高中数学初高中衔接教材第七讲不等式Word下载.docx

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7.1.2不等式的基本性质

性质1：

不等式两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变。

即

如果，那么；

如果，那么。

性质2：

不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

如果，且，那么（或）；

如果，且，那么（或）。

性质3：

不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

7.1.3一元一次不等式及不等式组

1、概念：

只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式，一元一次不等式的一般形式为。

2、一元一次不等式的解

①当时，；

②当时，；

③当时，若，则为任意实数，若，则无解。

3、一元一次不等式组：

由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。

求不等式组的解集的过程叫做解不等式。

4、不等式组的解法：

转化为一元一次不等式，求解每个不等式，得公共部分，即为不等式组的解集。

7.1.4一元二次不等式

1、一元二次不等式：

一个整式不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式。

2、它的一般形式是或。

3、一元二次不等式的解法

（1）化二次项系数为正；

（2）观测相应的二次函数图像；

对于一元二次不等式或的解，可以按照其对应方程的判别式、、（其中）分为以下三种情况进行讨论。

①当时，函数

的图像与轴有两个交点和。

那么由图7-1可得：

②当时，函数

的图像与轴只有一个交点（其中）。

那么由图7-2可得：

③当时，函数

的图像与轴无交点。

那么由图7-3可得：

二、考点突破

例1、解下列不等式：

（1）；

（2）；

解：

（1）原不等式的解是

（2）原不等式的解是

（3）；

（4）。

（3）原不等式的解是

（4）原不等式的解是．

练1、求下列不等式的解集：

（2）；

（4）

。

（3）原不等式的解是．

7.2简单分式不等式的解法

7.2.1分式不等式的定义：

分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式。

7.2.2简单分式不等式的解法：

对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零．

例2、解下列不等式：

（2）

分析：

（1）类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；

或者因为两个数（式）相除异号，那么这两个数（式）相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解．

（2）注意到经过配方法，分母实际上是一个正数．

（1）解法

（一）原不等式可化为：

解法

（二）原不等式可化为：

．

（2）∵

原不等式可化为：

练2、解不等式

原不等式可化为：

说明：

（1）转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．

（2）本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：

小结练习

1、解下列一元二次不等式

答案：

（1）解集为：

（2）解集为：

（4）；

（3）解集为：

（4）解集为：

（5）；

（6）。

（5）解集为：

（6）解集为：

2、解下列分式不等式：

（2）；

（3）

3.不等式的解集是。

4.不等式的解集是.

总结：

归纳分式不等式的解法：

（1）化分式不等式为标准型：

（2）将分式不等式转化为整式不等式求解如：

拓展：

高次不等式的解法解不等式：

.

7.3含参数的不等式的解法及恒成立问题

7.3.1含参数的一元二次不等式由于其系数中出现了参数，因此需要对参数的不同取值进行分类讨论而加以求解。

一般情况下，含参数的一元二次不等式的分类和讨论步骤如下：

（1）对二次项系数含参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零进行分类讨论，特别地，当二次项系数为零时可以转化为一元一次不等式来求解；

（2）含参数的一元二次不等式，在其解的情况下不明确的情况下，需要对其判别式分、、三种情况加以讨论；

（3）若含参数的一元二次不等式可以转化成用其对应方程的根表示成形如的形式时，且两根中含参数，往往需要对其根分三种情况进行讨论，或借助韦达定理求解。

7.3.2与一元二次不等式有关的逆向问题

给出了一个一元二次不等式的解集，则可知的符号和的两根，由韦达定理可知之间的关系。

7.3.3含参数的不等式的恒成立问题

不等式恒成立，则不等式的解集为，一元二次不等式在上恒成立的条件是在上恒成立的条件是

例3、已知是实常数，解关于的不等式：

当时，；

当时，不等式无解；

练3、解关于的不等式：

（2）。

（1）当时，；

当时，为一切实数；

（2）当时，；

当时，原不等式无解；

当时，

例4、如果不等式无解，求的取值范围。

练4、不等式的解为一切实数，求的取值范围。

综上所述：

当时，原不等式的解为一切实数。

注意：

对二次项系数为零的情况的讨论。

练5、若不等式

的解集为，求的取值范围。

练6、若关于的不等式的解集为，求实数的范围。

例5、设为参数，解关于的一元二次不等式。

（2）当时，原不等式可化为。

①若，当时，；

当时，。

②若，。

练7、解不等式。

当时，或；

当时，或。

例6、若不等式的解集为，求不等式的解集。

解集为：

练8、已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集。

练9、不等式的解集为，求与的值。

练10、已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集。

练11、已知关于的不等式的解为，求的值．

对应的一元二次方程的根是和，且对应的二次函数的图象开口向上．根据一元二次方程根与系数的关系可以求解．

由题意得：

本例也可以根据方程有两根和，用代入法得：

，，且注意，从而．

练1、求关于的不等式的解．

（1）当时，，不等式的解为；

（2）当时，．

①时，不等式的解为；

②时，不等式的解为；

③时，不等式的解为全体实数．

（3）当时，不等式无解．

当或时，不等式的解为；

当时，不等式的解为；

当时，不等式的解为全体实数；

当时，不等式无解．

练2、已知关于的不等式的解为，求实数的值．

将不等式整理成的形式，可以考虑只有当时，才有形如的解，从而令．

所以依题意：

练3、已知对于任意实数，恒为正数，求实数的取值范围．

显然不合题意，于是：

7.4含绝对值的不等式的解法

我们知道，

它表示实数在数轴上所对应的点到原点的距离。

因此，求不等式的解集就是求数轴上到原点的距离小于的点所对应的实数的集合。

7.4.1最简单的含绝对值的不等式的解法

的解为；

无解；

的解为或；

的解为的一切实数；

的解为一切实数；

7.4.2较简单的含绝对值的不等式的解法

（1）

；

（2）

的解法：

先求出使每个绝对值符号内的数学式子等于零的未知数的值（称为零点），将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式去解。

这种方法我们称为零点分段法。

例7、解下列绝对值不等式：

（4）；

（4）

（6）。

练11、解不等式：

（2）。

例8、解不等式。

或。

练12、解绝对值不等式：

练13、解不等式：

练14、解不等式：

练15、解不等式：

（1）当时，不等式的解集为；

（2）当时，不等式的解集为

例9、解关于的不等式。

练16、解关于的不等式。

2019-2020年高中数学北师大版必修五教学建议

1．关于解三角形

（1）将解三角形作为几何度量问题来展开，要求学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，解决简单的三角形度量问题．

　　这就要求教师在教学过程中，突出几何的作用和数学量化思想，发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的探究过程、再创造过程.

（2）要求运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，而不必在恒等变形上进行过于烦琐的训练．

　　因此，在教学中应为学生体验数学在解决问题中的作用，感受数学与日常生活及其他学科的联系，发展数学应用意识，提高实践能力创造条件．对于以往的恒等变形则应降低要求．

　　（3）解三角形的内容在教学形式上可以灵活多样．

　　例如，可以设计一些研究性、开放性题材，让学生自行探索解决，也可以建议学生在课外自行寻找研究性、应用性的题目去做，写出研究或实验报告．可以引导学生尝试运用平面向量知识解决三角形的度量问题．

2．关于数列

（1）把数列视为反映自然规律的基本数学模型，要求在教学中通过日常生活中的实例，讲解数列的概念和几种表示方法，特别指出要体现数列是一种特殊函数，通过列表、图象、通项公式表示数列，把数列融于函数之中.

（2）把等差数列和等比数列作为重要内容，强调在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，既突出了问题意识，也有助于对数学本质的认识．而体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系的要求则实现了数列与函数的融合.

　　（3）要求探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式．这里的探索是指学生的自主探索，而教师则起一个指导的作用，这反映了新课程所倡导的新型学习方式．

　　（4）要求在数列的教学中使学生“能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题”．《标准》里提供的关于教育储蓄的案例，带有一定的研究性学习的性质．教师在教学中要以此为例，引导学生从生产实际和社会生活中寻找广泛的探究题材．

　　（5）要求在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系，但训练要控制难度和复杂程度．

　　这体现了《标准》在内容处理上的一个原则：

删减烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容．基于这样的原则，数列教学中要改变传统的在纸上演化题型，花样翻新地搞偏题、怪题的做法，注重应用，关注学生对数列模型的本质的理解，以及运用数列模型解决实际问题的能力．

3．关于不等式

（1）强调不等式的现实背景和实际应用．把不等式作为刻画现实世界中不等关系的数学工具，作为描述、刻画优化问题的一种数学模型，而不是从数学到数学的纯理论探讨．

（2）把学生“经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程”的要求放在首位，同时强调“通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系”，充分注重数形结合．

　　对一元二次不等式的求解，《标准》要求“尝试设计求解的程序框图”，从而融入了算法的思想，这是过去大纲中所没有的.这个结合点选择得非常恰当，其意义是多重的：

一方面，算法找到了其用武之地；

另一方面，不但实现了不等式的上机求解，而且对不等式结构的认识显得更加清晰，更能看清问题的本质．

　　（3）将最简单的线性不等式组——二元一次不等式组作为不等式部分的重要内容，并将其作为刻画区域的工具，为解决简单的线性规划问题作铺垫．

　　如同其他内容一样，对二元一次不等式组，《标准》也强调要从实际情境中抽象出二元一次不等式组模型，而不是像以往那样从纯数学角度提出问题．

　　对不等式组，《标准》十分强调其几何意义，要求能用平面区域表示二元一次不等式组．这种从点与数对的对应、线与方程的对应，到平面区域与不等式组的对应的过渡和提升，能使学生进一步体会到数形结合思想的实质及其重要性，也是体现数形结合的好素材.

　　（4）把简单的二元线性规划问题列入不等式部分作为必修内容是很有必要的.这一方面体现了数学的应用价值，另一方面体现了数学内容的丰富多彩，也体现了现代数学中的优化思想.

　　（5）强调借助几何直观解决一些简单的线性规划问题，引导学生体会线性规划的基本思想，而避免引入很多名词，这是与祟尚数学的理性精神、体会数学的美学精神的课程目标相一致的.

　　（6）线性规划的丰富案例体现了数学的应用正在不断地渗透到社会生活的方方面面．数学思想蕴涵于案例之中，要充分关注案例的作用．

　　《标准》中的案例3是一个投入产出模型，教学中可举一反三，给出若干其他例子，借以体现数学应用的广泛性，也使学生通过一定的训练，掌握简单的二元线性规划问题的解法．

　　教学中还应引导学生从社会生产、生活实际中提取可以归结为二元线性规划的问题并加以解决．

　　（7）将均值不等式“（a，b≥0）”作为基本不等式列入，要求探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．

　　将最基本的不等式列入教学内容，并且突出体现求解不等式模型的基本方法，既防止陷入“烦琐的计算、人为技巧化的难题”，也不“过分强调细枝末节的内容”．

　　（8）对于不等式部分内容，评价要采取灵活多样的方式．特别是对线性规划，不能只限于会解书本上的习题，还要关注学生应用与解决实际问题的能力．