微分算子法实用整理总结Word文档格式.docx
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dx
求导n次;
君表示积分,如右x表示对x积分n次,不要常数。
2、计算
将n阶微分方程改写成下式:
Dny+aiDn'
1y+a2Dn2y+a3Dn3y+・・・
+an-iDy+any=f(x)
即(Dn+aiDn'
+a2Dn-2+a3Dn"
+…+an-iD+an)y=f(x)
记F(D)=Dn+aiDnl+a2Dn'
2+a3Dn'
3+...+an-iD+an
*i
规定特解:
y二而/a)
3、胡的性质
U)性质一:
^ekx=^-ekx(F(k)不等于o)
注:
若k为特征方程的m重根时,有
(2)性质二:
胡ekXv(x)二ekx諾RV(x)
⑶性质三:
特解形如胡sin(ax)和^cos(ax)
利用性质一和二解出结果,并取相应的虚部和实部
作为原方程的特解
欧拉公式eiax=cos(ax)+isin(ax)
虚数i2=-1
1i
ii•若特解形如而石sin(ax)和丽石cos(ax),也
可按以下方法考虑:
若F(-a2)衣0,则
击sin(ax)=缶sin(ax)胡cos(ax)=^cos(ax)
若F(-a2)=0,则按i.进行求解,或者设才为只才)
的m重根,则
(4)性质四(多项式):
百6(xp+bixp_1+b2xp'
2+..・+bp「x+bp)
=Q(D)(xp+bixp_1+b2xp'
2+...+bp-iX+bp)
Q(D)为商式,按D的升幕排列,且D的最高次幕为p。
(5)性质五(分解因式):
一一f(x)=/(x)=!
f(牙)
F(D)JFJDJ-ECD)7F2(D)・F|(D)丿
(6)性质六:
丄-(/|(X)+办(x))=」一(x)+—*—/;
(x)
F(D)F(D)F(D)'
-
三、例题练习
例1.+4y=ex
贝ij(D2+4)y=ex,特解y=-4—ex=ex=|ex(性质一)
D+4r+4□
例2、y⑷+y=2cos(3x),贝iJ(D4+1)y=2cos(3x)
=2(32;
+]COS(3x)=-^cos(3x)(性质三)
例3、^-4-"
4—+4y=x2e^x,则(D2"
4D+4)y=x2e^x
d对dx
2p2x—p2x1
(D+2-2)2
=e2x^-x2=-^-x4e2x(性质二)
D12
例4、y=eX,!
JliJ(D3-3D2+3D-1)y=eX
特解y\?
K17eX=eX而口F*1
=ex-^r*1=^-x3ex(性质二)
例5、~y=sinx,则(D3-1)y=sinx,特解y*=-4—sinx
dxD'
-1
考察川
i-1.
(cosx+isinx)
1_.1
=-q(cosx+sinx)+i~(cosx"
sinx)
■1取虚部为特解y二亍(cosx-sinx)(性质一、三)
例6、
d?
]
#+ysx,则(DW)ysx,特解八丙cosx
考察爲eix
1—pix_'
pix_1pix
02+ie(D・i)(D+i)e一(D・i)(D+i)已二底木x=eix2i・(D+i・i)S
=-yxeix=*xsinx-iyxcosx
取实部为特解y=xsinx(性质一、二、三)
例7、
五)
特解y二pnex_(D_1)(D+i)(d2+i)己乂
—•——•——qX—-L-qX
一D-122匸一D・14匸
=zeX^M=ixeX(性质一、二
例8、
+y=X2-X+2,贝|J(D2+I)y=X2-X+2
=(1-D2)(X2-X+2)=X2-X(性质四)
例9、^-+2—+2y=X2e_x,则(D2+2D+2)y=Xze'
x
axdv
特解y=(D+1)2+1x'
eX=eX(q_[+])2+]x?
=e_x万訂x2=e_x(i-D2)x2=e_x(x2-2)
(性质二、四)
(j2y
例10、-4+y=xcosx,贝iJ(D2+i)y=xcosx,
]YPix_!
Ypix_p汉1Y
D2+1(D-i)(D+i)入匸匸(D+i-i)(D+i+i)A
pix:
Z)(D+2i)
=eix^44)x=eix(v4x)x
Z)214414
x21
=(cosx+isinx)(打+)x)x
=—(xcosx+x2sinx)+i—(xsinx-x2cosx)