高中数学基础知识重点归纳及经典高考压轴题型.doc

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第一篇章：

高中数学基础知识重点归纳

第一部分集合

1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：

元素是函数关系中自变量的取值？

还是因变量的取值？

还是曲线上的点？

…；

2．数形结合是解集合问题的常用方法：

解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；

3．

（1）含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n－1；非空真子集的数为2n－2；

（2）注意：

讨论的时候不要遗忘了的情况。

4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

第二部分函数与导数

1．映射：

注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。

2．函数值域的求法：

①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性；

⑤换元法；⑥利用均值不等式；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨导数法

3．复合函数的有关问题

（1）复合函数定义域求法：

①若f（x）的定义域为［a，b］,则复合函数f[g（x）]的定义域由不等式a≤g（x）≤b解出

②若f[g（x）]的定义域为[a,b],求f（x）的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g（x）的值域。

（2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数分解为基本函数：

内函数与外函数；

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

4．分段函数：

值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5．函数的奇偶性

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；

⑵是奇函数f（－x）=－f（x）；是偶函数f（－x）=f（x）

⑶奇函数在原点有定义，则；

⑷在关于原点对称的单调区间内：

奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；

⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；

6．函数的单调性

⑴单调性的定义：

①在区间上是增函数当时有；

②在区间上是减函数当时有；

⑵单调性的判定

①定义法：

一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；

②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。

注：

证明单调性主要用定义法和导数法。

7．函数的周期性

（1）周期性的定义：

对定义域内的任意，若有（其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。

如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函数的周期

①；②；③；

④；⑤；

（3）与周期有关的结论

或的周期为；

8．基本初等函数的图像与性质

⑴幂函数：

（；⑵指数函数：

；

⑶对数函数:

；⑷正弦函数:

；

⑸余弦函数：

；（6）正切函数：

；⑺一元二次函数：

；

⑻其它常用函数：

①正比例函数：

；②反比例函数：

；③函数；

9．二次函数：

⑴解析式：

①一般式：

；②顶点式：

，为顶点；

③零点式：

。

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是。

10．函数图象：

⑴图象作法：

①描点法（特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法

⑵图象变换：

①平移变换：

ⅰ），———左“+”右“－”；

ⅱ）———上“+”下“－”；

②对称变换：

ⅰ；ⅱ；

ⅲ；ⅳ；

③翻转变换：

ⅰ）———右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；

ⅱ）———上不动，下向上翻（||在下面无图象）；

11．函数图象（曲线）对称性的证明

（1）证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

（2）证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在的图象上，反之亦然；

注：

①曲线C1:

f（x,y）=0关于点（0,0）的对称曲线C2方程为：

f（－x,－y）=0;

②曲线C1:

f（x,y）=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为：

f（－x,y）=0;

曲线C1:

f（x,y）=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为：

f（x,－y）=0;

曲线C1:

f（x,y）=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为：

f（y,x）=0

③f（a+x）=f（b－x）（x∈R）→y=f（x）图像关于直线x=对称；

特别地：

f（a+x）=f（a－x）（x∈R）→y=f（x）图像关于直线x=a对称；

12．函数零点的求法：

⑴直接法（求的根）；⑵图象法；⑶二分法.

（4）零点定理：

若y=f（x）在[a,b]上满足f（a）f（b）<0,则y=f（x）在（a,b）内至少有一个零点。

13．导数

⑴导数定义：

f（x）在点x0处的导数记作；

⑵常见函数的导数公式:

①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧。

⑶导数的四则运算法则：

⑷（理科）复合函数的导数：

⑸导数的应用：

①利用导数求切线：

注意：

ⅰ）所给点是切点吗？

ⅱ）所求的是“在”还是“过”该点的切线？

②利用导数判断函数单调性：

①是增函数；②为减函数；③为常数；

③利用导数求极值：

ⅰ）求导数；ⅱ）求方程的根；ⅲ）列表得极值。

④利用导数最大值与最小值：

ⅰ）求的极值；ⅱ——求区间端点值（如果有）；ⅲ）得最值。

第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形

1．⑴角度制与弧度制的互化：

弧度，弧度，弧度

⑵弧长公式：

；扇形面积公式：

。

2．三角函数定义:

角α中边上任意一P点为,设则：

3．三角函数符号规律：

一全正，二正弦，三两切，四余弦；

4．诱导公式记忆规律：

“函数名不（改）变，符号看象限”；

5．⑴对称轴：

；对称中心：

；

⑵对称轴：

；对称中心：

；

6．同角三角函数的基本关系：

；

7．三角函数的单调区间：

的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，的递减区间是。

8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

①

②③。

9．二倍角公式：

①；

②；③。

10．正、余弦定理：

⑴正弦定理：

（是外接圆直径 ）

注：

①；②；③。

⑵余弦定理：

等三个；等三个。

11。

几个公式:

⑴三角形面积公式：

；

⑵内切圆半径r=；外接圆直径2R=

第四部分立体几何

1．三视图与直观图：

2．表（侧）面积与体积公式：

⑴柱体：

①表面积：

S=S侧+2S底；②侧面积：

S侧=；③体积：

V=S底h

⑵锥体：

①表面积：

S=S侧+S底；②侧面积：

S侧=；③体积：

V=S底h：

⑶台体：

①表面积：

S=S侧+S上底S下底;②侧面积：

S侧=;③体积：

V=（S+）h；

⑷球体：

①表面积：

S=；②体积：

V=。

3．位置关系的证明（主要方法）：

⑴直线与直线平行：

①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。

⑵直线与平面平行：

①线面平行的判定定理；②面面平行线面平行。

⑶平面与平面平行：

①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。

⑷直线与平面垂直：

①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。

⑸平面与平面垂直：

①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。

注：

理科还可用向量法。

4.求角：

（步骤-------Ⅰ。

找或作角；Ⅱ。

求角）

⑴异面直线所成角的求法：

①平移法：

平移直线，构造三角形；②用向量法:

⑵直线与平面所成的角：

①直接法（利用线面角定义）；②用向量法:

5.求距离：

（步骤-------Ⅰ。

找或作垂线段；Ⅱ。

求距离）

点到平面的距离：

①等体积法；②向量法：

。

6．结论：

⑴长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则对角线长为，全面积为2ab+2bc+2ca，体积V=abc。

⑵正方体的棱长为a，则对角线长为，全面积为6a2，体积V=a3。

⑶长方体或正方体的外接球直径2R等于长方体或正方体的对角线长。

⑷正四面体的性质：

设棱长为，则正四面体的：

①高：

；②对棱间距离：

；③内切球半径：

；④外接球半径：

。

第五部分直线与圆

1．直线方程

⑴点斜式：

；⑵斜截式：

；⑶截距式：

；

⑷两点式：

；⑸一般式：

，（A，B不全为0）。

2．求解线性规划问题的步骤是：

（1）列约束条件；

（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。

3．两条直线的位置关系：

直线方程平行的充要条件垂直的充要条件备注

有斜率

已知l1:

A1x+B1y+C1=0，l2:

A2x+B2y+C2=0，则l1⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0。

4．几个公式

⑴设A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3），⊿ABC的重心G：

（）；

⑵点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离：

；

⑶两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是；

5．圆的方程：

⑴标准方程：

①；②。

⑵一般方程：

（

注：

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0；

6．圆的方程的求法：

⑴待定系数法；⑵几何法。

7．点、直线与圆的位置关系：

（主要掌握几何法）

⑴点与圆的位置关系：

（表示点到圆心的距离）

①点在圆上；②点在圆内；③点在圆外。

⑵直线与圆的位置关系：

（表示圆心到直线的距离）

①相切；②相交；③相离。

⑶圆与圆的位置关系：

（表示圆心距，表示两圆半径，且）

①相离；②外切；③相交；

④内切；⑤内含。

8、直线与圆相交所得弦长

第六部分圆锥曲线

1．定义：

⑴椭圆：

；

⑵双曲线：

；⑶抛物线：

|MF|=d

2．结论

⑴焦半径：

①椭圆：

（e为离心率）；（左“+”右“-”）；

②抛物线：

⑵弦长公式：

注：

⑴抛物线：

＝x1+x2+p；⑵通径（最短弦）：

①椭圆、双曲线：

；②抛物线：

2p。

⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：

（同时大于0时表示椭圆，时表示双曲线）；当点与椭圆短轴顶点重合时最大；

⑷双曲线中的结论：

①双曲线（a>0,b>0）的渐近线：

；

②共渐进线的双曲线标准方程为为参数，≠0）；

③双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直；

⑸焦点三角形问题求解：

利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。

3．直线与圆锥曲线问题解法：

⑴直接法（通法）：

联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。

注意以下问题：

①联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？

②直线斜率不存在时考虑了吗？

③判别式验证了吗？

⑵设而不求（代点相减法）：

--------处理弦中点问题

步骤如下：

①设点A（x1，y1）、B（x2,y2）；②作差得；③解决问题。

4．求轨迹的常用方法：

（1）定义法：

利用圆锥曲线的定义；

（2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。

第七部分平面向量

⑴设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），则：

①a∥b（b≠0）a=b（x1y2－x2y1=0；

②a⊥b（a、b≠0）a·b=0x1x2+y1y2=0⑵a·b=|a||b|cos=x2+y1y2；

注：

①|a|cos叫做a在b方