高三数学第一轮复习测试及详细解答(2)《数列》.doc

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高三数学第一轮复习单元测试

（2）—《数列》

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若互不相等的实数、、成等差数列，、、成等比数列，且，

则= （）

A．4 B．2 C．－2 D．－4

2．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 （）

A．5 B．4 C．3 D．2

3．在等差数列中，已知则等于 （）

A．40　　　　　　 B．42　　　　　　 C．43　　　　　 D．45

4．在等差数列｛an｝中，若aa+ab=12，SN是数列｛an｝的前n项和，则SN的值为 （）

A．48　 B．54　 C．60　 D．66

5．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝ （）

A． B． C． D．

6．设是公差为正数的等差数列，若，，则

（）

A． B． C． D．

7．已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线

（该直线不过原点O），则S200＝ （）

A．100 B．101 C．200 D．201

8．在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于

（）

A． B． C． D．

9．设，则等于 （）

A．　 B．　 C． D．

10．弹子跳棋共有60棵大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹子有 （）

A．3 B．4 C．8 D．9

11．设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2004，那么数列2，，，……，的“理想数”为 （）

A．2002 B．2004 C．2006 D．2008

12．一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是

ABCD

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.

13．数列｛an｝中，若a1=1，an+1=2an+3（n≥1），则该数列的通项an=.

14．.

15．在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某

商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正

三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，

就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第

一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一

层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，

第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则

；（答案用n表示）.

16．已知整数对排列如下，

则第60个整数对是_______________.

三、解答题：

本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

数列{an}的前n项和记为Sn，

（1）求{an}的通项公式;

（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且，又成等比数列，求Tn

18．（本小题满分12分）

设数列、、满足：

，（n=1，2，3，…），

证明：

为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1，2，3，…）

19．（本小题满分12分）

已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.

（1）若，求；

（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；

（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同

（2）类似的问题（

（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

20．（本小题满分12分）

某市去年11份曾发生流感，据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？

并求这一天的新患者人数.

21．（本小题满分12分）

等差数列中，，公差是自然数，等比数列中，．

（Ⅰ）试找出一个的值，使的所有项都是中的项；再找出一个的值，使的项不都是中的项（不必证明）；

（Ⅱ）判断时，是否所有的项都是中的项，并证明你的结论；

（Ⅲ）探索当且仅当取怎样的自然数时，的所有项都是中的项，并说明理由．

22．（本小题满分14分）

已知数列{}中，（n≥2，），

（1）若，数列满足（），求证数列{}是等差数列；

（2）若，求数列{}中的最大项与最小项，并说明理由；

（3）（理做文不做）若，试证明：

．

参考答案

（2）

1．D．依题意有

2．C．　，故选C．

3．B．∵等差数列中，∴公差．

∴＝＝42．

4．B．　因为，所以=54，故选B．

5．A．　由等差数列的求和公式可得且

所以，故选A．

6．B．，，

将代入，得，从而.选B．

7．A．　依题意，a1＋a200＝1，故选A．

8．C．因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则

即，所以，故选择答案C．

9．D．　f（n）=，选D．

10．B．　正四面体的特征和题设构造过程，第k层为k个连续自然数的和，化简通项再裂项用公式求和.依题设第k层正四面体为则前k层共有，k最大为6，剩4，选B．

11．A．认识信息，理解理想数的意义有，

，选A．

12．A．函数认识数列，则函数在上为凸函数，选A．

13．由，即=2，所以数列｛＋3｝是以（+3）为首项，以2为公比的等比数列，故＋3=（+3），=－3.

14．由，整体求和所求值为5．

15．

的规律由，所以

所以

16．观察整数对的特点，整数对和为2的1个，和为3的2个，和为4的3个，和为5的4个，和n为的

n－1个，于是，借助估算，取n=10，则第55个整数对为，注意横

坐标递增，纵坐标递减的特点，第60个整数对为

17．

（1）由可得，两式相减得

又∴故{an}是首项为1，公比为3得等比数列∴.

（2）设{bn}的公差为d，由得，可得，可得，

故可设

又由题意可得解得

∵等差数列{bn}的各项为正，∴，∴∴

18．必要性：

设数列是公差为的等差数列，则：

==－=0，

∴（n=1，2，3，…）成立；

又=6（常数）（n=1，2，3，…）

∴数列为等差数列.

充分性：

设数列是公差为的等差数列，且（n=1，2，3，…），

∵……①∴……②

①－②得：

=

∵

∴……③从而有……④

④－③得：

……⑤

∵，，，

∴由⑤得：

（n=1，2，3，…），

由此，不妨设（n=1，2，3，…），则（常数）

故……⑥

从而……⑦

⑦－⑥得：

，

故（常数）（n=1，2，3，…），

∴数列为等差数列.

综上所述：

为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1，2，3，…）.

19．

（1）.

（2），，

当时，.

（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列.

研究的问题可以是：

试写出关于的关系式，并求的取值范围.

研究的结论可以是：

由，

依次类推可得

当时，的取值范围为等.

20．设第n天新患者人数最多，则从n+1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n天流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20，公差为50的等差数列的n项和，，而后30－n天的流感病毒感染者总人数，构成一个首项为，公差为30，项数为30－n的等差数列的和，依题设构建方程有，化简，或（舍），第12天的新的患者人数为20+（12－1）·50=570人.故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，新患者人数为570人.

21．

（1）时，的项都是中的项；（任一非负偶数均可）;

时，的项不都是中的项．（任一正奇数均可）;

（2）时，

的项一定都是中的项

（3）当且仅当取（即非负偶数）时，的项都是中的项．

理由是：

①当时，时，

，其中

是的非负整数倍，设为（），只要取即（为正整数）即可得，

即的项都是中的项；②当时，不是整数，也不可能

是的项．

22．

（1），而，∴．

∴{}是首项为，公差为1的等差数列．

（2）依题意有，而，

∴.对于函数，在x＞3.5时，y＞0，，在（3.5，）

上为减函数.　故当n＝4时，取最大值3.而函数在x＜3.5时，y＜0，

，在（，3.5）上也为减函数．故当n＝3时，取最小值，＝－1.

（3）先用数学归纳法证明，再证明.①当时，成立；

②假设当时命题成立，即，当时，

故当时也成立，

综合①②有，命题对任意时成立，即.

（也可设（1≤≤2），则，

故）.

下证：

.

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