完整版中考常见几何模型分析Word文档下载推荐.docx
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jB"
（3）AE与DC之间的夹角为60
\1
（4）AE与DC的交点设为H,
BH平分AHC
2、【条件】如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连结AG,CE，二者相交于点H。
【结论】
（1）ADGCDE是否成立？
（2）AG=CE
（3）AG与CE之间的夹角为90
（4）HD是否平分AHE？
旋转模型：
一、邻角相等对角互补模型
BCD90
【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，BAD
【结论】①ACBACD45②BCCD2AC
二、角含半角模型：
全等
角含半角要旋转：
构造两次全等
一线三等角模型
【条件】一条直线同一侧三个相等的角（如图）；
【结论】△ABCCDE
3、钝角形一线三等角
【真题拾遗】
1.（2014?
广州）如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、
DE,DE和FG相交于点0，设AB=a,CG=b（a>
b）.下列结论：
①厶BCG^JDCE:
②
BG丄DE；
③土=丄；
@（a-b）2?
S^Fo=b2?
Szdgo.其中结论正确的个数是（）
A.4个B.3个C.2个D.1个
2.（2016?
广州）如图，正方形ABCD的边长为1,AC,BD是对角线.将△DCB绕着点
D顺时针旋转45。
得到QGH，HG交AB于点E,连接DE交AC于点F,连接FG.则下列结论：
HA
\
〉
B
C
三、解答题
3.（2011广州中考）如图1,OO中AB是直径，C是OO上一点，/ABC=45°
，等腰直
角三角形DCE中ZDCE是直角，点D在线段AC上.
（1）证明：
B、C、E三点共线；
（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：
MN=.：
?
OM;
（3）将/DCE绕点C逆时针旋转a（0°
<
a<
90°
）后，记为AD1CE1（图2），若M1是
线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N仁卜工OM1是否成立？
若是，请证明；
若不是，说明理由.
E]1图2
4.（2016广州中考）如图，点C为AABD的外接圆上的一动点（点C不在"
厂上，且不
与点B,D重合），/ACB=/ABD=45°
（1）求证：
BD是该外接圆的直径；
（2）连结CD，求证:
「汨AC=BC+CD；
（3）若AABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.
参考答案
一、选择题
1、C
考点：
相似三角形的判定与性质；
全等三角形的判定与性质；
正方形的性质.
分析：
由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据正方形的性质，即可得BC=DC,
CG=CE，/BCD=/ECG=90。
，则可根据SAS证得①ABCG也JDCE；
然后根据全等三
角形的对应角相等，求得/CDE+/DGH=90。
，则可得②BH丄DE.由△DGF与△DCE相似即可判定③错误，由△GOD与AFOE相似即可求得④.
解答：
证明：
①•••四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
•••BC=DC,CG=CE，/BCD=ZECG=90°
•••ZBCG=/DCE,
在ABCG和ADCE中，
rBODC
"
炎角儀丽上DCE,
tCG=CE
•••ZBCGBQCE（SAS）,
2•「△BCG也△CE,「./CBG=ZCDE，又/CBG+/BGC=90°
•••ZCDE+ZDGH=90°
.・.0HG=9O°
，-BH丄DE;
3「•四边形GCEF是正方形，
•••GF//CE,
=丄，
4「DC//EF,「./GDO=ZOEF,「/GOD=/FOE,a^）GD^ZOFE,
Sadco
=
^AEFO
（a-b）2?
SAEFO=b2?
Szdgo.故应选
点评：
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质.
二、填空题
2、①②③
三角形全等、三角形内角和、菱形
首先证明厶ADEB/GDE，再求出/AEF、/AFE、/GEF、/GFE的度数，推出AE=EG=FG=AF，由此可以——判断.
•••四边形ABCD是正方形，
•••AD=DC=BC=AB，/DAB=ZADC=/DCB=/ABC=90°
ADB=/BDC=ZCAD=/CAB=45°
•••ZDHG是由△DBC旋转得到，
•••DG=DC=AD，/DGE=ZDCB=ZDAE=90°
在RT^ADE和RTMDE中，
「DE二DE
〔DA二DG，
•••AED^/GED，故②正确，•/ADE=/EDG=22.5°
AE=EG,
•ZAED=/AFE=67.5°
，-AE=AF，同理EG=GF,「.AE=EG=GF=FA,
•四边形AEGF是菱形，故①正确，
VZDFG=ZGFC+ZDFC=ZBAC+ZDAC+ZADF=112.5°
，故③正确.
••AE=FG=EG=BG,BE=；
\AE,^BE>
AE,「・AEV二，「.CB+FGV1.5，故④错误
故答案为①②③.
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三
角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等，学会这种证明角相等的方法,
属于中考常考题型.
3、
（1）三点共线
（2）中位线、全等三角形（手拉手性质）（3）同
（2）
（1）根据直径所对的圆周角为直角得到/BCA=90°
DCE是直角，即可得到/BCA+
ZDCE=90°
=180°
;
（2）连接BD,AE,ON，延长BD交AE于F,先证明RtABCD织t△ACE,得到BD=AE,
ZEBD=/CAE，则ZCAE+ZADF=ZCBD+ZBDC=90°
，即BD丄AE，再利用三角形
丄丄
的中位线的性质得到ON=%d,OM=2ae,ON//BD,AE//OM,于是有ON=OM,
ON丄OM，即AONM为等腰直角三角形，即可得到结论；
（3）证明的方法和
（2）一样.
解答:
（1）证明：
TAB是直径，
•••ZBCA=90°
而等腰直角三角形DCE中/DCE是直角，
•••ZBCA+/DCE=90°
180°
・B、C、E三点共线;
（2）连接BD,AE,ON，延长BD交AE于F，如图1,
••CB=CA,CD=CE,「.RtABCD织t△KCE,「.BD=AE，/EBD=/CAE,
•••ZCAE+ZADF=ZCBD+/BDC=90。
，即BF丄AE,
又TM是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点，
11
•ON二一BD,OM二一AE,ON//BD,AE//OM;
22
•••ON=OM,ON丄OM，即AONM为等腰直角三角形，
•••MN=:
：
（3）成立.
理由如下：
女口图2,连接BD1,AE1,ON1,vzACB-/ACD1=ZD1CE1-/ACD1,
•••/BCD仁ZACE1，又•/CB=CA,CD1=CE1,a^BCD1也ACE1,
与
（2）同理可证BD1丄AE1,△ON1M1为等腰直角三角形，
从而有M1N仁k：
OM1.
團2圍】
本题考查主要三角形全等的判定和中位线的性质，熟练掌握手拉手模型，作为本题切入点，可以非常顺利的解决本题。
4、
圆的相关概念、等腰三角形、截长补短（旋转模型性质）、勾股定理分析：
（1）要证明BD是该外接圆的直径，只需要证明/BAD是直角即可，又因为/
ABD=45。
，所以需要证明/ADB=45
（2）在CD延长线上截取DE=BC，连接EA，只需要证明△EAF是等腰直角三角形即可得出结论；
（3）
过点M作MF丄MB于点M，过点A作AF丄MA于点A,MF与AF交于点F,证明△AMF是等腰三角形后，可得出AM=AF,MF=:
AM，然后再证明△ABF^ZADM可得出BF=DM，最后根据勾股定理即可得出DM2,AM2,BM2
（2）在CD的延长线上截取DE=BC,
VZADE+/ADC=180
ZABC+ZADC=180°
•ZABC=/ADE,
在ZABC与ZADE中,
Zabc=Zade
•••/ABC也ZDE（SAS）,•••ZBAC=/DAE,
BC=EE
•••ZBAC+/CAD=ZDAE+/CAD,/./BAD=/CAE=90°
・"
=」L：
•••/\CD=ZABD=45°
•△）AE是等腰直角三角形，
•:
AC=CE,•:
AC=CD+DE=CD+BC;
（3）过点M作MF丄MB于点M，过点A作AF丄MA于点A,MF与AF交于点F,连接BF,
/•zFMA=45
•••念MF是等腰直角三角形,
••AM=AF,MF="
AM,
•••JMAF+ZMAB=ZBAD+ZMAB,
•••zFAB=/MAD,
在AABF与AADM中,
本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与
判定，勾股定理等知识，熟练掌握旋转模型的特征和性质，作为本题切入点，构造出等腰直角三角形，方向明确，减小了本题的难度。
【模拟演练】一、选择题
1、（2014番禺华附一模）如图2，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF丄EC交边AB
于F,连FC,下列结论不止确.的是（D）.
2、（2017十六中一模）如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.有
直角ZMPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆
时针旋转/MPN，旋转角为B（0°
0<
）,PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连
接EF交OB于点G,则下列结论中正确的是（C）.
3、（2016黄埔区一模）如图6，已知ABC和AED均为等边三角形，点D在BC边上,
DE与AB相交于点F，如果AC12,CD4，那么bF的长度为.
4、（2016荔湾区一模）如图，正三角形ABC内接于OO,P是弧BC上的一点（P不与点
B、C重合），且PBPC,PA交BC于E,点F是PC延长线上的点，CFPB,AB■13,
（1）求证ABP也ACF;
（2）求证ACPAAE;
（3）求PB和PC的长.
5、（2016海珠区一模）已知正方形ABCD和正方形CEFG，连接AF交BC于O点，点P是AF的中点，过点P作PH丄DG于H,CD=2,CG=1。
（1）如图1，点D、C、G在同一直线上，点E在BC边上，求PH得长；
（2）把正方形CEFG绕着点C逆时针旋转（0°
<
aV180°
）
1如图2，当点E落在AF上时，求CO的长；
'
2如图3，当DG=-^】7时，求ph的长。
23
6、（2017二中一模）已知抛物线C1:
yaxbx—（a0）经过点A（1,0）和B（-3,2
0）.
（1）求抛物线C1的解析式，并写出其顶点C的坐标；
（2）如图1，把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2，此时点A,C分别平移到点D,E处.设点F在抛物线C1上且在x轴的上方，若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（3）如图2,在
（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN丄EM交直线BF于点N,点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：
①tanZENM的值如何变化？
请说
明理由；
②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长.
1、D
相似三角形、三角形内角和（一线三直角）
利用等角的余角相等得到/AFE=/DEC,则根据有两组角对应相等的两个三角形相似
得到Rt△KEFsRtQCE，由相似的性质得CD:
AE=DE:
AF，而CD=AB,DE=AE,贝UAB:
AE=AE:
AF,即AE2=AB?
AF,禾U用AF<
AB,得至UAB>
AE;
再禾U用RtAAEFsRtQCE得到EF:
EC=AF:
DE,把DE=AE代入得到EF:
AE，根据比例
性质得EF:
AF=EC:
AE，加上/A=/FEC=90。
，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似得到△AEFs/ECF;
由ZEFC^90°
可判断ZAEFs/BFC相似不成立，而当/AFE=ZBFC时，可判断厶AEFs/BCF.
•••/AEF+ZDEC=90°
'
/ZAEF+ZAFE=90°
/-ZAFE=/DEC,
•••Rt△AEFSRt△DCE;
「.CD:
AE=DE:
AF,：
E为矩形ABCD的边AD的中点，
•••CD=AB,DE=AE,「.AB:
AE=AE:
AF,即AE2=AB?
AF,
而AF?
AB,「.AB?
•••Rt△AEFSRt△DCE,AEF:
EC=AF:
DE，而DE=AE,
•••EF:
AE,即EF:
AF=EC:
AE,vZA=ZFEC=90°
•ZAEFs^CF;
•••/EFC須0°
.'
./AEFs/BFC相似不成立,
但当/AFE=ZBFC时,A\EF^ZBCF.故选D.
此题为非常明显的考查相似三角形知识点，根据一线三等角模型特征快速得出答案。
2、C
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质
①由四边形ABCD是正方形，直角/MPN，易证得厶BOE也zCOF（ASA），则可证得
结论;
则可证得结论；
3首先设AE=x，贝UBE=CF=1-x,BF=x，继而表示出△BEF与ACOF的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案；
4易证得厶OEGs^）BE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OG?
OB=OE2,
再利用OB与BD的关系，OE与EF的关系，即可证得结论.
①•••四边形ABCD是正方形，
•••OB=OC,ZOBE=/OCF=45°
，/BOC=90°
/-ZBOF+ZCOF=90°
•••左OF=90°
•••/BOF+ZCOE=90°
•/BOE=ZCOF,
在ABOE和ACOF中，/BOE=ZCOF,OB=OC
ZOBE=ZOCF,.・.A3OE也AOF（ASA）,「.OE=OF,BE=CF,
•••EF=22OE做正确;
====1
边边OEBF=S△BOE+S△BOE=SABOE+S△COF=S^BOC=一S正方形ABCD
4
•S四边边OEBF：
S正方形ABCD=1：
4；
故正确;
O作OH丄BC,VBC=1,.・.OH=12BC=12
设AE=x，贝UBE=CF=1-x,BF=x,
11111129
■^Sabef+Szcof=—BE?
BF+—CF?
OH=—x（1-x）+—（1-x）X=—（x-14）+—
22222232
'
•°
a=-12<
0,
当x=14时,Sabef+SacOF最大；
即在旋转过程中，当ABEF与ACOF的面积之和最大时,AE=14;
故错误；
4•/EOG=/BOE,ZOEG=ZOBE=45°
•A）EGsA）be,
OE:
OB=OG:
OE,
OG?
OB=
=OE2,OB=1BD,OE=22EF,
BD:
=ef2,
••在伯ef中，ef2=be2+bf2,
•EF2=AE2+CF2,
BD=AE2+CF2.故正确。
C.
从图形上看是一个比较复杂的题，但是实际题目难度并不是很大，利用对角互补旋转
模型结论再结合个够定理就能解决此题。
相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质
先利用等边三角形的性质得到/C=ZADE=/B=60°
AB=BC=AC=12，再利用三角形外角性质证明/BDF=/CAD，则可判断△DBF^△KCD，然后利用相似比计算BF的长.
•••/C=/ADE=ZB=60°
AB=BC=AC=12,
•/ZADB=ZDAC+ZC,
而/ADB=ZADE+ZBDF,
•••ZBDF=/CAD,
•••/DBFs^cd,
•••BF:
CD=BD:
AC,
8
即BF:
4=8:
12,解得BF=.
故答案为-.
此题利用对角互补旋转模型推导过程得到对应结论，再利用相似解决第
（2）（3）问
圆周角定理，等边三角形的性质，等边三角形的判定，圆内接四边形的任何一个外角
都等于它的内对角
对于
（1），先根据等边三角形的性质得到AB=AC，再利用圆的内接四边形的性质得
/ACF=ZABP，根据“SAS”即可得证；
对于
（2），先根据等边三角形的性质得到/ABC=JCB=60。
，再根据圆周角定理得
/APC=/ABB=60°
，加上/CAE=ZPAC,于是可判断△ACEs公pc,然后利用相似比即可得到结论；
133
对于（3），先利用AC=PA?
AE计算出aE=4，则PE=AP-AE=4，再证△APF
为等边三角形，得到PF=PA=4，则有PC+PB=4，接着证明△ABPs^CEP，得到
PBPC=PEAP=3,然后根据根与系数的关系，可把PB和PC看作方程X-4x+3=0的两实数解，再解此方程即可得到PB和PC的长.
•••正三角形ABC内接于OO,
•••AB=AC.
•••四边形ABPC为圆的内接四边形，
•ZACF=ZABP.
在△ABP和△ACF中，
AB=AC
/ABP=/ACF
BP=CF
•ZABP^zACF.
（2）证明：
•••正三角形ABC内接于O0,
•ZABC=ZACE=60°
•ZAPC=ZABC=60°
•ZACE=ZAPC
vzCAE=ZPAC
•ZACEs^\PC
•••AE:
AC=AC:
AP
•AC=PA?
AE.
（3）TAC=PA?
AE,AB=AC,
13
•AE=AB?
AP=,
•PE=AP-AE=4——二,
44
•/ZABP^zACF,
•ZAPB=/F=60°
而/APC=60°
•ZAPF为等边三角形，
/•PF=PA=4,
•••PC+CF=PC+PB=4.
VZBAP=/PCE,/APB=ZAPC,
•ZABPs©
EP,
•••PB:
PE=AP:
PC,
「•PBPC=PEAP=X4=3.
VPB+PC=4,
•••PB和PC可看作方程x4x30的两实数解，解此方程得为1,X23.
•/PBvPC,
•••PB=1,PC=3.
此题为标准手拉手模型，所以除了相似三角形得出答案，还能利用手拉手模型性质解
决。
梯形中位线、相似三角形、勾股定理、全等三角形（一线三直角）分析：
先判断出四边形APGF是梯形，再判断出PH是梯形的中位线，
PH=-（FG+AD）
得到2;
（2）①先判断出△COEs/AOB，得到AO是CO的2倍，设出CO,表示出BO,
AO，再用勾股定理计算，②先找出辅助线，再判断出△ARD也△SC,ACSG^zGTF,
求出AR+FT，最后用梯形中位线即可.
（1）PH丄CD,AD丄CD,
•••PH//AD//FG,
•••点P是AF的中点，
•••PH是梯形APGF的中位线，
•PH=—（FG+AD）二,
22
（2）①vZCEO=ZB=90°
ZCOE=ZAOB,
z.ZCOEs/aob,
•••COAO=CEAB,
•••COAO=12,
设CO=x,
•••AO=2x,BO=2-x,
22
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