圆-综合练习题.doc

圆-综合练习题.doc

《圆-综合练习题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆-综合练习题.doc（25页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

圆综合练习题

一、与圆有关的中档题：

与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）

1.如图，为⊙O的直径，为弦，，交于，，．

（1）求证：

，并求的长；

（2）延长到，使，连接，判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由.

2.已知：

如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．

（1）求证：

DF为⊙O的切线；

（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；

（3）求图中阴影部分的面积．

3、如图，已知圆O的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且．

（1）请证明：

是的中点；

（2）若，求的长．

4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作交PQ于点D．

（1）求证：

△CDQ是等腰三角形；

（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:

PO的值．

5．已知:

如图,BD是半圆O的直径,A是BD延长线上的一点，BC⊥AE，交AE的延长线于点C,交半圆O于点E，且E为的中点.

（1）求证：

AC是半圆O的切线；

（2）若，求的长．

6.如图，内接于⊙O，过点的直线交⊙O于点，交的延长线于点，且AB2=AP·AD

（1）求证：

；

（2）如果，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，

求AD的长.

7．如图，在△ABC中，∠C=90°,AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点,以OA为半径的⊙O经过点D.

（1）求证：

BC是⊙O切线；

（2）若BD=5,DC=3,求AC的长.

8．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC.

（1）求证：

∠ACO=∠BCD；

（2）若BE=2，CD=8，求AB和AC的长.

9．如图，已知为⊙的直径，点、在⊙上，，垂足为，交于，且．

（1）求证：

；

（2）如果，，求的长．

10．如图，已知直径与等边的高相等的圆O分别与边AB、BC相切于点D、E，边AC过圆心O与圆O相交于点F、G。

（1）求证：

；

（2）若的边长为a，求的面积.

11．如图，在△ABC中，∠BCA=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点．

（1）请你判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若∠A＝30°，AP=，求⊙O半径的长.

12．如图，已知点A是⊙O上一点，直线MN过点A，点B是MN上的另一点，点C是OB的中点，，

若点P是⊙O上的一个动点,且∠,AB=时，求△APC的面积的最大值．

第13题图

13．如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC为直径作⊙交BC于点D，交AB于点G，过点D作⊙的切线交AB于点E，交AC的延长线与点F.

（1）求证：

EF⊥AB；

（2）求cos∠F的值.

14．（应用性问题）已知：

如图，为了测量一种圆形零件的精度，在

加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有30°的直角三角尺按图

示的方式测量.

（1）若⊙O分别与AE、AF交于点B、C，且AB=AC,若⊙O与AF相切.

求证:

⊙O与AE相切；

（2）在满足

（1）的情况下，当Ｂ、Ｃ分别为AE、AF的三分之一点时，且AF=3，求的弧长.

二、圆与相似综合

15．已知：

如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D，OC交AB于E.

（1）求∠D的度数；

（2）求证：

；

（3）求的值.

16．如图⑴，⊙O的直径为，过半径的中点作弦，在BC上取一点，分别作直线，交直线于点.

⑴求和的度数；

⑵求证：

∽；

图1

⑶如图⑵，若将垂足改取为半径上任意一点，点改取

图2

在上，仍作直线，分别交直线于点.

试判断：

此时是否仍有∽成立？

若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由。

三、圆与三角函数综合

17．已知⊙O过点D（4，3），点H与点D关于轴对称，过H作⊙O的切线交轴于点A（如图1）。

⑴求⊙O半径；

⑵求的值；

图1

图2

⑶如图2，设⊙O与轴正半轴交点P，点E、F是线段OP上的动点（与P点不重合），联结并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直线BC交轴于点G，若是以EF为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化？

请说明理由。

四、圆与二次函数（或坐标系）综合

18、如图，⊙M的圆心在轴上，与坐标轴交于A（0，）、B（－1，0），抛物线经过A、B两点．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）设抛物线的顶点为P．试判断点P与⊙M的位置关系，并说明理由；

（3）若⊙M与轴的另一交点为D，则由线段PA、线段PD及弧ABD围成的封闭图形PABD的面积是多少？

19．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．

（1）求∠ACB的大小；

（2）写出A，B两点的坐标；

（3）试确定此抛物线的解析式；

（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？

若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（以圆为幌子，二次函数为主的代几综合题）如图，半径为1的⊙与轴交于两点，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点，其顶点为．

（1）求的值及二次函数顶点的坐标；

（2）将二次函数的图象先向下平移1个单位，

再向左平移2个单位，设平移后图象的顶点为，在经过点

和点的直线上是否存在一点，使的周长最小，

若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

五、以圆为背景的探究性问题

21．下图中,图

（1）是一个扇形OAB，将其作如下划分：

第一次划分：

如图

（2）所示，以OA的一半OA1的长为半径画弧交OA于点A1，交OB于点B1，再作∠AOB的平分线，交于点C，交于点C1，得到扇形的总数为6个，分别为：

扇形OAB、扇形OAC、扇形OCB、扇形OA1B1、扇形OA1C1、扇形OC1B1；

第二次划分：

如图（3）所示，在扇形OC1B1中，按上述划分方式继续划分，即以OC1的一半OA2的长为半径画弧交OC1于点A2，交OB1于点B2，再作∠B1OC1的平分线，交于点D1，交于点D2，可以得到扇形的总数为11个；

第三次划分：

如图（4）所示，按上述划分方式继续划分；

……依次划分下去.

（1）根据题意,完成右边的表格；

（2）根据右边的表格,请你判断按上述划分方式,能否得到扇形的总数为2008个?

为什么?

（3）若图

（1）中的扇形的圆心角∠AOB=m°，且扇形的半径OA的长为R．我们把图

（2）第一次划分的图形中，扇形（或扇形）称为第一次划分的最小扇形，其面积记为S1；把图（3）第二次划分的最小扇形面积记为S2；……，把第n次划分的最小扇形面积记为Sn..求的值.

22．圆心角定理是“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，记作（如图①）；

圆心角定理也可以叙述成“圆心角度数等与它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”，

记作（如图①）请回答下列问题：

（1）如图②，猜测并说明理由；

（2）如图③，猜测并说明理由.

图③

（提示：

“两条平行弦所夹的弧相等”可当定理用）

图①

图②

23．已知：

半径为R的⊙经过半径为r的⊙O圆心，⊙与⊙O交于M、N两点．

（1）如图1，连接O交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交⊙于点A、B，求的值；

（2）若点C为⊙O上一动点.

①当点C运动到⊙内时，如图2，过点C作⊙O的切线交⊙于A、B两点．请你探索的值与

（1）中的结论相比较有无变化？

并说明你的理由；

②当点运动到⊙外时，过点C作⊙O的切线，若能交⊙于A、B两点．请你在图3中画出符合题意的图形，并探索的值（只写出的值，不必证明）．

北京市丰台区2015-2016学年度第一学期初三数学

第24章圆综合练习题

一、与圆有关的中档题：

与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）

1.如图，为⊙O的直径，为弦，，交于，，．

（1）求证：

，并求的长；

（2）延长到，使，连接，判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由.

1．解：

，.

，．

又，

．　　．

．

（舍负）．　　

（2）直线与相切．　　

连接．为的直径，．

在中，由勾股定理，得．

．

，．

（或，是等边三角形，．

，．）

．⊥．

又点A在圆上，直线与相切．

2.已知：

如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．

（1）求证：

DF为⊙O的切线；

（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；

（3）求图中阴影部分的面积．

2．

（1）证明：

连接DO.

∵是等边三角形，∴∠C=60°，∠A=60°，

∵OA=OD，∴是等边三角形.∴∠ADO=60°.

∵DF⊥BC，∴∠CDF=30°.

∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°.∴DF为⊙O的切线.

（2）∵是等边三角形，∴CD=AD=AO=AB=2.

Rt中，∠CDF=30°，∴CF=CD=1.∴DF=.

（3）连接OE，由

（2）同理可知E为CB中点，∴.

∵，∴.

∴．

∴．

∴．

3、如图，已知圆O的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且．

（1）请证明：

是的中点；

（2）若，求的长．

3、

（1）证明：

连接，如图

，且过圆心

，，是等边三角形．

在中，，点为的中点

（2）解：

在中，

又，

4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作交PQ于点D．

（1）求证：

△CDQ是等腰三角形；

（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:

PO的值．

4．

（1）证明：

由已知得∠ACB=90°，∠ABC=30°，

∴∠Q=30°，∠BCO=∠ABC=30°.

∵CD⊥OC，∴∠DCQ=∠BCO=30°，

∴∠DCQ=∠Q，∴△CDQ是等腰三角形.

（2）解：

设⊙O的半径为1，则AB=2，OC=1，AC=，BC=.

∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，∴CQ=BC=.

∵AQ=AC+CQ=1+，AP=，

∴BP=AB－AP=PO=AP－AO=，

∴BP∶PO=.

5．已知:

如图,BD是半圆O的直径,A是BD延长线上的一点，BC⊥AE，交AE的延长线于点C,交半圆O于点E，且E为的中点.

（1）求证：

AC是半圆O的切线；

（2）若，求的长．

5.解：

（1）连接OE,∵E为的中点，∴．∴.

∵，∴.∴.∴OE∥BC.

∵BC⊥AC，∴∠C=90°.∴∠AEO=∠C=90°.即OE⊥AC.

又OE为半圆O的半径，∴AC是半圆O的切线.

（2）设的半径为，

∵，∴.∴.∴.

∵OE∥BC，∴.∴.即∴.

6.如图，内接于⊙O，过点的