1993年考研数学三真题与全面解析.docx

1、1993年考研数学三真题与全面解析1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)23x52limsinx5x3x.(2)已知3x22yf,fxarctanx,3x2则dydxx0.(3)级数n0n(ln3)n2的和为.(4)设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵*A的秩为.(5)设总体X的方差为1,根据来自X的容量为100的简单随机样本,测得样本均值为5,则X的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的

2、字母填在题后的括号内.)1xsin,x0,(1)设fx2x则fx在点x0处()0,x0,(A)极限不存在(B)极限存在但不连续(C)连续但不可导(D)可导(2)设fx为连续函数,且lnxFxftdt则Fx等于()1,x(A)111flnxf2xxx(B)11flnxfxx(C)111flnxf2xxx(D)flnxf1x(3)n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的()(A)充分必要条件(B)充分而非必要条件(C)必要而非充分条件(D)既非充分也非必要条件(4)假设事件A和B满足P(BA)1,则()(A)A是必然事件(B)P(BA)0.(C)AB(D)AB(5)设随机变量X的密度函数为

3、(x),且(x)(x).F(x)是X的分布函数,则对任意实数a,有()(A)aF(a)1(x)dx.(B)01aF(a)(x)dx20(C)F(a)F(a)(D)F(a)2F(a)1三、(本题满分5分)zyx设zfx,y是由方程zyxxe0所确定的二元函数,求dz.四、(本题满分7分)已知xxa22xlim4xedxxaxa,求常数a的值.五、(本题满分9分)设某产品的成本函数为2,Caqbqc需求函数为1q(dp),e其中C为成本,q为需求量(即产量),p为单价,a,b,c,d,e都是正的常数,且db,求:(1)利润最大时的产量及最大利润;(2)需求对价格的弹性;(3)需求对价格弹性的绝对值

4、为1时的产量.六、(本题满分8分)x假设:(1)函数yf(x)(0x)满足条件f(0)0和0f(x)e1;x(2)平行于y轴的动直线MN与曲线yf(x)和ye1分别相交于点P和1P;2(3)曲线yf(x),直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段PP的长度.12求函数yf(x)的表达式.七、(本题满分6分)假设函数f(x)在0,1上连续,在(0,1)内二阶可导,过点A(0,f(0)与B(1,f(1)的直线与曲线yf(x)相交于点C(c,f(c),其中0c1.证明:在(0,1)内至少存在一点,使f()0.八、(本题满分10分)k为何值时,线性方程组xxkx1234,2xkxxk123,xx2

5、x4123有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解.九、(本题满分9分)设二次型222fx1x2x32x1x22x2x32x1x3经正交变换XPY化成22TTfy22y3,其中X(x1,x2,x3)和Y(y1,y2,y3)是三维列向量,P是3阶正交矩阵.试求常数,.十、(本题满分8分)设随机变量X和Y同分布,X的概率密度为3f(x)82x,0x2,0,其他.(1)已知事件AXa和BYa独立,且3PAB.求常数a.4(2)求12X的数学期望.十一、(本题满分8分)假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数Nt服从参数为t的泊松分布.(1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分

6、布；(2)求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】65【解析】2sin2235235xxxlimsin2limlim22x5x3x5x3xxxx,极限2sinsinxtlimlim12xt0tx,而23x56x3limlim洛,2xx5x3x10x5所以23x5236limsin21xxx5355.3(2)【答案】4【解析】令3x2gx,3x2则有g01,gx123x22,则g03,由复合函数求导法则知dydxx03fg0g03f13arctan1.42

7、(3)【答案】2ln3【解析】利用几何级数求和公式n01nx(x1),1x令ln3x,即得2n0n(ln3)12.nln322ln312(4)【答案】0【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.*由于rA2,说明A中3阶子式全为0,于是A的代数余子式A0,故0A.ij*所以秩rA0.若熟悉伴随矩阵*A秩的关系式n,rAn,*rA1,rAn1,0,rAn1,*易知rA0.注：按定义AAA1121n1AAA*1222n2A,AAA1n2nnn伴随矩阵是n阶矩阵,它的元素是行列式A的代数余子式,是n1阶子式.(5)【答案】(4.804,5.196)【解析】此题是求一个一般总体、大样本、方差已知

8、的关于期望值的置信区间,可以用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间.X因X的方差为1,设X的期望为,则(0,1)UN./nuu1.96.因此用公式：当置信度为10.95,时0.05,有正态分布表知0.0252I(xu,xu)nn22.x5,1,n100,u1.96代入上式,得到所求的置信区间为I(4.804,5.196).将2二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(C)【解析】利用函数连续定义判定.由于当x0时,sin12x为有界变量,x为无穷小量,则1limfxlimxsin02xxx00,且f00.于是fx在x0处连续.故(A)(B)不正确.又因为11xsin

9、f0xsin2211xxlimlimlimsin2x0x0x0xx0xx不存在,所以fx在x0处不可导,所以选(C).【相关知识点】函数连续定义：如果函数在x0处连续,则有limf(x)limf(x)f(x).0xxxx00(2)【答案】(A)【解析】flnx11111Fxflnxff.22xxxxxx【相关知识点】积分上限函数的求导公式：ddxxxftdtfxxfxx.(3)【答案】(B)【解析】AA有n个线性无关的特征向量.由于当特征值12时,特征向量1,2线性无关.从而知,当A有n个不同特征值时,矩阵A有n个线性无关的特征向量,那么矩阵A可以相似对角化.因为当A的特征值有重根时,矩阵A仍

10、有可能相似对角化(当特征根的代数重数等于其几何重数的时候),所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件,故应选(B).(4)【答案】(D)【解析】P(BA)1的充分必要条件是P(AB)P(A)1,即P(AB)P(A).显然四个选项中,当AB时,ABA,可得P(AB)P(A).因此AB是P(BA)1的充分条件.因此选(D).(5)【答案】(B)【解析】题目即考查概率论方面的知识,在计算过程中又用到定积分的一些知识.由积分的性质,换元积分,并改变积分上下限有xtaaF(a)(x)dx(t)dt(x)dx,a随机变量X的密度函数为(x),则(x)dx1,又由于(x)(x),所以01(x)dx(x)dx

11、,(偶函数积分的性质)02即1a0a(x)dx(x)dx(x)dx(x)dx.a0a2于是aa1aF(a)(x)dx(x)dx(x)dx(x)dx(x)dx.a0002故应选(B).三、(本题满分5分)【解析】方法一：利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得zyxzyxdzdydxedxxedzdydx0.zyxzyxzyxzyx整理后得1xedz1xeedx1xedy.由此,得zyxzyx1xeedzdxdyzyx1xe.zyx方法二：应先求出函数对x,y的偏导数,将zyxxe0两边分别对x,y求偏导,zyxzyxz1exez10,xxzyxz1xez10,yy解之得zyx1x1ezxz

12、yx1xe,z1.y故zyx1x1edzzdxzdydxdyxyzyx1xe.四、(本题满分7分)xxxa2a2alimlim1lim1xxxxaxaxaxa2ax2axa【解析】,令2axat,则当x时,t0,xa2a2alim1lim1xt0xa1tte,所以lim1x2axaxa2ax2axa2axlimxaxee2a.而22x22x22x2x4xedx2xde2xe4xedxaaaa22b22a2xlim2be2ae2xdeba22a2x2x2ae2xe2edxaa22a2b2a2b2a2aelim2be2aelimeebb22a2a2a2ae2aee,由2a222a22a2aeaea

13、ee,得20aa,所以a0或a1.五、(本题满分9分)【解析】(1)利润函数为22LpqC(deq)q(aqbqc)(db)q(ea)qc,dL对q求导,并令0dqdL,得(db)2(ea)q0dq,得qdb2(ea).因为2dL22()0,eadq所以,当qdb2(ea)时为利润函数的极大值点,根据题意也是利润的最大值点,所以2(db)Lcmax4(ea).(2)因为1q(p)(dp)e,所以q(p)1e,故需求对价格的弹性为peqdqqeq.(3)由1,得qd2e.六、(本题满分8分)【解析】由题设可得示意图如右.设xPxfxPxe,则1(,(),2(,1)SPP,12即x0xf(t)dt

14、e1f(x).xx两端求导,得f(x)ef(x),即f(x)f(x)e.由一阶线性非齐次微分方程求解公式,得p(x)dxp(x)dxf(x)e(q(x)edxC)dxxdxe(eedxC)1xxxxx(eedxC)eCee.2由初始条件f(0)0,得1C.因此,所求函数为21xxf(x)(ee).2【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程yp(x)yq(x)的通解公式为:p(x)dxp(x)dxye(q(x)edxC),其中C为常数.七、(本题满分6分)【解析】因为f(x)分别在0,c和c,1上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在1(0,c),2(c,1),使得f(c)f(0)f(1)f(c)f()

15、,f(),12c01c由于点C在弦AB上,故有f(c)f(0)f(1)f(c)f(1)f(0)c01c10f(1)f(0),从而f(1)f(2)f(1)f(0).这表明f(x)在区间,上满足罗尔定理的条件,于是存在(1,2)(0,1),使得12f()0.八、(本题满分10分)【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换,第一行和第三行互换,再第一行分别乘以1、1加到第二行和第三行上,再第二行和1k第三行互换,再第二行乘以加到第三行上,有211k4112422A1k1k1k1k112411k41124112420k13k402k28202k280k13k4112402k28.(1k)(4k)00k(k

16、4)2(1)当k1且k4时,r(A)r(A)3,方程组有唯一解,即22k2kk2k42kx,x,x.123k1k1k1(2)当k1时,r(A)3,r(A)2方程组无解.11241030(3)当k4时,有A02280114.00000000因为r(A)r(A)23,方程组有无穷多解.T取x3为自由变量,得方程组的特解为(0,4,0).T,所以方程组的通解为k,其中k为任意常数.又导出组的基础解系为(3,1,1)【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A是mn矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AAb的秩,即r(A)r(A).(或者说,b可由A的列向量1,2,

17、n线表出,亦等同于1,2,n与1,2,n,b是等价向量组)设A是mn矩阵,线性方程组Axb,则（1）有唯一解r(A)r(A)n.（2）有无穷多解r(A)r(A)n.（3）无解r(A)1r(A).b不能由A的列向量1,2,n线表出.九、(本题满分9分)110【解析】经正交变换二次型f的矩阵分别为A1,B1.112由于P是正交矩阵,有P1APB,即知矩阵A的特征值是0,1,2.那么有22A20,EA20.0.【相关知识点】二次型的定义：含有n个变量x1,x2,xn的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)nnfx,x,xaxx,其中aijaji,12nijiji1j1T称为n元二次型,令xx1,x

18、2,x,Aaij,则二次型可用矩阵乘法表示为nTfxxxxAx1,2,n其中A是对称矩阵TAA,称A为二次型fx1,x2,xn的矩阵.十、(本题满分8分)【解析】(1)依题意,因为随机变量X和Y同分布,则PAPXaPYaPB,又事件AXa和BYa独立,故PABPAPB.估计广义加法公式：23PABPAPBPAPB2PAPA.4解以P(A)为未知量的方程意).23PA2PA0.得41P(A),(因23P(A)不合题2再依题设条件可知131223P(A)PXaf(x)dxxdx(8a).2aa88再解以a为未知量的方程:38a4,得a.3434(2)直接根据公式可求得随机变量函数的数学期望:112

19、13233322Efxdxxdxdxx.022020Xxx8884十一、(本题满分8分)【解析】本题的关键在于理解随机变量Nt的意义,事件Ntk表示设备在任何长为tk的时间内发生k次故障,其概率为()(0,1,2)tttPNtkekk!.由于T表示相继两次故障之间时间间隔,故当t0时,FtPTt0;当t0时,事件Tt与Tt是互逆事件,并且Tt表示在长为t的时间内没有发生故障,它等价于事件Nt0.(1)易见T是只取非负值的连续型随机变量.当t0时,FtPTt0;当t0时,事件Tt与Nt0等价.于是有tFtPTt1PTt1PNt01e.因此Ftt1e,t00,t.计算得知T服从参数为的指数分布.(2)由于指数分布具有“无记忆性”,因此88QPT16|T8PT81PT81F(8)1(1e)e.