人教A版高中数学必修4第一章三角函数16三角函数模型的简单应用教案1Word格式文档下载.docx
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3上述的数学模型是怎样建立的？
4怎样处理搜集到的数据？
活动：
师生互动，唤起回忆，充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程•对课前已经做好复习
的学生给予表扬，并鼓励他们类比以前所学知识方法，继续探究新的数学模型•对还没有进入状态的学生，
教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法•在教师的引导下，学生能够较好地回忆起解决实际问题的基
本过程是：
收集数据T画散点图T选择函数模型T求解函数模型T检验T用函数模型解释实际问题
这点很重要，学生只要有了这个认知基础，本节的简单应用便可迎刃而解•新课标下的教学要求，不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题，而是教师引领学生逐步登高，在合作探究中自己解决问题，探求新知•
讨论结果：
①描述现实世界中不同增长规律的函数模型•
2简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际
问题时，所得出的关于实际问题的数学描述•数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数
学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法•
3解决问题的一般程序是：
1°
审题：
逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；
2。
建模：
分析题目变化趋势，选择适当函数模型；
3。
求解：
对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；
4。
还原：
把数学结论还原为实际问题的解答•
4画出散点图，分析它的变化趋势，确定合适的函数模型•三、应用示例
例1如图1，某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y=sin（wx+$）+b.
X
■77'
C
_/T
10
J.L：
t
白g101214-I
t/h
图1
—=14-6,
3
•w=L•将x=6,y=10代入上式，解得$=•
84
综上，所求解析式为y=10sin（旷x+）+20，x€[6,14].
点评：
本例中所给出的一段图象实际上只取6—14即可，这恰好是半个周期，提醒学生注意抓关键•本例
所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况点往往被学生忽略掉.
因此应当特别注意自变量的变化范围，这
例22007全国高考
函数y=|sinx|
的一个单调增区间是（）
A.（,）
B.（
，-）C.（
n,—）D.（
—,2n）
44
2
答案：
例3如图2,设地球表面某地正午太阳高度角为B,3为此时太阳直射纬度，0为该地的纬度值，那么这三个
量之间的关系是B=90°
-|0-3|.当地夏半年3取正值,冬半年3取负值.
如果在北京地区（纬度数约为北纬40°
）的一幢高为ho的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
如图2本例所用地理知识、物理知识较多，综合性比较强，需调动相关学科的知识来帮助理解问题，这是本节的一个难点•在探讨时要让学生充分熟悉实际背景，理解各个量的含义以及它们之间的数量
关系.
首先由题意要知道太阳高度角的定义：
设地球表面某地纬度值为0，正午太阳高度角为B，此时太阳直
射纬度为3，那么这三个量之间的关系是B=90°
-|0-3|.当地夏半年3取正值，冬半年3取负值.
根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带，图形如图3,由画图易知
太阳高度角B、楼高ho与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系：
ho=htan0.
由地理知识知，在北京地区，太阳直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长
因此，为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡，应当考虑太阳直射南回归线时的情况.
解:
如图3，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一
层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度一23°
26'
.依题意两楼的间距应不小于MC.
根据太阳高度角的定义，
有/C=90°
—|40°
-（—23°
26'
）|=26°
34'
，
所以MC=H=——h°
〜2.000h0，
tanCtan2634'
即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距.
本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的
简单函数模型，然后根据所得的函数模型解决问题.要直接根据图2来建立函数模型，学生会有一定困难，而
解决这一困难的关键是联系相关知识，画出图3,然后由图形建立函数模型，问题得以求解.这道题的结论有
一定的实际应用价值.教学中，教师可以在这道题的基础上再提出一些问题，如下例的变式训练，激发学生进一步探究•变式训练
某市的纬度是北纬23°
小王想在某住宅小区买房，该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡，他应选择哪几层的房？
解：
如图4,由例3知,北楼被南楼遮挡的高度为
h=15tan:
90°
-（23°
+23°
26'
）:
=15tan43°
3414.26,
由于每层楼高为3米,根据以上数据，
所以他应选3层以上.
四、课堂小结
1.本节课学习了三个层次的三角函数模型的应用，即根据图象建立解析式，根据解析式作出图象，将实
际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型•你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤
吗？
2.实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此,在应用数学知识
解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题.
五、作业
1.图5表示的是电流I与时间t的函数关系
I=Asin（3x+0）（3>
0,|$|<
—）在一个周期内的图象.
（1）根据图象写出l=Asin（3x+$）的解析式；
1
（2）为了使I=Asin（3x+$）中的t在任意一段丄s的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么
100
正整数3的最小值为多少？
11
⑴由图知A=300,第一个零点为（一—,0）,第二个零点为（」,0）,
300150
•••3・（—）+$=0,3・+$=n.解得3=100n,$=—,•••l=300sin（100nt+—）.
30015033
121
（2）依题意有TW,即W,^3>
200n.故3min=629.
100100
2.搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型
如以下两例：
1人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化，如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、睡眠节
奏、饥饿程度等；
2蜕皮（tuipi）昆虫纲和甲壳纲等节肢动物，以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层，虽有保护身
体的作用，但限制动物的生长、发育•因此,在胚后发育过程中，必须进行1次或数次脱去旧表皮，再长出宽大的新表皮后，才变成成虫，这种现象称为蜕皮；
蜕下的“旧表皮”称为“蜕”，只有这样，虫体才能得以继
续充分生长、发育•蜕皮现象的发生具有周期性，但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的•此外，脊椎动物爬
行类的蜕皮现象尤为明显，如蜥蜴和蛇具有双层角质层，其外层在定期蜕皮时脱掉，蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤，约每2个月为一个周期可完整地脱落1次，称为蛇蜕.
三角函数模型的简单应用
（二）
•、导入新课
思路1.通过展示上节作业引入，学生搜集、归纳到的现实生活中的周期现象有：
物理情景的①简单和谐运动,②星体的环绕运动；
地理情景的①气温变化规律,②月圆与月缺；
心理、生理现象的①情绪的波动,
②智力变化状况，③体力变化状况；
日常生活现象的①涨潮与退潮，②股票变化等等•
思路2.（复习导入）回忆上节课三角函数模型的简单应用例子，这节课我们继续探究三角函数模型在日
常生活中的一些简单应用•
二、推进新课、新知探究、提出问题
①本章章头引言告诉我们，海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象•回忆上节课的内容，怎
样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？
在指数、对数模型中是怎样处理搜集到的数据的？
②请做下题（2007浙江咼考）若函数f（x）=2sin（
3x+$）,x€R（其中3>
0,|
$|v—）的最小正周期是
n，且f（0）=
=3,则（
）
A.3=
=-，$=—
B.3=
$=—
C.3=2,$=—
D.3=2,$=—
26
6
活动:
这样的开头对学生来说是感兴趣的
.教师引导学生复习、回忆、理清思路
查看上节的课下作业
教师指导、适时设问，让学生尽快回忆到上节课的学习氛围中，使学生的思维状态进入到现在的情境中
①略②D三、应用示例
例1货船进出港时间问题：
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮•一般地，早潮叫潮，晚潮
叫汐•在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；
卸货后，在落潮时返回海洋•下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻
0:
00
3:
6:
9:
12:
15:
18:
21:
24:
水深/米
5.0
7.5
2.5
（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确
到0.001）.
（2）—条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底
与洋底的距离），该船何时能进入港口？
在港口能呆多久？
（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:
00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的
速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
引导学生观察上述问题表格中的数据，会发现什么规律?
比如重复出现的几个数据.并进一步引
导学生作出散点图.让学生自己完成散点图，提醒学生注意仔细准确观察散点图，如图6.教师引导学生根据
散点的位置排列，思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律.根据散点图中的最高点、最低点和平衡点
学生很容易确定选择三角函数模型.港口的水深与时间的关系可以用形如y=Asin（3x+$）+h的函数来刻画
其中x是时间，y是水深，我们可以根据数据确定相应的A，3，$，h的值即可.这时注意引导学生与“五点法”
相联系.要求学生独立操作完成，教师指导点拨，并纠正可能出现的错误，直至无误地求出解析式，进而根据所得的函数模型，求出整点时的水深.
yi
\.
■
k
-1
—
4
r
*
66I
S212
4匸
图6
根据学生所求得的函数模型，指导学生利用计算器进行计算求解•注意引导学生正确理解题意，一天中
有两个时间段可以进港.这时点拨学生思考：
你所求出的进港时间是否符合时间情况？
如果不符合，应怎样
修改？
让学生养成检验的良好习惯•
在本例（3）中,应保持港口的水深不小于船的安全水深，那么如何刻画船的安全水深呢？
引导学生思考
怎样把此问题翻译成函数模型•求货船停止卸货，将船驶向深水域的含义又是什么？
教师引导学生将实际问
题的意义转化为数学解释，同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变，停止卸货的时间应当
在安全水深接近于港口水深的时候•
进一步引导学生思考：
根据问题的实际意义，货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？
为什么？
正确结论是什么？
可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价•通过讨论或争论，最后得出一致
结论：
在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的，因为这样不能保证
货船有足够的时间发动螺旋桨•
（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（图6）.
根据图象，可以考虑用函数y=Asin（3x+$）+h刻画水深与时间之间的对应关系•从数据和图象可以得
出：
A=2.5，h=5，T=12，$=0，
由T==12,得3=—.
所以这个港口的水深与时间的关系可用y=2.5sin—x+5近似描述•
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值
时刻
1：
2：
4:
5:
7:
8:
10:
11:
水深
5.000
6.250
7.165
3.754
2.835
2.500
13:
14:
16:
17:
19:
20:
22:
23:
水深
⑵货船需要的安全水深为4+1.5=5.5（米），所以当y>
5.5时就可以进港
由计算器可得
0.2
二
0.20135792~0.2014.
如图7,在区间［0,12］内，函数y=2.5sin_x+5的图象与直线y=5.5有两个交点A、B,
.Ki
K
ft
勺
尸=25曲討孚
5in13
图7
因此一x~0.2014,或n——x〜0.2014.
66
解得Xa~0.3848,xb~5.6152.
由函数的周期性易得:
xc~12+0.3848=12.3848,xd~12+5.6152=17.6152.
因此，货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港；
或在中午12时30分左右进港，下午17
（3）设在时刻x货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3（x-2）（x>
2）.在同一坐标系内作出这两个函数的
图象，可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点（如图8）.
通过计算也可以得到这个结果.在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;
6.5时的水深
约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;
7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全，货船最好在6.5时之前停止卸货，将船驶向较深的水域.
本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题，题目只给出了时间与水深的关系表，要想
由此表直接得到函数模型是很困难的.对第
（2）问的解答，教师引导学生利用计算器进行计算求解.同时需
要强调，建立数学模型解决实际问题，所得的模型是近似的，并且得到的解也是近似的.这就需要根据实际
背景对问题的解进行具体的分析.如本例中，一天中有两个时间段可以进港,教师应引导学生根据问题的实
际意义，对答案的合理性作出解释.
变式训练
发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数,IA=Isin3t,IB=lsin（3
t+120°
）,IC=Isin（31+240°
）,贝UIa+Ib+Ic=.
答案:
例2图9,是一个单摆的振动图象，据图象回答下列问题
（1）单摆振幅多大；
（2）振动频率多高；
（3）摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置；
（4）摆球运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置;
（5）若当g=9.86m/sJ,求摆线长.
引导学生观察图象并思考，这个简谐运动的函数模型是什么？
引导学生结合函数上例•点拨学生
考虑最高点、最低点和平衡点•通过学生讨论、思考确定选用函数y=Asin（3x+$）来刻画单摆离开平衡位
置的位移与时间之间的对应关系.
1,0
O
-0.5
-1.U
7
结合函数模型和图象：
（1）单摆振幅是1cm;
（2）单摆的振动频率为1.25HZ
图9
（3）单摆在0.6s通过平衡位置时,首次具有速度的最大负值；
（4）单摆在0.4s时处正向最大位移处,首次具有加速度最大负值；
（5）由单摆振动的周期公式T=2nL,可得L=-gT-=0.16m.
Yg42
解决实际问题的关键是要归纳出数学函数模型，然后按数学模型处理.同时要注意检验，使所求
得的结论符合问题的实际意义.
1.已知函数f（x）=sin（3x+$）（3>
0,0w^wn）为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为,42.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若sinx+f（x）=,求sinxcosx的值.
⑴Tf（x）为偶函数，
•••f（—x）=f（x）,即sin（—3x+$）=sin（3x+$）.
••$=—.
•f（x）=sin（3x+—）=cos3x.
相邻两点P（X0,1）,Q（X0+—,—1）.
⑵由sinx+f（x）
-,得
sinx+cosx
•f（x）=cosx.
5
两边平方,得sinxcosx=一
18
2.
.若他将纵坐标改用2cm代
小明在直角坐标系中，用1cm代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象
表一个单位长度，横坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式是什么？
若他将横坐标改用2cm代表一个
单位长度，而纵坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？
小明原作的曲线为y=sinx,x€R由于纵坐标改用了2cm代表一个单位长度，与原来1cm代表一个单位
长度比较，单位长度增加到原来的2倍,所以原来的1cm只能代表-个单位长度了•由于横坐标没有改变，
曲线形状没有变化,而原曲线图象的解析式变为y=丄sinx,x€R同理,若纵坐标保持不变，横坐标改用2
cm代表一个单位，则横坐标被压缩到原来的1,原曲线周期就由2n变为n.故改变横坐标后，原曲线图象
的解析
式变为y=sin2x,x€R.
3.求方程Igx=sinx实根的个数.
由方程式模型构建图象模型.
在同一坐标系内作出函数y=lgx和y=sinx的图象,如图10.可知原方程的解的个数为3.
图10
单解方程是很困难的，而根据方程式模型构建图象模型，利用数形结合来解就容易多了，教师要
让学生熟练掌握这一方法.
四、课堂小结
1.让学生回顾本节课的数学模型都解决了哪些现实生活中的问题，用三角函数模型刻画周期变化规律
对国家建设、制定未来计划，以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用
2.三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，其解答流程大致是：
审
读题意t设角建立三角式t进行三角变换t解决实际问题.在解决实际问题时，要学会具体问题具体分析，
充分运用数形结合的思想，灵活的运用三角函数的图象和性质解决现实问题
五、作业
如图11,一滑雪运动员自h=50m高处A点滑至0点，由于运动员的技巧（不计阻力）,在0点保持速率vo不变,并以倾角B起跳，落至B点,令OB=L，试问，当a=30°
时丄的最大值为多少？
当L取最大值时，B为多大？
分析：
本题是一道综合性题目，主要考查
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