高中数学解题方法大全.doc

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第一章高中数学解题基本方法

一、 配方法

配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。

何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。

有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。

它主要适用于：

已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式（a＋b）＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：

a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝（a－b）2＋2ab；

a2＋ab＋b2＝（a＋b）2－ab＝（a－b）2＋3ab；

a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝[（a＋b）2＋（b＋c）2＋（c＋a）2]

a2＋b2＋c2＝（a＋b＋c）2－2（ab＋bc＋ca）＝（a＋b－c）2－2（ab－bc－ca）＝…

结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：

1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；

x＋＝（x＋）－2＝（x－）＋2；……等等。

Ⅰ、再现性题组：

1.在正项等比数列{a}中，a?

a+2a?

a+a?

a=25，则a＋a＝_______。

2.方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。

A.1C.k∈RD.k＝或k＝1

3.已知sinα＋cosα＝1，则sinα＋cosα的值为______。

A.1B.－1C.1或－1D.0

4.函数y＝log（－2x＋5x＋3）的单调递增区间是_____。

A.（－∞,]B.[,+∞）C.（－,]D.[,3）

5.已知方程x+（a-2）x+a-1=0的两根x、x，则点P（x,x）在圆x+y=4上，则实数a＝_____。

【简解】1小题：

利用等比数列性质aa＝a，将已知等式左边后配方（a＋a）易求。

答案是：

5。

2小题：

配方成圆的标准方程形式（x－a）＋（y－b）＝r，解r>0即可，选B。

3小题：

已知等式经配方成（sinα＋cosα）－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。

选C。

4小题：

配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。

选D。

5小题：

答案3－。

Ⅱ、示范性题组：

例1.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。

A.2B.C.5D.6

【分析】先转换为数学表达式：

设长方体长宽高分别为x,y,z，则,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式可得。

【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：

。

长方体所求对角线长为：

＝＝＝5

所以选B。

【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。

这也是我们使用配方法的一种解题模式。

例2.设方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，若（）+（）≤7成立，求实数k的取值范围。

【解】方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：

p＋q＝－k，pq＝2,

（）+（）＝＝＝＝≤7，解得k≤－或k≥。

又∵p、q为方程x＋kx＋2=0的两实根，∴△＝k－8≥0即k≥2或k≤－2

综合起来，k的取值范围是：

－≤k≤－或者≤k≤。

【注】关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。

本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。

假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。

例3.设非零复数a、b满足a＋ab＋b=0，求（）＋（）。

【分析】对已知式可以联想：

变形为（）＋（）＋1＝0，则＝ω（ω为1的立方虚根）；或配方为（a＋b）＝ab。

则代入所求式即得。

【解】由a＋ab＋b=0变形得：

（）＋（）＋1＝0，

设ω＝，则ω＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：

＝，ω＝＝1。

又由a＋ab＋b=0变形得：

（a＋b）＝ab，

所以（）＋（）＝（）＋（）＝（）＋（）＝ω＋＝2。

【注】本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。

一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。

【另解】由a＋ab＋b＝0变形得：

（）＋（）＋1＝0，解出＝后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式（）＋（）后，完成后面的运算。

此方法用于只是未联想到ω时进行解题。

假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a＋ab＋b＝0解出：

a＝b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。

Ⅲ、巩固性题组：

1. 函数y＝（x－a）＋（x－b）（a、b为常数）的最小值为_____。

A.8B.C.D.最小值不存在

2. α、β是方程x－2ax＋a＋6＝0的两实根，则（α-1）+（β-1）的最小值是_____。

A.－B.8C.18D.不存在

3. 已知x、y∈R，且满足x＋3y－1＝0，则函数t＝2＋8有_____。

A.最大值2B.最大值C.最小值2B.最小值

4. 椭圆x－2ax＋3y＋a－6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝_____。

A.2B.－6C.－2或－6D.2或6

5. 化简：

2＋的结果是_____。

A.2sin4B.2sin4－4cos4C.－2sin4D.4cos4－2sin4

6.设F和F为双曲线－y＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠FPF＝90°，则△FPF的面积是_________。

7.若x>－1，则f（x）＝x＋2x＋的最小值为___________。

8.已知〈β<α〈π，cos（α-β）＝，sin（α+β）＝－，求sin2α的值。

（92年高考题）

9.设二次函数f（x）＝Ax＋Bx＋C，给定m、n（m

① 解不等式f（x）>0；

②是否存在一个实数t，使当t∈（m+t,n-t）时，f（x）<0？

若不存在，说出理由；若存在，指出t的取值范围。

10.设s>1，t>1，m∈R，x＝logt＋logs，y＝logt＋logs＋m（logt＋logs）,

① 将y表示为x的函数y＝f（x），并求出f（x）的定义域；

② 若关于x的方程f（x）＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。

二、换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。

通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。

或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：

局部换元、三角换元、均值换元等。

局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。

例如解不等式：

4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。

如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。

为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。

如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

如上几例中的t>0和α∈[0,]。

Ⅰ、再现性题组：

1.y＝sinx?

cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f（x＋1）＝log（4－x）（a>1），则f（x）的值域是_______________。

3.已知数列{a}中，a＝－1，a?

a＝a－a，则数列通项a＝___________。

4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。

5.方程＝3的解是_______________。

6.不等式log（2－1）?

log（2－2）〈2的解集是_______________。

【简解】1小题：

设sinx+cosx＝t∈[－,]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋；

2小题：

设x＋1＝t（t≥1），则f（t）＝log[-（t-1）＋4]，所以值域为（－∞,log4]；

3小题：

已知变形为－＝－1,设b＝，则b＝－1,b＝－1＋（n－1）（-1）＝－n，所以a＝－；

4小题：

设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0,△＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；

5小题：

设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；

6小题：

设log（2－1）＝y，则y（y＋1）<2，解得－2

Ⅱ、示范性题组：

例1.实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5（①式），设S＝x＋y，求＋的值。

（93年全国高中数学联赛题）

【分析】由S＝x＋y联想到cosα＋sinα＝1,于是进行三角换元，设代入①式求S和S的值。

【解】设代入①式得：

4S－5S?

sinαcosα＝5

解得S＝；

∵-1≤sin2α≤1∴3≤8－5sin2α≤13∴≤≤

∴＋