数学中考试题汇编圆的综合题.doc

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2013中考全国100份试卷分类汇编

圆的综合题

1、（2013•温州）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如图所示．若AB=4，AC=2，S1﹣S2=，则S3﹣S4的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

圆的认识

分析：

首先根据AB、AC的长求得S1+S3和S2+S4的值，然后两值相减即可求得结论．

解答：

解：

∵AB=4，AC=2，

∴S1+S3=2π，S2+S4=，

∵S1﹣S2=，

∴（S1+S3）﹣（S2+S4）=（S1﹣S2）+（S3﹣S4）=π

∴S3﹣S4=π，

故选D．

点评：

本题考查了圆的认识，解题的关键是正确的表示出S1+S3和S2+S4的值．

2、（2013•孝感）下列说法正确的是（　　）

A．

平分弦的直径垂直于弦

B．

半圆（或直径）所对的圆周角是直角

C．

相等的圆心角所对的弧相等

D．

若两个圆有公共点，则这两个圆相交

考点：

圆与圆的位置关系；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．

分析：

利用圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识进行判断即可

解答：

解：

A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误；

B、半圆或直径所对的圆周角是直角，故本选项正确；

C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；

D、两圆有两个公共点，两圆相交，故本选项错误，

故选B．

点评：

本题考查了圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识，牢记这些定理是解决本题的关键．

3、（2013•温州）一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线上．木工师傅想了一个巧妙的办法，他测量了PQ与圆洞的切点K到点B的距离及相关数据（单位：

cm），从点N沿折线NF﹣FM（NF∥BC，FM∥AB）切割，如图1所示．图2中的矩形EFGH是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图（不重叠，无缝隙，不记损耗），则CN，AM的长分别是　18cm、31cm　．

考点：

圆的综合题

分析：

如图，延长OK交线段AB于点M′，延长PQ交BC于点G，交FN于点N′，设圆孔半径为r．在Rt△KBG中，根据勾股定理，得r=16（cm）．根据题意知，圆心O在矩形EFGH的对角线上，则KN′=AB=42cm，OM′=KM′+r=CB=65cm．则根据图中相关线段间的和差关系求得CN=QG﹣QN′=44﹣26=18（cm），AM=BC﹣PD﹣KM′=130﹣50﹣49=31（cm）．

解答：

解：

如图，延长OK交线段AB于点M′，延长PQ交BC于点G，交FN于点N′．

设圆孔半径为r．

在Rt△KBG中，根据勾股定理，得

BG2+KG2=BK2，即（130﹣50）2+（44+r）2=1002，

解得，r=16（cm）．

根据题意知，圆心O在矩形EFGH的对角线上，则

KN′=AB=42cm，OM′=KM′+r=CB=65cm．

∴QN′=KN′﹣KQ=42﹣16=26（cm），KM′=49（cm），

∴CN=QG﹣QN′=44﹣26=18（cm），

∴AM=BC﹣PD﹣KM′=130﹣50﹣49=31（cm），

综上所述，CN，AM的长分别是18cm、31cm．

故填：

18cm、31cm．

点评：

本题以改造矩形桌面为载体，让学生在问题解决过程中，考查了矩形、直角三角形及圆等相关知识，积累了将实际问题转化为数学问题经验，渗透了图形变换思想，体现了数学思想方法在现实问题中的应用价值．

4、（2013四川宜宾）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：

①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4．

其中正确的是　①②④　（写出所有正确结论的序号）．

考点：

相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．

分析：

①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：

=，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；

②由=，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；

③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=；

④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得△ADE的面积，继而求得S△DEF=4．

解答：

解：

①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴=，DG=CG，

∴∠ADF=∠AED，

∵∠FAD=∠DAE（公共角），

∴△ADF∽△AED；

故①正确；

②∵=，CF=2，

∴FD=6，

∴CD=DF+CF=8，

∴CG=DG=4，

∴FG=CG﹣CF=2；

故②正确；

③∵AF=3，FG=2，

∴AG==，

∴在Rt△AGD中，tan∠ADG==，

∴tan∠E=；

故③错误；

④∵DF=DG+FG=6，AD==，

∴S△ADF=DF•AG=×6×=3，

∵△ADF∽△AED，

∴=（）2，

∴=，

∴S△AED=7，

∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=4；

故④正确．

故答案为：

①②④．

点评：

此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．　

5、（2013年武汉）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是的中点，连接PA，PB，PC．

（1）如图①，若∠BPC＝60°，求证：

；

（2）如图②，若，求的值．

解析：

（1）证明：

∵弧BC＝弧BC，∴∠BAC＝∠BPC＝60°．

又∵AB＝AC，∴△ABC为等边三角形

∴∠ACB＝60°，∵点P是弧AB的中点，∴∠ACP＝30°，

又∠APC＝∠ABC＝60°，∴AC＝AP．

（2）解：

连接AO并延长交PC于F，过点E作EG⊥AC于G，连接OC．

∵AB＝AC，∴AF⊥BC，BF＝CF．

∵点P是弧AB中点，∴∠ACP＝∠PCB，∴EG＝EF．

∵∠BPC＝∠FOC，

∴sin∠FOC＝sin∠BPC=．

设FC＝24a，则OC＝OA＝25a，

∴OF＝7a，AF＝32a．

在Rt△AFC中，AC2＝AF2+FC2，∴AC＝40a．

在Rt△AGE和Rt△AFC中，sin∠FAC＝，

∴，∴EG＝12a．

∴tan∠PAB＝tan∠PCB=．

6、（2013•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．

（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为　45°或135°　；

（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？

并求出△ABC的面积的最大值．

（3）连接AD，当OC∥AD时，

①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？

请作出判断，并说明理由．

考点：

圆的综合题．3718684

专题：

综合题．

分析：

（1）根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以当C点在y轴左侧时，有∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，有∠BOC=180°﹣∠OBA=135°；

（2）由△OAB为等腰直角三角形得AB=OA=6，根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，

此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算△ABC的面积；

（3）①过C点作CF⊥x轴于F，易证Rt△OCF∽Rt△AOD，则=，即=，解得CF=，再利用勾股定理计算出OF=，则可得到C点坐标；

②由于OC=3，OF=，所以∠COF=30°，则可得到∴BOC=60°，∠AOD=60°，然后根据“SAS”判断△BOC≌△AOD，所以∠BCO=∠ADC=90°，再根据切线的判定定理可确定

直线BC为⊙O的切线．

解答：

解：

（1）∵点A（6，0），点B（0，6），

∴OA=OB=6，

∴△OAB为等腰直角三角形，

∴∠OBA=45°，

∵OC∥AB，

∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，∠BOC=180°﹣∠OBA=135°；

（2）∵△OAB为等腰直角三角形，

∴AB=OA=6，

∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，

过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，

∵△OAB为等腰直角三角形，

∴AB=OA=6，

∴OE=AB=3，

∴CE=OC+CE=3+3，△ABC的面积=CE•AB=×（3+3）×6=9+18．

∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9+18．

（3）①如图，过C点作CF⊥x轴于F，

∵OC∥AD，

∴∠ADO=∠COD=90°，

∴∠DOA+∠DAO=90°

而∠DOA+∠COF=90°，

∴∠COF=∠DAO，

∴Rt△OCF∽Rt△AOD，

∴=，即=，解得CF=，

在Rt△OCF中，OF==，

∴C点坐标为（﹣，）；

②直线BC是⊙O的切线．理由如下：

在Rt△OCF中，OC=3，OF=，

∴∠COF=30°，

∴∠OAD=30°，

∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，

∵在△BOC和△AOD中

，

∴△BOC≌△AOD（SAS），

∴∠BCO=∠ADC=90°，

∴OC⊥BC，

∴直线BC为⊙O的切线．

点评：

本题考查了圆的综合题：

掌握切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算．

7、（2013•宜昌）半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．

（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．

①填空：

如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是　30°　；

②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；

（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．

考点：

圆的综合题．

分析：

（1）①根据切线的性质以及直角三角形的性质得出∠EBA的度数即可；

②利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出=，进而求出OA即可；

（2）设∠MON=n°，得出S扇形MON=×22=n进而利用函数增减性分析①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，②当MN=DC=2时，MN最小，分别求出即可．

解答：

解：

（1）①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在⊙O上时，过点B作的一条切线BE，E为切点，

∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，

∴∠EBA的度数是：

30°；

②如图2，

∵直线l与⊙O相切于点F，

∴∠OFD=90°，

∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，

∴OF∥AD，

∵OF=AD=2，

∴四边形OFDA为平行四边形，

∵