高一数学立体几何单元测试题9Word文件下载.docx
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C.二面角的平面角是最大还是最小,由二面角是否大于90°
决定
D.二面角的平面角既非最大,也非最小
3.已知正方形ABCD,沿对角线AC将△ADC折起,设AD与平面ABC所成的角为β,当β取最大值时,二面角B—AC—D等于()
A.120°
B.90°
C.60°
D.45°
4.四面体ABCD的四个面全等,且AB=AC=
,BC=2,则以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的大小为()
A.arccos
B.arccos
C.
D.
5.在直角坐标系中,设A(3,2),B(-2,-3),沿y轴把直角坐标平面折成120°
的二面角后,AB长为()
A.2
B.2
D.4
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,二面角D1—AC—D的正切值是________.
2.已知α—l—β二面角的度数是60°
面α内一点A到棱l的距离为2
,则A到面β的距离为________.
3.正方形ABCD,P是正方形所在平面外一点,PA⊥平面AC,且PA=AB,则二面角A—PD—C的度数为________,二面角B—PA—D的度数为________,二面角B—PA—C的度数为________,二面角B—PC—D的度数为________.
4.在60°
的二面角α—l—β的面α内一点A到面β的距离为
A在β上的射影为A′,则A′到面α的距离为________;
异面直线AA′、l间的距离为________.
5.菱形ABCD的对角线AC=
,沿BD把面ABD折起与面BCD成120°
的二面角后,点A到面BCD的距离为________.
三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
1.在二面角α—l—β中,A、B∈α,D∈l,ABCD为矩形,P∈β,PA⊥α,且PA=AD,M、N依次是AB、PC的中点,
(1)求二面角α—l—β的大小;
(2)求证:
MN⊥AB;
(3)求异面直线PA与MN所成角的大小.
2.长方体ABCD—A1B1C1D1中,棱长AB=
,AA1=1,截面AB1C1D为正方形.
(1)求点B1到平面ABC1的距离;
(2)求二面角B—AC1—B1的正弦值.
3.四面体M—ABC中,MC⊥平面ABC,∠BAC=90°
MC=4,AC=3,AB=4,求二面角A—MB—C的余弦值.
4.如图,边长为20的正△ABC顶点A在平面α内,B、C在平面α同侧,且B、C到α的距离分别是10和5,求△ABC所在平面和α所成的二面角的大小.
5.如图,二面角M—CD—N的度数为α,A为M上一点,B为N上一点,CD在棱上,且AB⊥CD,又AB与平面N成30°
角,若△ACD的面积为S,求α为何值时,△BCD的面积最大,其最大面积是多少?
参考答案
1.C2.B3.B4.C5.B
1.
2.33.90°
90°
45°
120°
4.
15.
1.
(1)解:
连结PD
∵PA⊥α,AD⊥l,∴PD⊥l
∴∠PDA是二面角α—l—β的平面角.
由PA=AD,有∠PDA=45°
.
故二面角α—l—β的大小为45°
(2)证明:
取CD的中点为E,连结ME、NE,则EM∥AD,EN∥PD,
∴CD⊥ME,CD⊥NE,
∴CD⊥平面MNE,又AB∥CD
∴AB⊥平面MNE,故AB⊥MN.
(3)解:
取PD中点为Q,连结QA、QN,则QN
CD,而AM
CD.
∴QNMA是平行四边形.
∴AQ∥MN
∴∠PAQ是异面直线PA与MN所成的角.
∵△PAD为等腰直角三角形,AQ为斜边上的中线,
∴∠PAQ=45°
即PA与MN所成的角的大小为45°
2.解:
(1)如图,
∵棱长AB=
,
AA1=1,
AB1C1D是正方形,
∴B1C1=AB1=2
∵AB⊥平面BB1C1C.
∴平面ABC1⊥平面BB1C1C.
作B1H⊥BC1于H,则B1H⊥平面ABC1,
∴B1H为点B1到平面ABC1的距离.
在Rt△BB1C1中
∵BB1·
B1C1=BC1·
B1H.
∴B1H=
(2)作HO⊥AC1,垂足为O,则B1O⊥AC1
∴∠HOB1是二面角B—AC1—B1的平面角,又O是正方形AB1C1D的对角线交点,
∴sinB1OH=
3.解:
如图,作AE⊥MB,CF⊥MB,则异面直线AE、CF所成的角等于二面角A—MB—C的平面角.
∵AC=3,MC=4,AM=5,AB=4.
∴BC=5,MB=
∵∠MAB=90°
,AE=
,CF=
BE=
,MF=
∴EF=MB-MF-BE=
-
×
2=
由公式AC=
得
cosθ=
4.解:
设BD、CE是点B、C到平面α的距离,则BD⊥α,CE⊥α,BD=10,CE=5,由直线与平面垂直的性质,得BD∥CE,
∴B、D、E、C共面.
∵BD≠CE,∴BC、DE必相交,
设交点为F,∵DF
α,∴F∈α,
∵BC
平面ABC∴F∈平面ABC,
∴F是平面ABC和平面α的又一公共点.
∵A是平面ABC和平面α的公共点,
∴平面ABC∩平面α=AF,
在△BDF中,∵BD∥CE,BD=2CE,∴CF=BC.
又∵△ABC为正三角形
∴CF=AC,∠ACF=120°
∴∠BAF=∠BAC+∠CAF=60°
+30°
=90°
由三垂线定理的逆定理,得DA⊥AF.
∴∠BAD是△ABC和平面α所成的二面角的平面角.
在Rt△ABD中,AB=20,BD=10,
∴∠BAD=30°
∴△ABC所在平面和α所成的二面角的大小为30°
5.解:
过A作AO⊥平面N于O,连BO,BO或BO的延长线交CD于E,连AE.
∵CD⊥AB∴CD⊥BE
∴CD⊥AE.
∴∠AEB=α是二面角的平面角.
且∠ABO=30°
∵△ACD面积为S,设AE=h,CD=
在△ABE中,∠AEB=α,∠ABO=30°
则∠BAE=150°
-α.
由正弦定理
BE=
S△BCD=
CD·
·
=2Ssin(150°
-α).
当α=60°
时,S△BCD=2S为最大.