1993年考研数学三真题与全面解析.docx
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1993年考研数学三真题与全面解析
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.）
（1）
2
3x52
limsin
x
5x3x
.
（2）已知
3x2
2
yf,fxarctanx,
3x2
则
dy
dx
x0
.
（3）级数
n0
n
（ln3）
n
2
的和为.
（4）设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵
*
A的秩为.
（5）设总体X的方差为1,根据来自X的容量为100的简单随机样本,测得样本均值为5,则
X的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为.
二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.）
1
xsin,x0,
（1）设fx2
x
则fx在点x0处（）
0,x0,
（A）极限不存在（B）极限存在但不连续
（C）连续但不可导（D）可导
（2）设fx为连续函数,且
lnx
Fxftdt则Fx等于（）
1,
x
（A）
111
flnxf
2
xxx
（B）
11
flnxf
xx
（C）
111
flnxf
2
xxx
（D）flnxf1
x
（3）n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（）
（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件
（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件
（4）假设事件A和B满足P（BA）1,则（）
（A）A是必然事件（B）P（BA）0.
（C）AB（D）AB
（5）设随机变量X的密度函数为（x）,且（x）（x）.F（x）是X的分布函数,则对任
意实数a,有（）
（A）
a
F（a）1（x）dx.（B）
0
1
a
F（a）（x）dx
2
0
（C）F（a）F（a）（D）F（a）2F（a）1
三、（本题满分5分）
zyx
设zfx,y是由方程zyxxe0所确定的二元函数,求dz.
四、（本题满分7分）
已知
x
xa
22x
lim4xedx
xa
xa
求常数a的值.
五、（本题满分9分）
设某产品的成本函数为
2,
Caqbqc需求函数为
1
q（dp）,
e
其中C为成本,q
为需求量（即产量）,p为单价,a,b,c,d,e都是正的常数,且db,求:
（1）利润最大时的产量及最大利润;
（2）需求对价格的弹性;
（3）需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.
六、（本题满分8分）
x假设:
（1）函数yf（x）（0x）满足条件f（0）0和0f（x）e1;
x
（2）平行于y轴的动直线MN与曲线yf（x）和ye1分别相交于点
P和
1
P;
2
（3）曲线yf（x）,直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段
PP的长度.
12
求函数yf（x）的表达式.
七、（本题满分6分）
假设函数f（x）在[0,1]上连续,在（0,1）内二阶可导,过点A（0,f（0））与B（1,f
（1））的直
线与曲线yf（x）相交于点C（c,f（c））,其中0c1.
证明:
在（0,1）内至少存在一点,使f（）0.
八、（本题满分10分）
k为何值时,线性方程组
xxkx
123
4,
2
xkxxk
123
xx2x4
123
有惟一解,无解,有无穷多组解?
在有解情况下,求出其全部解.
九、（本题满分9分）
设二次型
222
fx1x2x32x1x22x2x32x1x3
经正交变换XPY化成
22TT
fy22y3,其中X（x1,x2,x3）和Y（y1,y2,y3）是三维列
向量,P是3阶正交矩阵.试求常数,.
十、（本题满分8分）
设随机变量X和Y同分布,X的概率密度为
3
f（x）8
2
x,0x2,
0,其他.
（1）已知事件AXa和BYa独立,且3
PAB.求常数a.
4
（2）求
1
2
X
的数学期望.
十一、（本题满分8分）
假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数Nt服从参数为t的泊松分
布.
（1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；
（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q.
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.）
（1）【答案】
6
5
【解析】
2
sin
22
35235
xxx
limsin2limlim
2
2
x
5x3x5x3x
xxx
极限
2
sinsin
x
t
limlim1
2
xt0
t
x
而
2
3x56x3
limlim
洛,
2
xx
5x3x10x5
所以
2
3x5236
limsin21
xxx
5355
.
3
（2）【答案】
4
【解析】令
3x2
gx,
3x2
则有g01,
gx
12
3x2
2
则g03,
由复合函数求导法则知
dy
dx
x0
3
fg0g03f13arctan1.
4
2
（3）【答案】
2ln3
【解析】利用几何级数求和公式
n0
1
n
x（x1）,
1x
令
ln3
x,即得
2
n0
n
（ln3）12
.
n
ln3
22ln3
1
2
（4）【答案】0
【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.
*由于rA2,说明A中3阶子式全为0,于是A的代数余子式A0,故0
A.ij
*
所以秩rA0.
若熟悉伴随矩阵
*
A秩的关系式
n,rAn,
*
rA1,rAn1,
0,rAn1,
*
易知rA0.
注：
按定义
AAA
1121n1
AAA
*1222n2
A,
AAA
1n2nnn
伴随矩阵是n阶矩阵,它的元素是行列式A的代数余子式,是n1阶子式.
（5）【答案】（4.804,5.196）
【解析】此题是求一个一般总体、大样本、方差已知的关于期望值的置信区间,可以
用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间.
X
因X的方差为1,设X的期望为,则（0,1）
UN
.
/n
uu1.96.因此用公式：
当置信度为10.95,时0.05,有正态分布表知0.025
2
I（xu,xu）
nn
22
.
x5,1,n100,u1.96代入上式,得到所求的置信区间为I（4.804,5.196）.将
2
二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.）
（1）【答案】（C）
【解析】利用函数连续定义判定.
由于当x0时,
sin
1
2
x
为有界变量,x为无穷小量,则
1
limfxlimxsin0
2
xxx
00
且f00.
于是fx在x0处连续.故（A）（B）不正确.
又因为
11
xsinf0xsin
22
11
xx
limlimlimsin
2
x0x0x0xx0xx
不存在,所以fx
在x0处不可导,所以选（C）.
【相关知识点】函数连续定义：
如果函数在x0处连续,则有
limf（x）limf（x）f（x）.
0
xxxx
00
（2）【答案】（A）
【解析】
flnx
11111
Fxflnxff.
22
xxxxxx
【相关知识点】积分上限函数的求导公式：
d
dx
x
x
ftdtfxxfxx
.
（3）【答案】（B）
【解析】AA有n个线性无关的特征向量.
由于当特征值
12时,特征向量1,2线性无关.从而知,当A有n个不同特征值时,
矩阵A有n个线性无关的特征向量,那么矩阵A可以相似对角化.
因为当A的特征值有重根时,矩阵A仍有可能相似对角化（当特征根的代数重数等于其
几何重数的时候）,所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件,故应选（B）.
（4）【答案】（D）
【解析】P（BA）1的充分必要条件是
P（AB）
P（A）
1,即P（AB）P（A）.显然四个选项中,
当AB时,ABA,可得P（AB）P（A）.因此AB是P（BA）1的充分条件.因此
选（D）.
（5）【答案】（B）
【解析】题目即考查概率论方面的知识,在计算过程中又用到定积分的一些知识.
由积分的性质,换元积分,并改变积分上下限有
xt
aa
F（a）（x）dx（t）dt（x）dx,
a
随机变量X的密度函数为（x）,则（x）dx1,又由于（x）（x）,所以
0
1
（x）dx（x）dx,（偶函数积分的性质）
02
即
1
a0a
（x）dx（x）dx（x）dx（x）dx.
a0a
2
于是
aa1a
F（a）（x）dx（x）dx（x）dx（x）dx（x）dx.
a000
2
故应选（B）.
三、（本题满分5分）
【解析】方法一：
利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得
zyxzyx
dzdydxedxxedzdydx0.
zyxzyxzyxzyx
整理后得1xedz1xeedx1xedy.
由此,得
zyxzyx
1xee
dzdxdy
zyx
1xe
.
zyx
方法二：
应先求出函数对x,y的偏导数,将zyxxe0两边分别对x,y求偏导,
zyxzyx
z1exez10,
xx
zyx
z1xez10,
yy
解之得
zyx
1x1e
z
xzyx
1xe
z1.
y
故
zyx
1x1e
dzzdxzdydxdy
xyzyx
1xe
.
四、（本题满分7分）
xx
xa2a2a
limlim1lim1
xxx
xaxaxa
xa2ax
2axa
【解析】
令
2a
xa
t
则当x时,t0,
xa
2a2
a
lim1lim1
xt0
xa
1
tte
所以
lim1
x
2a
xa
xa2ax
2axa
2ax
lim
xa
x
ee
2a
.
而
22x22x22x2x
4xedx2xde2xe4xedx
aaaa
22b22a2xlim2be2ae2xde
ba
22a2x2x
2ae2xe2edx
aa
22a2b2a2b2a
2aelim2be2aelimee
bb
22a2a2a
2ae2aee,
由
2a222a22a2a
eaeaee,得
20
aa,所以a0或a1.
五、（本题满分9分）
【解析】
（1）利润函数为
22
LpqC（deq）q（aqbqc）（db）q（ea）qc,
dL
对q求导,并令0
dq
dL
得（db）2（ea）q0
dq
得
q
db
2（ea）
.
因为
2
dL
22（）0,
ea
dq
所以,当
q
db
2（ea）
时为利润函数的极大值点,根据题意也是利
润的最大值点,所以
2
（db）
Lc
max
4（ea）
.
（2）因为
1
q（p）（dp）
e
所以
q（p）
1
e
故需求对价格的弹性为
peqd
q
qeq
.
（3）由1,得
q
d
2e
.
六、（本题满分8分）
【解析】由题设可得示意图如右.设
x
PxfxPxe,则
1（,（））,2（,1）
SPP,
12
即
x
0
x
f（t）dte1f（x）.
xx两端求导,得f（x）ef（x）,即f（x）f（x）e.
由一阶线性非齐次微分方程求解公式,得
p（x）dxp（x）dx
f（x）e（q（x）edxC）
dxxdx
e（eedxC）
1
xxxxx
（eedxC）eCee.
2
由初始条件f（0）0,得
1
C.因此,所求函数为
2
1
xx
f（x）（ee）.
2
【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程yp（x）yq（x）的通解公式为:
p（x）dxp（x）dx
ye（q（x）edxC）,其中C为常数.
七、（本题满分6分）
【解析】因为f（x）分别在[0,c]和[c,1]上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在
1（0,c）,2（c,1）,使得
f（c）f（0）f
（1）f（c）
f（）,f（）,
12
c01c
由于点C在弦AB上,故有
f（c）f（0）f
（1）f（c）f
（1）f（0）
c01c10
f
（1）f（0）,
从而f
（1）f
（2）f
（1）f（0）.
这表明f（x）在区间
[,]上满足罗尔定理的条件,于是存在（1,2）（0,1）,使得
12
f（）0.
八、（本题满分10分）
【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换,
第一行和第三行互换,再第一行分别乘以1、1加到第二行和第三行上,再第二行和
1k
第三行互换,再第二行乘以加到第三行上,有
2
11k41124
22
A1k1k1k1k
112411k4
11241124
2
0k13k402k28
2
02k280k13k4
1124
02k28
.
（1k）（4k）
00k（k4）
2
（1）当k1且k4时,r（A）r（A）3,方程组有唯一解,即
22
k2kk2k42k
x,x,x.
123
k1k1k1
（2）当k1时,r（A）3,r（A）2方程组无解.
11241030
（3）当k4时,有
A02280114.
00000000
因为r（A）r（A）23,方程组有无穷多解.
T
取x3为自由变量,得方程组的特解为（0,4,0）
.
T,所以方程组的通解为k,其中k为任意常数.
又导出组的基础解系为（3,1,1）
【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设A是mn矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广
矩阵AAb的秩,即r（A）r（A）.（或者说,b可由A的列向量
1,2,,n线表出,亦
等同于
1,2,,n与1,2,,n,b是等价向量组）
设A是mn矩阵,线性方程组Axb,则
（1）有唯一解r（A）r（A）n.
（2）有无穷多解r（A）r（A）n.
（3）无解r（A）1r（A）.
b不能由A的列向量
1,2,,n线表出.
九、（本题满分9分）
110
【解析】经正交变换二次型f的矩阵分别为
A1,B1.
112
由于P是正交矩阵,有P1APB,即知矩阵A的特征值是0,1,2.那么有
22
A
20,
EA20.
0.
【相关知识点】二次型的定义：
含有n个变量
x1,x2,,xn的二次齐次多项式（即每项都是二
次的多项式）
nn
fx,x,,xaxx,其中aijaji,
12nijij
i1j1
T
称为n元二次型,令xx1,x2,,x,Aaij,则二次型可用矩阵乘法表示为
n
T
fxxxxAx
1,2,,,
n
其中A是对称矩阵
T
AA,称A为二次型
fx1,x2,,xn的矩阵.
十、（本题满分8分）
【解析】
（1）依题意,因为随机变量X和Y同分布,则
PAPXaPYaPB,
又事件AXa和BYa独立,故PABPAPB.
估计广义加法公式：
23PABPAPBPAPB2PAPA.
4
解以P（A）为未知量的方程
意）.
23
PA2PA0.得
4
1
P（A）,（因
2
3
P（A）不合题
2
再依题设条件可知
131
223
P（A）P{Xa}f（x）dxxdx（8a）.
2aa88
再解以a为未知量的方程:
3
8a4,得
a.34
34
（2）直接根据公式可求得随机变量函数的数学期望:
112132333
22
Efxdxxdxdxx.
0
22020
Xxx8884
十一、（本题满分8分）
【解析】本题的关键在于理解随机变量Nt的意义,事件{Ntk}表示设备在任何长为t
k
的时间内发生k次故障,其概率为{}（）（0,1,2）
tt
t
PNtkek
k!
.
由于T表示相继两次故障之间时间间隔,故当t0时,FtPTt0;当t0时,
事件Tt与Tt是互逆事件,并且Tt表示在长为t的时间内没有发生故障,它等
价于事件Nt0.
（1）易见T是只取非负值的连续型随机变量.
当t0时,FtPTt0;
当t0时,事件Tt与Nt0等价.于是有
t
FtPTt1PTt1PNt01e.
因此
Ft
t
1e,t0
0,t
.
计算得知T服从参数为的指数分布.
（2）由于指数分布具有“无记忆性”,因此
88QPT16|T8PT81PT81F（8）1（1e）e.
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