湖北省13市州2012年中考数学分类解析专题6：函数的图像与性质.doc

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湖北13市州（14套）2012年中考数学试题分类解析汇编

专题6：

函数的图象与性质

一、选择题

1.（2012湖北黄石3分）已知反比例函数（为常数），当时，随的增大而增大，则一

次函数的图像不经过第几象限【】

A.一B.二C.三D.四

【答案】B。

【考点】一次函数图象与系数的关系，反比例函数的性质。

【分析】∵反比例函数（b为常数），当x＞0时，y随x的增大而增大，∴b＜0。

∵一次函数y=x+b中k=1＞0，b＜0，∴此函数的图象经过一、三、四限。

∴此函数的图象不经过第二象限。

故选B。

2.（2012湖北荆门3分）如图，点A是反比例函数（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为【】

A．2B．3C．4D．5

【答案】D。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质。

【分析】设A的纵坐标是a，则B的纵坐标也是a．

把y=a代入得，，则，即A的横坐标是；同理可得：

B的横坐标是：

。

∴AB=。

∴S□ABCD=×a=5。

故选D。

3.（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：

①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有【】

A．3个B．2个C．1个D．0个

【答案】A。

【考点】二次函数图象与系数的关系。

【分析】根据图象可得：

a＞0，c＞0，对称轴：

。

①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），∴对称轴是x=1，

∴。

∴b+2a=0。

故命题①错误。

②∵a＞0，，∴b＜0。

又c＞0，∴abc＜0。

故命题②正确。

③∵b+2a=0，∴a﹣2b+4c=a+2b﹣4b+4c=﹣4b+4c。

∵a﹣b+c=0，∴4a﹣4b+4c=0。

∴﹣4b+4c=﹣4a。

∵a＞0，∴a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a＜0。

故命题③正确。

④根据图示知，当x=4时，y＞0，∴16a+4b+c＞0。

由①知，b=﹣2a，∴8a+c＞0。

故命题④正确。

∴正确的命题为：

①②③三个。

故选A。

4.（2012湖北宜昌3分）已知抛物线y=ax2﹣2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是【】

A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限

【答案】D。

【考点】抛物线与x轴的交点与对应的一元二次方程的解之间的关系，二次函数的性质。

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【分析】∵抛物线y=ax2﹣2x+1与x轴没有交点，∴△=4﹣4a＜0，解得：

a＞1。

∴抛物线的开口向上。

又∵b=﹣2，∴抛物线的对称轴在y轴的右侧。

∴抛物线的顶点在第一象限。

故选D。

5.（2012湖北恩施3分）已知直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为【】

A．﹣6B．﹣9C．0D．9

【答案】A。

【考点】反比例函数图象的对称性，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线上的点，∴x1•y1=x2•y2=3。

∵直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，∴x1=﹣x2，y1=﹣y2

∴x1y2+x2y1=﹣x1y1﹣x2y2=﹣3﹣3=﹣6。

故选A。

6.（2012湖北荆州3分）如图，点A是反比例函数（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为【】

A．2B．3C．4D．5

【答案】D。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质。

【分析】设A的纵坐标是a，则B的纵坐标也是a．

把y=a代入得，，则，，即A的横坐标是；同理可得：

B的横坐标是：

。

∴AB=。

∴S□ABCD=×a=5。

故选D。

7.（2012湖北随州4分）如图，直线l与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点，交x轴的正半轴于C点,若AB：

BC=（m一l）：

1（m>l）则△OAB的面积（用m表示）为【】

A.B.C.D.

【答案】B。

【考点】反比例函数的应用，曲线上点的坐标与方程式关系，相似三角形的判定和性质，代数式化简。

【分析】如图，过点A作AD⊥OC于点D，过点B作BE⊥OC于点E,

设A（ｘA，ｙA），B（ｘB，ｙB），C（c¸0）。

∵AB：

BC=（m一l）：

1（m>l），∴AC：

BC=m：

1。

又∵△ADC∽△BEC，∴AD：

BE=DC：

EC=AC：

BC=m：

1。

又∵AD=ｙA，BE=ｙB，DC=c－ｘA，EC=c－ｘB，

∴ｙA：

ｙB=m：

1，即ｙA=mｙB。

∵直线l与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点，

∴，。

∴，。

将又由AC：

BC=m：

1得（c－ｘA）：

（c－ｘB）=m：

1，即

，解得。

∴

。

故选B。

8.（2012湖北孝感3分）若正比例函数y＝－2x与反比例函数的图象的一个交点坐标为（－1，2），

则另一个交点的坐标为【】

A．（2，－1）B．（1，－2）C．（－2，－1）D．（－2，1）

【答案】B。

【考点】反比例函数图象的对称性。

【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可：

∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴两函数的交点关于原点对称。

∵一个交点的坐标是（－1，2），∴另一个交点的坐标是（1，－2）。

故选B。

9.（2012湖北鄂州3分）直线与反比例函数的图象（x<0）交于点A，与x轴相交于点

B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，若AB=AC，则k的值为【】

A.－2 B.－4 C.－6 D.－8

【答案】B。

【考点】反比例函数与一次函数交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的性质，解方程和方程组。

【分析】在中，令y=0，得x=－2。

在中，令x=－2，得。

∴B（－2，0），C（－2，）。

∴BC的中点坐标为（－2，）。

联立和，得，即，解得

∵x<0，∴。

∴。

∴A（，）。

∵AB=AC，∴A点纵坐标等于BC中点的纵坐标，即，整理得。

∴k=0（舍去）或k=－4。

故选B。

二、填空题

1.（2012湖北武汉3分）如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于x轴与点B，

点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE

的面积为3，则k的值为▲．

【答案】。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，同底三角形面积的计算，梯形中位线的性质。

【分析】如图，连接DC，

∵AE=3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1。

∴△ADC的面积为4。

∵点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，

∴设A点坐标为（）。

∵OC＝2AB，∴OC=2。

∵点D为OB的中点，∴△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，∴梯形BOCA的面积为8。

∴梯形BIEA的面积=，解得。

2.（2012湖北咸宁3分）对于二次函数，有下列说法：

①它的图象与轴有两个公共点；

②如果当≤1时随的增大而减小，则；

③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则；

④如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为．

其中正确的说法是▲．（把你认为正确说法的序号都填上）

【答案】①④。

【考点】二次函数的性质，一元二次方程的判别式，平移的性质。

【分析】由得，

∴方程有两不相等的实数根，即二次函数的图象与轴有两个公共点。

故说法①正确。

∵的对称轴为，而当≤1时随的增大而减小，

∴。

故说法②错误。

∵，

∴将它的图象向左平移3个单位后得。

∵经过原点，∴，解得。

故说法③错误。

∵由时的函数值与时的函数值相等，得，

解得，

∴当时的函数值为。

故说法④正确。

综上所述，正确的说法是①④。

3.（2012湖北荆州3分）新定义：

[a，b]为一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为　▲　．

【答案】x=3。

【考点】新定义，一次函数和正比例函数的定义，解分式方程。

【分析】根据新定义得：

y=x＋m－2，

∵“关联数”[1，m－2]的一次函数是正比例函数，∴m﹣2=0，解得：

m=2。

则关于x的方程即为，解得：

x=3。

检验：

把x=3代入最简公分母2（x﹣1）=4≠0，故x=3是原分式方程的解。

4.（2012湖北黄冈3分）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，

快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米／时，两车之间的距离y（千米）与货车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：

①快递车从甲地到乙地的速度为100千米／时；

②甲、乙两地之间的距离为120千米；

③图中点B的坐标为（，75）；

④快递车从乙地返回时的速度为90千米／时．

以上4个结论中正确的是▲（填序号）

5.（2012湖北十堰3分）如图，直线y=6x，y=x分别与双曲线在第一象限内交于点A，B，若S△OAB=8，则k=　▲　．

【答案】6。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数系数k的几何意义，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，

设点A（x1，），B（x2，），

由解得，∴A（，）。

由解得，∴B（，）。

∵

∴k=6。

6.（2012湖北孝感3分）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如

图所示．下列说法正确的是▲（填正确结论的序号）．

①abc＜0；②a－b＋c＜0；③3a＋c＜0；④当－1＜x＜3时，y＞0．

【答案】①②③。

【考点】二次函数图象与系数的关系。

【分析】由二次函数的图象可得：

a＞0，b＜0，c＞0，对称轴x=1，则再结合图象判断正确的选项即可：

由a＞0，b＜0，c＞0得abc＜0，故结论①正确。

∵由二次函数的图象可得x=2.5时，y=0，对称轴x=1，∴x=－0.5时，y=0。

∴x=－1时，y＜0，即a－b＋c＜0。

故结论②正确。

∵二次函数的图象的对称轴为x=1，即，∴。

代入②a