非线性电路Word格式文档下载.docx
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一是图解分析法和小信号分析法，二是数值分析方法，三是分段线性化方法，四是友网络法。
1、图解分析方法
图解分析法用来解决简单非线性电阻电路的工作点分析、DP图和TC图分析等问题。
（1）曲线相交法：
将其中一些非线性元件用串并联方法等效为一个非线性电阻元件，将其余不含非线性电阻的部分等效一个戴维南电路，画出这两部分电路的伏安曲线，它们的交点为电路的工作点，或称为静态工作点Q（UQ,IQ）。
Ri
+U-
Uoc
R
U
oc
⇒+
_
I⇒
Q
UQ
图1曲线相交法
（2）DP图法:
若某非线性一端口网络的端口伏安关系也称为驱动点特性曲线DP确定，则已知端口的激励波形，通过图解法可求得响应的波形。
（3）TC图法：
输入与输出是不同端口的电压、电流，其关系曲线称为转移特性TC曲线。
已知TC曲线和激励波形，通过图解法可求得响应的波形。
2、小信号分析方法
小信号分析则是当交变信号激励幅值远小于直流电源幅值时，将非线性电路进行线性化处理的一种近似分析方法。
小信号分析不仅适用于非线性电阻电路，也可用于非线性动态电路与系统的分析。
小信号分析法的实质是在静态工作电处将非线性电阻的特性用直线来近似（线性化）。
图2小信号分析法等效图
①当只有直流电源作用时，根据解析法、图解法或折线法求得静态工作点
Q（UQ,IQ）；
⇒
②当直流电源和小信号共同作用时，由于Us的幅值很小，因此，非线性电阻上的响应必然在工作点附近变动。
u（t）=UQ+∆u
（1）i（t）=IQ+∆i
∆u,∆i可以看作是小信号引起的扰动，幅值也很小。
若非线性电阻的VAR为：
u=f（i），将其在工作点处展开为泰勒级数：
u=f（i）=f（IQ）+f'
（IQ）∆i+f"
（IQ）∆i+
（2）
21
2
由于∆
i很小，可略去二次及高次项，得
u（t）=f（IQ）+f'
（IQ）∆i=UQ+Rd（IQ）∆i⇒∆u=Rd（IQ）∆i
u（t）=UQ+∆u（3）
因此，在小信号作用时非线性电阻可看作线性电阻，参数Rd为其在工作点处的动态电阻。
然后，画出小信号等效电路，据线性电路的分析方法求出非线性电阻的电压电流增量。
3、分段线性化方法
所谓分段线性分析方法，实质上是用若干折线来代替非线性电阻的伏安特性，然后用每段折线都用戴维南等效电路或诺顿等效电路来替代，这样就将一个非线性电阻网络化为许多拓扑结构相同、而参数取不同数值的线性电阻网络。
这样的线性网络称为分段迭代网络。
为了能够方便地使用分段线性化分析方法，假设：
1）、网络中所以非线性电阻都是二端元件。
2）、网络中每个非线性电阻的u-i特性都可以用分段线性函数来表示。
下面说明分段线性化方法分析的一般方法。
设N为一个规范形式的非线性电路，它可以包含线性电阻（如二端线性电阻、理想变压器、回转器、受控电源等）、独立源及由任意分段的线性函数表征的二端非线性电阻。
令m表示电路中二端非线性电阻的数目，Sj表示将第j个非线性电阻u-i曲线以分段线性函数进行分段的总个数，gjk表示第j个非线性电阻第
k
段线段的斜率，即该段曲线的动态电导，Ejk和Ijk分别表示第j个非线性电阻
第k段线段的延长线与uj轴和ij轴交点的坐标，即电压截距和电流截距，Djk（u）和Djk（i）分别表示第j个非线性电阻第k段线段的电压及电流定义域，即
Djk（u）=（ujk,ujk）,Djk（i）=（jjk,jjk）。
图表示出第j个非线性电阻第k个典型线
-
+
段情形，并画出第j个非线性电阻第k个典型线段对应的戴维南等效电路和诺顿等效电路。
图3戴维南等效电路和诺顿等效电路
ij
uj
Ejk
g
jk
I
rjk
ujk-ujk+
u
j
ijk+ijk-
图4分段线性化图
若把非线性电阻电路N中的每个非线性电阻都用其迭代等效电路来代替，就得到一个与N拓扑结构相同的线性电路N'
，其电路的参数则取决于我们所要研究的非线性电路的特殊定义域。
如果有m个非线性电阻，每个电阻包含Sj个线段，这样共可以得到n组组合，即
n=S1⨯S2⨯S3⨯⋅⋅⋅⨯Sm（4）换句话说，N'
可以取n组不同的参数值。
因此N'
称为N线性迭代网络，而我们就将对非线性电阻电路的分析转化成为对n组线性网络N'
的迭代分析。
工作点的确定
设非线性电路含有m个非线性电阻，第j个非线性电阻具有Sj个线段，从而一共有n=S1⨯S2⨯S3⨯⋅⋅⋅⨯Sm个线性电路组合。
对此非线性电路，求电路工作点的步骤如下：
1）将非线性电路N变换成为相应的线性迭代网络N'
。
2）对网络N'
，任取一组参数g1k,I1k,g2k,I2k,⋅⋅⋅,gmk,Imk（kj=1,2,⋅⋅⋅,Sj），
1
m
代入N'
中进行分析，计算得出uj,ij（j=1,2,⋅⋅⋅,m）。
3）对计算结果进行校验。
若对所有j，kj，uj∈Djk（u），ij∈Djk（i），则
该次计算结果就是一个工作点的数值。
若至少存在一个l，使得uj∉Djk（u）（或
，则该次计算结果不对应工作点，应将其舍弃。
ij∉Djkj（i））
4）对所有可能的线段组合逐一进行迭代计算，共迭代n次，以求得所有可能的工作点。
分段线性分析法与小信号分析法有所不同，分段线性分析法特别适合于大信号作用下的非线性电路的分析。
与数值分析法相比，分段线性分析法可以求解具有多个工作点的电路，并且可以去电路的DP图和TC图，具有和图解法完全相同的功能。
但分段线性分析法的分段结果要比图解法精确得多，并且适合于求解较大规模的非线性电路，便于编写计算机程序，这些优点有是图解法所无法相比的。
由于以上原因，使得分段线性分析法成为近年来分析非线性电阻电路的重要方法。
分段线性分析法也存在一些缺点，当网络中的非线性电阻较多时，而每个非线性电阻伏安特性又需要较多线段表示时，迭代的次数会急剧增加，而是计算效率降低。
4、友网络法
友网络法也是使用泰勒级数展开的思想，其基本思想是找出由k次迭代值求第k+1次迭代值的线性化模型。
令uk,uk+1分别为第k次和第k+1次的电压初值，其对应的电流分别为ik=f（uk）,ik+1=f（uk+1）。
把ik+1=f（uk+1）在uk处展开成泰勒级数，取线性部分，即将非线性电阻在uk
处线性化。
在进行第k+1次迭代时，ik=f（uk），uk，Gdk是已知的，上述关系即可用等效电路来描述，见图4。
这样，将电路中所有非线性电阻分别用各自的线性化模型代替，就可得到和原电路对应的“友网络模型”。
逐次迭代计算，即可得到所要求的解。
图4非线性电阻在第k+1次迭代时的线性化模型图。
使用友网络对电路的求解就转化为使用直流线性电路的求解。
5、数值分析方法
在非线性电阻电路的数值分析方法中，常用的有不动点方法和牛顿-拉夫逊方法。
这些数值方法很早就已提出，只是在数字计算机广泛应用后才变为非线性电阻电路实用的数值分析技术。
数值分析方法可以得到较精确的数值解，但在计算前需要估计解的个数及大致范围。
三、非线性动态电路
非线性动态电路的分析具有更加广泛的内容，目前人们对它的规律性还所知甚少。
由于非线性微分方程一般不存在闭式解，故非线性动态电路目前还不存在统一的分析方法。
从研究内容来看，非线性电路分析研究的内容和方法大体可分为二阶系统相平面方法和近似解析方法，高阶电路系统的定性分析，基于Volterra级数的非线性系统的频域方法以及计算机辅助电路分析等。
非线性动态电路的计算机辅助分析主要有两方面的内容：
一是非线性动态电
路方程的建立，主要有状态变量法、混合法和稀疏表格法。
二是非线性微分方程的数值解法，常用的有欧拉法、梯形法、龙格-库塔法、基尔法等。
四、非线性系统的分叉和混沌
分叉和混沌现象的研究自20世纪70年代后期以来得到非线性科学工作者的普遍重视，成为当代科学研究的热点之一。
分叉这一概念是Poincare首次提出的，他用这一术语来描述微分方程组平衡点的分裂现象。
所谓混沌现象，通俗地讲是指具有整体稳定性的耗散系统由于其内部的不稳定性而出现的貌似随机的现象。
混沌系统具有对初始条件的极度敏感依赖性，而系统的轨道又只能在有限范围内运动，这样就造成了轨道在有限空间内缠绕往复而形成非常复杂的情况。
1、分叉
如果某个动力系统是结构不稳定的，则系统任意小的扰动都会使系统的拓扑结构发生突然的变化，这种变化称为分叉，亦称为分支、分岔。
分叉研究可以分为局部分叉和全局分叉。
当只关心在平衡点或闭轨附近轨线拓扑结构的变化时，研究在平衡点或闭轨附近轨线的某个邻域内向量的分叉，这类分叉问题称为局部分叉。
如果在分叉问题中需要考虑向量场的全局结构，则称为全局分叉。
Hopf分叉是一类比较简单但是又很重要的动态分叉，它不仅在分叉研究中具有重要的价值，而且由于和自激振荡有密切的联系，所以在工程中有着重要的应用。
Hopf分叉是指当参数变化经过分叉值时由极限环从平衡点“冒”出来的现象，即从平衡状态产生孤立的周期运动的现象。
2、混沌
混沌现象是非线性系统所特有的一种复杂现象，它是一种由确定性系统产生的对于初始条件极为敏感的具有内禀随机性、局部不稳定而整体稳定的非周期运动。
混沌运动模糊了确定性运动和随机运动的界限，为分析各种自然现象提供了一种全新的思路，甚至对人类认识自然界的一些基本观念如因果性、决定论等也有深刻启示。
1）混沌现象的定义
虽然混沌现象已引起学术界的普遍关注，但是混沌仍然没有一个公认的普遍适用的数学定义。
下面介绍两个比较常用的定义。
（1）混沌映射
设（X,ρ）是一紧致的度量空间，f：
X→X是连续映射，称f在X上是混沌的，如果：
①f对初值具有敏感性，即存在δ>
0，使得对任意x∈X及x的邻域，总存在y∈N（x）及n≥0，使得ρ（fn（x）,fn（y））>
δ。
②f在X上具有拓扑传递性，即对任意开集U，V⊂X,存在k>
0，使得
f（U）⋂V≠φ
③f的周期点在X中稠密。
该定义说明了混沌的重要特征：
由于对初始值具有敏感性，所以混沌系统长期的行为是不可预测的；
由于拓扑传递性，则系统不能进一步被分解成几个相互无影响的不变开子集合，即系统从任一初值出发的流具有普遍性；
由于周期点稠密，是系统的流可以无限多次地经过X中的任一点。
（2）混沌系统
设f是区间I到自身的连续映射，如果满足下列条件：
A.f的周期点的最小周期没有上界。
B.存在I的不可数子集S，满足①对任何x，y∈S且x≠y有
limsupfn（x）-fn（y）>
0（5）
n→∞
②对任何x，y∈S有
liminffn（x）-fn（y）=0（6）
则称f所描述的系统为混沌系统。
此定义表面系统的长期行为没有规律，类似于一种随机现象。
2）混沌的识别问题
混沌的识别问题是指对给定系统判断其运动是否为混沌。
目前数值方法是混沌运动识别的主要方法，如Poincare截面、功率谱分析、Lyapunov指数及分形维数等方法。
a．Poincare截面法
Poincare截面法可以将高维的动力系统轨道降低维数来进行分析，通过计算机，可以用数值方法计算出系统的流于Poincare截面的交点。
根据系统的流于Poincare截面交点的变化规律，可以判断混沌是否出现。
周期运动的轨线与Poincare截面的交点为有限个离散点；
当系统出现混沌运动时，其轨线与Poincare截面的交点是沿一段曲线分布的点集，并具有自相似的分形结构的特
点。
b.功率谱分析法
周期信号的功率谱为离散的函数序列δ，非周期确定信号的频谱为频率的连续函数。
由于混沌运动的时间变化特征类似于各态遍历的随机信号，它是非周期信号，所以可以通过信号的功率谱来判断是否出现混沌。
C．Lyapunov指数
Lyapunov指数是混沌系统中重要统计特征量之一。
混沌运动的重要特征之一就是系统对初始条件的极度敏感性，而这种敏感性实际上是相空间中两个非常邻近点出发的轨线指数分离的体现。
3）两类典型的非线性混沌电路
（1）含负阻元件的非自治电路的混沌；
（2）蔡氏电路。
五、Hopfield神经网络
Hopfield神经网络是连续神经网络中应用最广泛的神经网络，得到了很多研究。
Hopfield提出的连续时间神经网络模型如图所示。
其中电阻Ri和电容Ci并联，模拟了生物神经元输出的时间常数；
而跨导Tij则模拟神经元之间互连的突触特性；
运算放大器则模拟神经元互连，则神经网络的状态方程可描述为
Ci
i
duidt
n
=
∑TijVj-
j=1
1Ri
ui+Ii
（7）nV=g（u）
+∑Tij其中，Vi=g（ui）为神经元的非线性特性，。
Rrj=1
图5Hopfield神经网络图
对于Hopfield神经网络，我们非常关注两个问题，第一是神经元的输入电压是否有界，第二是计算能量是否有下界，因为这是应用不变原理证明神经网络
Tij
Vj
-Vj
ui
Ii
Vi-Vi
RiCi
稳定性的基本前提，也是神经网络能用硬件实现并求解优化问题的必要条件。
Hopfield神经网络的稳定性定理：
对于Hopfield神经网络，若g-1为单调递增且连续，Ci>
0，Tij=Tji，则从任意初始点出发的轨线一定最终趋于网络的一个渐近稳定平衡点，且网络的稳定平衡点就是计算能量的极小点。
但是，Hopfield神经网络存在这样一些问题：
①模拟神经元之间突触特性的跨导必须对称，即Tij=Tji；
②对于非线性部分，普遍采用硬限幅函数，即fi为连续可微单调饱和函数；
③没有考虑自反馈特性。
另外，虽然人们普遍认为在神经网络这样一类高度非线性系统中，神经网络模型随着参数的变化，可能出现极限环和混沌现象。
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