三角形全等20个经典试题图形变换.docx

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三角形全等20个经典试题图形变换

三角形全等20个经典试题（图形变换）

．1.四边形ABCD是正方形（提示：

正方形四边相等，四个角都是90°）

（1）如图1，点G是BC边上任意一点（不与点B、C重合），连接AG，

作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．求证：

△ABF≌△DAE；

（2）直接写出

（1）中，线段EF与AF、BF的等量关系

（3）①如图2，若点G是CD边上任意一点（不与点C、D重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，则图中全等三角形是____________，线段EF与AF、BF的等量关系是___________

 ②如图3，若点G是CD延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，线段EF与AF、BF的等量关系是__________________

（4）若点G是BC延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，请画图、探究线段EF与AF、BF的等量关系．

2小明、小敏两人一起做数学作业，小敏把题读到如图

（1）所示，CD⊥AB，BE⊥AC时，还没把题读完，就说：

“这题一定是求证∠B=∠C，也太容易了．”她的证法是：

由CD⊥AB，BE⊥AC，得∠ADC=∠AEB=90°，公共角∠DAC=∠BAE，所以△DAC≌△EAB．由全等三角形的对应角相等得∠B=∠C．

小明说：

“小敏你错了，你未弄清本题的条件和结论，即使有CD⊥AB，BE⊥AC，公共角∠DAC=∠BAE，你的推理也是错误的．看我画的图

（2），显然△DAC与△EAB是不全等的．再说本题不是要证明∠B=∠C，而是要证明BE=CD．”

（1）根据小敏所读的题，判断“∠B=∠C”对吗？

她的推理对吗？

若不对，请做出正确的推理．

（2）根据小明说的，要证明BE=CD，必然是小敏丢了题中条件，请你把小敏丢的条件找回来，并根据找出的条件，你做出判断BE=CD的正确推理．

（3）要判断三角形全等，从这个问题中你得到了什么启发？

3请阅读下列材料：

问题：

如图1，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点B、C、E在同一条直线上，M是线段AF的中点，连接DM，MG．探究线段DM与MG数量与位置有何关系．

小聪同学的思路是：

延长DM交GF于H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）直接写出上面问题中线段DM与MG数量与位置有何关系

（2）将图1中的正方形CEFG绕点C顺时针旋转，使正方形CEFG对角线CF恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在

（1）中得到的两个结论是否发生变化？

写出你的猜想并加以证明．

（3）如图3，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，写出你的猜想．

4在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．

原问题：

如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．

小慧同学的思路是：

过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．

小东同学说：

我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．

请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：

（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；

（2）如图2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在

（1）中得到的结论是否发生变化？

请写出你的猜想并加以证明；

（3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在

（1）中得到的结论是否发生变化？

请写出你的猜想并加以证明。

5阅读下列材料：

问题：

如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠BEF=60°，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC，探究PG与PC的位置关系

小颖同学的思路是：

延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

请你参考小颖同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）请你写出上面问题中线段PG与PC的位置关系；

（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在

（1）中得到的结论是否发生变化？

写出你的猜想并加以证明，

6把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的规则放置：

“在同一平面内将直角顶点叠合”．

（1）图1是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，B、C、D在同一条直线上，连接EC．请找出图中的全等三角形（结论中不含未标识的字母），并说明理由；

（2）图2也是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，A、C、D在同一条直线上，连接BD、连接EC并延长与BD交于点F．请找出线段BD和EC的位置关系，并说明理由；

（3）请你：

①画出一个符合放置规则且不同于图1和图2所放位置的几何图形；

②写出你所画几何图形中线段BD和EC的位置和数量关系；

③上面第②题中的结论在按照规则放置所抽象出的几何图形中都存在吗？

7如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）①写出图1中的一对全等三角形；②写出图1中线段DE、AD、BE所具有的等量关系；（不必说明理由）

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请说明DE=AD-BE的理由；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE又具有怎样的等量关系？

请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．

8如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ABC=90°，AB=4，BC=6，∠DEF=90°，DE=EF=4．

（1）移动△DEF，使边DE与AB重合（如图1），再将△DEF沿AB所在直线向左平移，使点F落在AC上（如图2），求BE的长；

（2）将图2中的△DEF绕点A顺时针旋转，使点F落在BC上，连接AF（如图3）．请找出图中的全等三角形，并说明它们全等的理由．（不再添加辅助线，不再标注其它字母）

9复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：

“如下图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使得∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”

（1）小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP．请你帮小亮完成证明．

（2）之后，小亮又将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，“BQ=CP”仍然成立吗？

若成立，请你就图②给出证明．若不成立，请说明理由．

10如图1，

（1）△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边

求证：

BD=CE．

（2）拓展探究

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．

①求∠AEB的度数；

②判断线段CM,AE，BE之间的数量关系，并说明理由

11如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．

（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°

①求证：

AD=BE；

②求∠AEB的度数．

12如图，点A，B，C在同一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形．

（1）求证：

AE=CD；

（2）若M，N分别是AE，CD的中点，试判断△BMN的形状，并证明你的结论．

13

如图，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作

等腰△ACD和△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD=∠BCE，

连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP

（1）求证：

△ACE≌△DCB；

（2）请你判断△ACM与△DPM的形状有何关系并说明理由；

（3）求证：

∠APC=∠BPC。

14如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM上时，

以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连结BE。

（1）延长BE交射线AM于点F，请把图形补充完整，并求∠BFM的度数

（2）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，设直线BE与直线AM的交点为F，∠B的大小是否发生变化?

若不变，请在备用图中画出图形，并直接写出∠BFM的度数，若变化，请写出变化规律。

15如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．

（1）求证：

△ABC≌△DCB；

（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．

16如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．

求证：

（1）∠PBA=∠PCQ=30°；

（2）PA=PQ．

17数学课上，张老师出示了问题：

如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．

，且EF交正方形外角

的平行线CF于点F，求证：

AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：

取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证

，所以

．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：

如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？

如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：

如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？

如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

18在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，

连接AC、CF，

求证：

CA是∠DCF的平分线。

19如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．

求证：

（1）∠PBA=∠PCQ=30°；

（2）PA=PQ．

20如图

（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．

（1）连接GD，求证：

△ADG≌△ABE；

（2）连接FC，观察

并猜测∠FCN的度数，并说明理由；