全等三角形知识点讲解经典例题含答案文档格式.docx
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已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.
举一反三：
【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？
为什么？
【答案】证明：
由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE，
则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。
【变式2】如右图，
，
。
求证：
AE∥CF
【答案】
∴AE∥CF
2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°
，∠B=50°
，BF=2，求∠DFE的度数与EC的长。
由全等三角形性质可知：
∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。
在ΔABC中，
∠ACB=180°
-∠A-∠B，
又∠A=30°
所以∠ACB=100°
.
又因为ΔABC≌ΔDEF，
所以∠ACB=∠DFE，
BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。
所以∠DFE=100°
EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。
全等三角形的对应角相等，对应边相等。
【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，∠ACB=90°
（1）CD⊥AB；
（2）EF∥AC.
（1）因为ΔACD≌ΔECD，
所以∠ADC=∠EDC（全等三角形的对应角相等）.
因为∠ADC+∠EDC=180°
，所以∠ADC=∠EDC=90°
所以CD⊥AB.
（2）因为ΔCEF≌ΔBEF,
所以∠CFE=∠BFE（全等三角形的对应角相等）.
因为∠CFE+∠BFE=180°
所以∠CFE=∠BFE=90°
因为∠ACB=90°
所以∠ACB=∠BFE.
所以EF∥AC.
类型二：
全等三角形的证明
3、如图，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求证：
△ADF≌△BCE．
欲证△ADF≌△BCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AC＝BD而得
∵AC＝BD（已知）
∴AB-BD＝AB-AC（等式性质）
即AD＝BC
在△ADF与△BCE中
∴△ADF≌△BCE（SAS）
利用全等三角形证明线段（角）相等的一般方法和步骤如下：
（1）找到以待证角（线段）为内角（边）的两个三角形，
（2）证明这两个三角形全等；
（3）由全等三角形的性质得出所要证的角（线段）相等．
【变式1】如图，已知AB∥DC，AB＝DC，求证：
AD∥BC
【答案】∵AB∥CD
∴∠3＝∠4
在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB（SAS）
∴∠1＝∠2（全等三角形对应角相等）
∴AD∥BC（内错角相等两直线平行）
【变式2】如图，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB＝FC，AB＝CD．
求证AF＝DE．
【答案】∵EB⊥AD（已知）
∴∠EBD＝90°
（垂直定义）
同理可证∠FCA＝90°
∴∠EBD＝∠FCA
∵AB＝CD，BC＝BC
∴AC＝AB+BC
＝BC+CD
＝BD
在△ACF和△DBE中
∴△ACF≌△DBE（S．A．S）
∴AF＝DE（全等三角形对应边相等）
类型三：
综合应用
4、如图，AD为ΔABC的中线。
求证：
AB+AC>
2AD.
要证AB+AC>
2AD，由图想到：
AB+BD>
AD，AC+CD>
AD，所以AB+AC+BC>
2AD，所以不能直接证出。
由2AD想到构造一条线段等于2AD，即倍长中线。
延长AD至E，使DE=AD，连接BE
因为AD为ΔABC的中线，
所以BD=CD.
在ΔACD和ΔEBD中，
所以ΔACD≌ΔEBD（SAS）.
所以BE=CA.
在ΔABE中，AB+BE>
AE，所以AB+AC>
通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。
【变式1】已知：
如图，在RtΔABC中，AB=AC,∠BAC=90°
∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E，
BD=2CE.
【答案】分别延长CE、BA交于F.
因为BE⊥CF,所以∠BEF=∠BEC=90°
在ΔBEF和ΔBEC中，
所以ΔBEF≌ΔBEC（ASA）.
所以CE=FE=
CF.
又因为∠BAC=90°
BE⊥CF.
所以∠BAC=∠CAF=90°
，∠1+∠BDA=90°
，∠1+∠BFC=90°
所以∠BDA=∠BFC.
在ΔABD和ΔACF中，
所以ΔABD≌ΔACF（AAS）
所以BD=CF.所以BD=2CE.
5、如图，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D，
求证：
（1）AE＝CF，
（2）AE∥CF，（3）∠AFE＝∠CEF
（1）直接通过△ABE≌△CDF而得，
（2）先证明∠AEB＝∠CFD，（3）由
（1）
（2）可证明△AEF≌△CFE而得，总之，欲证两边（角）相等，找这两边（角）所在的两个三角形然后证明它们全等．
（1）在△ABE与△CDF中
∴△ABE≌△CDF（SAS）
∴AE＝CF（全等三角形对应边相等）
（2）∵∠AEB＝∠CFD（全等三角形对应角相等）
∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行）
（3）在△AEF与△CFE中
∴△AEF≌△CFE（SAS）
∴∠AFE＝∠CEF（全等三角形对应角相等）
在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角（边）作为判定另一对三角形全等的条件．
【变式1】如图，在△ABC中，延长AC边上的中线BD到F，使DF＝BD，延长AB边上的中线CE到G，使EG＝CE，求证AF＝AG．
【答案】在△AGE与△BCE中
∴△AGE≌△BCE（SAS）
∴AG＝BC（全等三角形对应边相等）
在△AFD与△CBD中
∴△AFD≌△CBD（SAS）
∴AF＝CB（全等三角形对应边相等）
∴AF＝AG（等量代换）
6、如图AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．
AF平分∠BAC．
若能证得得AD=AE，由于∠ADB、∠AEC都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD=AE，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB=AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．
在Rt△ABD与Rt△ACE中
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（AAS）
∴AD=AE（全等三角形对应边相等）
在Rt△ADF与Rt△AEF中
∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL）
∴∠DAF=∠EAF（全等三角形对应角相等）
∴AF平分∠BAC（角平分线的定义）
总结升华：
条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。
举一反三：
【变式1】求证：
有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．
【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证．
已知：
如图，在△ABC与△A′B′C′中．AB=A′B′，BC=B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′且AD=A′D′
求证：
△ABC≌△A′B′C′
证明：
在Rt△ABD与Rt△A′B′D′中
∴Rt△ABD≌Rt△A′B′D′（HL）
∴∠B=∠B′（全等三角形对应角相等）
在△ABC与△A′B′C′中
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）
【变式2】已知，如图，AC、BD相交于O，AC=BD，∠C＝∠D＝90°
求证：
OC=OD
【答案】∵∠C=∠D=90°
∴△ABD、△ACB为直角三角形
在Rt△ABD和Rt△ABC中
∴Rt△ABD≌Rt△ABC（HL）
∴AD=BC
在△AOD和△BOC中
∴△AOD≌△BOC（AAS）
∴OD=OC．
7、⊿ABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB垂足分别是E、F、G..
试判断：
猜测线段DE、DF、CG的数量有何关系？
并证明你的猜想。
寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径
结论：
DE+DF=CG
方法一：
（截长法）板书此种方法（3分钟）
作DM⊥CG于M
∵DE⊥AB，CG⊥AB，DM⊥CG
∴四边形EDMG是矩形
DE=GM
DM//AB
∴∠MDC=∠B
∵AB=AC
∴∠B=∠FCD
∴∠MDC=∠FCD
而DM⊥CG，DF⊥AC
∴∠DMC=∠CFD
在⊿MDC和⊿FCD中
∴⊿MDC≌⊿FCD（AAS）
MC=DF
∴DE+DF=GM+MC=CG
方法二（补短法）作CM⊥ED交ED的延长线于M（证明过程略）
总结：
截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法
方法三（面积法）使用等积转化
引申：
如果将条件“D是底边BC上任意一点”改为“D是底边BC的延长线上任意一点”，此时图形如何？
DE、DF和CG会有怎样的关系？
画出图形，写出你的猜想并加以证明
【变式1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。
【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：
（1）截长法
（2）补短法（3）面积法
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