中考数学压轴题解题策略五：相似三角形的存在性问题.doc

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中考数学压轴题解题策略

相似三角形的存在性问题解题策略

专题攻略

相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．

判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：

寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4．

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6．

应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．

例题解析

例❶如图1-1，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C．动直线EF（EF//x轴）从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．是否存在t，使得△BPF与△ABC相似．若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由．

图1-1

【解析】△BPF与△ABC有公共角∠B，那么我们梳理两个三角形中夹∠B的两条边．

△ABC是确定的．由，可得A（4,0）、B（8,0）、C（0,4）．

于是得到BA＝4，BC＝．还可得到．

△BPF中，BP＝2t，那么BF的长用含t的式子表示出来，问题就解决了．

在Rt△EFC中，CE＝t，EF＝2t，所以．

因此．

于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程：

①当时，．解得（如图1-2）．

②当时，．解得（如图1-3）．

图1-2图1-3

例❷如图2-1，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）连结OM，求∠AOM的大小；

（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

图2-1

【解析】△ABC与△AOM中相等的一组角在哪里呢？

本题由简到难，层层深入．第

（1）题求出抛物线的解析式，得到顶点M的坐标，为第

（2）题求∠AOM的大小作铺垫；求得了∠AOM的大小，第（3）题暗示了要在△ABC中寻找与∠AOM相等的角．

（1）如图2-2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．容易得到A．

再由A、B（2,0）两点，可求得抛物线的解析式为．

（2）由，得顶点M．

所以．所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．

图2-2

（3）由A、B（2,0），可得∠ABO＝30°．

因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．

所以△ABC与△AOM相似，存在两种情况：

①当时，．此时C（4,0）（如图2-3）．

②当时，．此时C（8,0）（如图2-4）．

图2-3图2-4

例❸如图3-1，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A（1,0）、B（3,0）两点，与y轴交于点D，顶点为C．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

图3-1

【解析】△AMN是直角三角形，因此必须先证明△BCD是直角三角形．一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程．

（1）抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3．

（2）由y＝－x2＋4x－3＝－（x－2）2＋1，得D（0,－3），C（2,1）．

如图3-2，由B（3,0）、D（0,－3）、C（2,1），可知∠CBO＝45°，∠DBO＝45°．

所以∠CBD＝90°，且．

图3-2图3-3图3-4

设点M、N的横坐标为x，那么NM＝－yM，而NA的长要分N在A的右边或左边两种情况，因此列方程要“两次分类”：

当N在A右侧时，NA＝x－1，分两种情况列方程：

①当时，．解得．此时M（如图3-3）．

②当时，．解得x＝6．此时M（6,－15）（如图3-5）．

当N在A左侧时，NA＝1－x，也要分两种情况列方程：

①当时，．解得＞1，不符合题意（如图3-4）．

②当时，．解得x＝0，此时M（0,－3）（如图3-6）．

图3-5图3-6

例❹如图4-1，在平面直角坐标系中，A（8,0），B（0,6），点C在x轴上，BC平分∠OBA．点P在直线AB上，直线CP与y轴交于点F，如果△ACP与△BPF相似，求直线CP的解析式．

图4-1

【解析】首先求得点C（3,0）．△ACP与△BPF中，相等的角在哪里啊？

①如图4-2，当点P在线段AB上时，△ACP与△BPF中，∠APC与∠BPF是邻补角，如果这两个邻补角一个是锐角，一个是钝角，两个三角形怎么可能相似呢？

因此CP与AB是垂直的．可以求得F（0,－4），于是直线CF（CP）为．

②如图4-3，当点P在AB的延长线上时，△ACP与△BPF有公共角∠P．于是∠OFC＝∠PFB＝∠A，可以求得F（0,4），因此直线CF（CP）为．

③如图4-4，当点P在BA的延长线上时，∠B与∠PCA不可能相等．在△AOB中，根据大边对大角，∠B＞∠BAO；∠BAO又是△PCA的一个外角，∠BAO＞∠PCA．

图4-2图4-3图4-4

例❺如图5-1，二次函数y＝x2＋3x的图象经过点A（1,a），线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C（0,2），直线AC交抛物线于点B，连结OA、OB、OD、BD．求坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；

图5-1

【解法一】点A、D、B都是确定的，可以求得A（1,4），D（－4,4），B（－2,－2）．

所以，，，．

△EOD∽△AOB，对应边已经确定，因此我们可以根据判定定理3列方程．

由，得．所以，．

设点E的坐标为（x,y），根据EO2＝68，DE2＝180，列方程组解得

所以点E的坐标为（8,－2）或（－2,8）．

上面的解题过程是“盲解”，我们并不明白两个三角形的位置关系．

【解法二】如图5-2，△AOB是确定的，△AOB与△EOD有公共点O，OB∶OD＝1∶2，∠BOD＝90°．

如果△EOD∽△AOB，我们可以把△AOB绕着点O顺时针旋转，使得点B′落在OD上，此时旋转角为90°，点B′恰好落在OD的中点．

按照这个运动规则，点A（1,4）绕着点O顺时针旋转90°，得到点A′（4,－1），点A′是线段OE的中点，因此点E的坐标为（8,－2）．

如图5-3，点E（8,－2）关于直线OD（即直线y＝－x）对称的点为E′（2,－8）．

图5-2图5-3

例❻如图6-1，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝8．⊙A的半径为2，动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．延长BA交⊙A于点D，连结AP交⊙A于点E，连结DE并延长交BC于点F．设点P运动的时间为t秒，当△ABP与△FBD相似时，求t的值．

图6-1

【解析】△ABC是等腰直角三角形，⊙A是确定的，先按照题意把图形补充完整．

如图6-2，容易发现△ABP与△FBD有公共角∠B，如果根据对应边成比例列方程或，其中BA＝4，BP＝t，BD＝4＋2，但是用含t的式子表示BF困难重重啊！

图6-2图6-3图6-4

我们另起炉灶，按照判定定理1来解决．

△ABP与△FBD有公共角∠B，我们以∠D为分类标准，分两种情况讨论它们相似：

第一种情况，如图6-3，∠BAP＝∠D是不可能的，这是因为∠BAP是等腰三角形ADE的外角，∠BAP＝2∠D．

第二种情况，如图6-4，当∠BPA＝∠D时，在△ABP中，由于∠BAP＝2∠D＝2∠BPA，

因此45°＋3∠BPA＝180°．解得∠BPA＝45°．

此时△ABP是等腰直角三角形，P与C重合，所以t＝8．

解答这道题目，如果选取点P的3个不同位置，按照题意画图，可以帮助我们探究．在讨论第二种情况∠BPA＝∠D时，我们容易被已知图6-1给定的点P的位置所误导，以为图6-2中“锐角∠D”与“钝角∠BPA”不可能相等．

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