＋，整理得e4－3e2＋1>

0，e2<

∴0<

.故选B.