logistic回归与线性回归得比较Word下载.docx
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如果来了一个新的面积,假设在销售价钱的记录中没有的,我们怎么办呢?
我们可以用一条曲线去尽量准的拟合这些数据,然后如果有新的输入过来,我们可以在将曲线上这个点对应的值返回。
如果用一条直线去拟合,可能是下面的样子:
绿色的点就是我们想要预测的点。
首先给出一些概念和常用的符号。
房屋销售记录表:
训练集(trainingset)或者训练数据(training
data),是我们流程中的输入数据,一般称为x
房屋销售价钱:
输出数据,一般称为y
拟合的函数(或者称为假设或者模型):
一般写做y=h(x)训练数据的条目数倂trainingset),:
一条训练数据是由一对输入数据和输出数据组成的输入数据的维度n(特征的个数,#features)
这个例子的特征是两维的,结果是一维的。
然而回归方法能够解决特征多维,结果是一维多离散值或一维连续值的问题。
3学习过程
下面是一个典型的机器学习的过程,首先给出一个输入数据,我们的算法会通过一系列的过程得到一个估计的函数,这个函数有能力对没有见过的新数据给出一个新的估计,也被称为构建一个模型。
就如同上面的线性回归函数。
|机寻学王方注|
X耀]―^1
応计銮耘h
—>
詩苗-1
4线性回归
线性回归假设特征和结果满足线性关系。
其实线性关系的表达能力非常强大,每个特征对结果的影响强弱可以由前面的参数体现,而且每个特征变量可以首先映射到一个函数,然后再参与线性计算。
这样就可以表达特征与结果之间的非线性关系。
我们用X1,X2..Xn去描述feature里面的分量,比如x仁房间的面积,x2=房间的朝向,等等,我们可以做出一个估计函数:
h(x)=爲(X)=仇+伉工I+^2
B在这儿称为参数,在这的意思是调整feature中每个分量的影响力,
就是到底是房屋的面积更重要还是房屋的地段更重要。
为了如果我们令X0=1,
就可以用向量的方式来表示了:
⑷罚X
我们程序也需要一个机制去评估我们B是否比较好,所以说需要对我们做出的h函数进行评估,一般这个函数称为损失函数(lossfunction)或者错误函数(errorfunction),描述h函数不好的程度,在下面,我们称这个函
数为J函数
在这儿我们可以认为错误函数如下:
I阳
丿⑹訂工(加严)一艸尸
2
min
这个错误估计函数是去对x(i)的估计值与真实值y(i)差的平方和作为错误估计函数,前面乘上的1/2是为了在求导的时候,这个系数就不见了。
至于为何选择平方和作为错误估计函数,讲义后面从概率分布的角度讲解了该公式的来源。
如何调整B以使得J(9)取得最小值有很多方法,其中有最小二乘法(minsquare),是一种完全是数学描述的方法,和梯度下降法。
5梯度下降法
在选定线性回归模型后,只需要确定参数9,就可以将模型用来预测。
然而9需要在J(9)最小的情况下才能确定。
因此问题归结为求极小值问题,使用梯度下降法。
梯度下降法最大的问题是求得有可能是全局极小值,这与初始点的选取有关。
梯度下降法是按下面的流程进行的:
1)首先对9赋值,这个值可以是随机的,也可以让9是一个全零的向量。
2)改变9的值,使得J(9)按梯度下降的方向进行减少。
梯度方向由J(9)对9的偏导数确定,由于求的是极小值,因此梯度方向是偏导数的反方向。
结果为
:
=孙+O(0-越(*'
))晞典
迭代更新的方式有两种,一种是批梯度下降,也就是对全部的训练数据求得误差后再对B进行更新,另外一种是增量梯度下降,每扫描一步都要对B进行更新。
前一种方法能够不断收敛,后一种方法结果可能不断在收敛处徘徊。
一般来说,梯度下降法收敛速度还是比较慢的。
另一种直接计算结果的方法是最小二乘法。
6最小二乘法
将训练特征表示为X矩阵,结果表示成y向量,仍然是线性回归模型,误差函数不变。
那么B可以直接由下面公式得出
d=(XTX)-,XTy.
但此方法要求X是列满秩的,而且求矩阵的逆比较慢。
7选用误差函数为平方和的概率解释
假设根据特征的预测结果与实际结果有误差E闰,那么预测结果沪曲和真实结果再满足下式:
沪=Fxw+现
一般来讲,误差满足平均值为0的高斯分布,也就是正态分布。
那么x和y的条件概率也就是
这样就估计了一条样本的结果概率,然而我们期待的是模型能够在全部样本上预测最准,也就是概率积最大。
注意这里的概率积是概率密度函数积,连续函数的概率密度函数与离散值的概率函数不同。
这个概率积成为最大似然估计。
我们希望在最大似然估计得到最大值时确定B。
那么需要对最大似然估计公式求导,求导结果既是
这就解释了为何误差函数要使用平方和。
当然推导过程中也做了一些假定,但这个假定符合客观规律。
8带权重的线性回归
上面提到的线性回归的误差函数里系统都是1,没有权重。
带权重的线性回归加入了权重信息。
基本假设是
1.rit0tomiiiiiiiizi?
工严⑷®
"
〕—fl7jj?
ji'
.
2.Output3
其中假设.符合公式
Ur11'
—CXp
其中x是要预测的特征,这样假设的道理是离x越近的样本权重越大,越远的影响越小。
这个公式与高斯分布类似,但不一样,因为讽咼不是随机变
此方法成为非参数学习算法,因为误差函数随着预测值的不同而不同,这样B无法事先确定,预测一次需要临时计算,感觉类似KNN
9分类和logistic回归
一般来说,回归不用在分类问题上,因为回归是连续型模型,而且受
噪声影响比较大。
如果非要应用进入,可以使用logistic回归。
logistic回归本质上是线性回归,只是在特征到结果的映射中加入
了一层函数映射,即先把特征线性求和,然后使用函数g(z)将最为假设函数来
预测。
g(z)可以将连续值映射到0和1上。
logistic回归的假设函数如下,线性回归假设函数只是疔咒。
logistic回归用来分类0/1问题,也就是预测结果属于0或者1的
二值分类问题。
这里假设了二值满足伯努利分布,也就是
P(y-
二1工;
〃)=屁(工)
二0工;
。
)—]—屁(反)
当然假设它满足泊松分布、指数分布等等也可以,只是比较复杂,后面会提到线性回归的一般形式。
与第7节一样,仍然求的是最大似然估计,然后求导,得到迭代公式结果为
可以看到与线性回归类似,只是曲扁换成了现禺妙),而浊炉呦实际上就是「厂经过g(z)映射过来的。
10牛顿法来解最大似然估计
第7和第9节使用的解最大似然估计的方法都是求导迭代的方法,这里介绍了牛顿下降法,使结果能够快速的收敛。
当要求解匚时,如果f可导,那么可以通过迭代公式
来迭代求解最小值。
当应用于求解最大似然估计的最大值时,变成求解最大似然估计概率导数旷C)的问题。
那么迭代公式写作
当B是向量时,牛顿法可以使用下面式子表示
Si-刖.
其中是nxn的Hessian矩阵。
牛顿法收敛速度虽然很快,但求Hessian矩阵的逆的时候比较耗费时间。
当初始点X0靠近极小值X时,牛顿法的收敛速度是最快的。
但是当X0远离极小值时,牛顿法可能不收敛,甚至连下降都保证不了。
原因是迭代点Xk+1不一定是目标函数f在牛顿方向上的极小点。
11一般线性模型
之所以在logistic回归时使用
的公式是由一套理论作支持的。
这个理论便是一般线性模型。
首先,如果一个概率分布可以表示成
P(y;
exp(『T(y}一g⑷)
时,那么这个概率分布可以称作是指数分布。
伯努利分布,高斯分布,泊松分布,贝塔分布,狄特里特分布都属于指数分布。
在logistic回归时采用的是伯努利分布,伯努利分布的概率可以表
示成
y+log(l-^)
护(1-
expCt/lo^t?
+(1—“Ik回1-l>
)1
其中
7?
=log(0/(l—0))・
得到
1
百—
1亠回
这就解释了logistic回归时为了要用这个函数。
一般线性模型的要点是
1)'
讨烬匸满足一个以•为参数的指数分布,那么可以求得•的表达式。
2)给定X,我们的目标是要确定「,大多数情况下"
d:
那么
我们实际上要确定的是」,而畤>>沖〕。
(在logistic回归中期望值是;
因此h是二;
在线性回归中期望值是-,而高斯分布中,因此线性回归中
h"
,)。
3)
12Softmax回归
最后举了一个利用一般线性模型的例子。
假设预测值y有k种可能,即y€{1,2,…,k}
比如k=3时,可以看作是要将一封未知邮件分为垃圾邮件、个人邮件还是工作邮件这三类。
定义
山=p(y二切
zLis=i
这样
p如二k神)二
即式子左边可以有其他的概率表示,因此可以当作是k-1维的问题。
为了表示多项式分布表述成指数分布,我们引入T(y),它是一组k-1
维的向量,这里的T(y)不是y,T(y)i表示T(y)的第i个分量。
丁⑴=
b11
.r(a)=
壬■
r>
ID
■
T{2)=
+…心—i)=
farM
n
.T{k)=
'
0'
n0
»
(J
--J
应用于一般线性模型,结果y必然是k中的一种。
1{y=k}表示当y=k
的时候,1{y=k}=1。
那么p(y)可以表示为
卩阳)=0严科T…0:
{T
=掉尸1农心即…就乞血中制
=护沖钿严加…就-£
潟盹}h
-exp((^(?
))ll°
g(^l)+(钊)+
…+(1-1匕(丁5))J吨触))
=oxp((T(t/))ilog(^i/^)+(T(y))3log他/如+卜(T(t/})fc_ilog触_i/氐)+log(如)
=&
(y)€xp(7/TT(y)-
其实很好理解,就是当y是一个值m(m从1到k)的时候,p(y)=二,然后形式化了一下。
Q(习)=
呦)=
log(伽©
)
*
log(Ofc-lM)
—log(^jfe)
最后求得
而y=i时
p(y—i|z;
0)—族
刀加严
求得期望值
-E[T®
)k;
切
=E
ih=i}ih=2}
—1
rr;
fl
a
.l{y-k
-1}
&
9k-l_
匸打磁口〔0;
工〕
ejjp(gTjJ
♦
严口(取严}
那么就建立了假设函数,最后就获得了最大似然估计
m
1—1
mk
□咗fl
£
=1
对该公式可以使用梯度下降或者牛顿法迭代求解。
解决了多值模型建立与预测问题。
学习总结
该讲义组织结构清晰,思路独特,讲原因,也讲推导。
可贵的是讲出了问题的基本解决思路和扩展思路,更重要的是讲出了为什么要使用相关方法以及问题根源。
在看似具体的解题思路中能引出更为抽象的一般解题思路,理论化水平很高。
该方法可以用在对数据多维分析和多值预测上,更适用于数据背后蕴含某种概率模型的情景。