倒立摆的PID控制Word文档下载推荐.docx
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以摆杆的角度为输出，小车的位移为输入。
导轨中点为坐标轴的中心即零点，右向为坐标值增加的方向，杆偏移其瞬时平衡位置右侧的角度为正值。
在此基础上通过PID控制实现倒立摆系统的稳定。
二、数学模型的建立
运用拉格朗日方法建立倒立摆系统的数学模型。
拉格朗日方程为：
（2-1）
其中L为拉格朗日算子，q为系统的广义坐标，T为系统的动能，V为系统的势能。
（2-2）
其中i＝1,2,3……n，fi为系统在第i个广义坐标上的外力。
基于拉格朗日定理分析倒立摆模型如下：
1、计算系统的动能
（1）小车的动能：
（2-3）
（2）杆的动能：
（2-4）
其中
为杆的平动动能，
为杆的转动动能。
设杆的水平坐标为
，垂直坐标为
，则有：
（2-5）
将（2-5）式代入（2-4）并化简得：
（2-6）
则系统的总动能T为：
（2-7）
2、计算系统的势能
系统的势能只有杆的重力势能V，取水平面为重力势能零势能点，则有：
（2-8）
3、运用拉格朗日方程求解
将式（2-7）和式（2-8）代入式（2-1）得：
（2-9）
将上式对
求一阶偏导得：
（2-10）
再将式（2-10）对时间求一阶导得：
（2-11）
再将式（2-9）对
（2-12）
将式（2-11）和（2-12）代入式（2-2），并忽略系统的摩擦得：
（2-13）
接着将系统线性化，为此做如下近似，因为
很小，所以有：
，则式（2-13）变为：
（2-14）
将式（2-14）进行拉斯变换，并将L=1代入得系统的传递函数为：
（2-15）
4、离散系统状态空间表达式
由式（2-15），取采用周期T=0.02s运用matlab编程如下：
（1）当L=0.25时
>
clear
g=9.8;
l=0.25
numl=[-0.7500];
denl=[l0-0.75*g];
sysl=tf（numl,denl）;
dt=0.02;
sys=c2d（sysl,dt,'
zoh'
）;
[a,b,c,d]=ssdata（sys）
得：
a=
2.0118-1.0000
1.00000
b=
0.2500
0
c=
-0.0706-0.0706
d=
-3
所以可知离散系统状态空间表达式为：
（2）当L=0.5时
l=0.5
2.0059-1.0000
0.1250
-0.0353-0.0353
-1.5000
三、带PID的计算机控制系统
由系统的传递函数（2-15）利用劳斯判据可知系统不稳定。
图2系统框图
1、被控对象稳定性判断
由被控对象连续传递函数（2-15）可得劳斯表如下：
所以可知倒立摆系统不稳定。
2、加入PID控制
PID控制传递函数为：
由系统框图可得出加入PID后的系统传递函数，再通过劳斯判据（对连续系统）或朱利判据即可得出参数KP、KI、KD的取值范围，但这样计算过于复杂，所以采用试凑法。
（1）首先只整定比例部分。
将Kp由小到大变化，并观察相应的系统响应，直到反应快、超调小的响应曲线。
最终得出当Kp=0.56时反应最快，误差最小。
如图3所示：
（a）当L=0.25时
（b）当L=0.5时
（2）再整定积分系数KI，首先置积分时间常数为一个较大的值，并适当调整第一步确定的Kp，然后减小积分时间常数，并使系统在保持良好的动态响应的情况下，消除静差。
这种调整可以根据动态响应，反复改变Kp和KI以期望得到满意的控制过程。
（3）为得到良好的动态过程，再加入微分环节。
在第二步整定的基础上，逐步增大KD，同时相应改变KP和KI，逐步试凑以获得满意的调节效果。
（4）由仿真可得当摆杆长L=0.25时，Kp=0.3，KI=60，KD=0.27时可得到良好的响应曲线，如图4（a）所示；
当摆杆长L=0.5时，Kp=0.56，KI=80，KD=0.11时可得到良好的响应曲线，如图4（b）所示。
（仿真程序见附录）
（a）L=0.25时
（b）L=0.5时
图4加入PID控制时摆角的变化
四、总结
本文主要针对图1所示的倒立摆系统进行了分析建模，并将模型离散化，得到离散系统状态空间表达式。
再通过PID控制使倒立摆系统稳定。
在建模仿真的过程可发现，倒立摆系统是不稳定的，用拉格朗日法可对其进行建模，且PID控制是十分实用的控制算法，在PID控制中主要问题是KP，KI，KD三个参数的确定，可使用试凑法来确定这三个参数，且因杆长的不同这三个参数的值也会不同。
附录：
直线一级倒立摆系统的PID控制仿真程序：
1、当摆杆长为L=0.25时：
clear
a=[2.0118-1.0000;
1.00000];
b=[0.2500;
0];
c=[-0.0706-0.0706];
d=-3;
i=1;
out=zeros（1,501）;
t=zeros（1,501）;
dt=0.02;
tmax=10;
y=[0;
xout=0;
theta=0.1;
theta_1=0;
e=0;
kp=0.3;
ki=60;
kd=0.27;
fort1=0:
0.02:
tmax
out（i）=theta;
t（i）=0.02*i;
i=i+1;
e=e+theta*dt;
xcout=kp*（-theta）+kd*（（theta-theta_1）/dt）+ki*e;
theta=c*y+d*xcout;
y=a*y+b*xcout;
theta_1=theta;
end
plot（t,out）;
grid
xlabel（'
时间t/s'
ylabel（'
摆杆倾角θ'
title（'
倒立摆仿真'
）
2、当摆杆长为L=0.5时
a=[2.0059-1.0000;
b=[0.1250;
c=[-0.0353-0.0353];
d=-1.5;
kp=0.56;
ki=80;
kd=0.11;
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