微分算子法实用整理总结Word文档格式.docx

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dx

求导n次；

君表示积分，如右x表示对x积分n次，不要常数。

2、计算

将n阶微分方程改写成下式：

Dny+aiDn'

1y+a2Dn2y+a3Dn3y+・・・

+an-iDy+any=f（x）

即（Dn+aiDn'

+a2Dn-2+a3Dn"

+…+an-iD+an）y=f（x）

记F（D）=Dn+aiDnl+a2Dn'

2+a3Dn'

3+...+an-iD+an

*i

规定特解：

y二而/a）

3、胡的性质

U）性质一：

^ekx=^-ekx（F（k）不等于o）

注：

若k为特征方程的m重根时，有

（2）性质二：

胡ekXv（x）二ekx諾RV（x）

⑶性质三:

特解形如胡sin（ax）和^cos（ax）

利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部

作为原方程的特解

欧拉公式eiax=cos（ax）+isin（ax）

虚数i2=-1

1i

ii•若特解形如而石sin（ax）和丽石cos（ax）,也

可按以下方法考虑：

若F（-a2）衣0,则

击sin（ax）=缶sin（ax）胡cos（ax）=^cos（ax）

若F（-a2）=0,则按i.进行求解，或者设才为只才）

的m重根，则

（4）性质四（多项式）:

百6（xp+bixp_1+b2xp'

2+..・+bp「x+bp）

=Q（D）（xp+bixp_1+b2xp'

2+...+bp-iX+bp）

Q（D）为商式，按D的升幕排列，且D的最高次幕为p。

（5）性质五（分解因式）：

一一f（x）=/（x）=!

f（牙）

F（D）JFJDJ-ECD）7F2（D）・F|（D）丿

（6）性质六：

丄-（/|（X）+办（x））=」一（x）+—*—/；

（x）

F（D）F（D）F（D）'

-

三、例题练习

例1.+4y=ex

贝ij（D2+4）y=ex，特解y=-4—ex=ex=|ex（性质一）

D+4r+4□

例2、y⑷+y=2cos（3x）,贝iJ（D4+1）y=2cos（3x）

=2（32；

+]COS（3x）=-^cos（3x）（性质三）

例3、^-4-"

4—+4y=x2e^x，则（D2"

4D+4）y=x2e^x

d对dx

2p2x—p2x1

（D+2-2）2

=e2x^-x2=-^-x4e2x（性质二）

D12

例4、y=eX,!

JliJ（D3-3D2+3D-1）y=eX

特解y\?

K17eX=eX而口F*1

=ex-^r*1=^-x3ex（性质二）

例5、~y=sinx，则（D3-1）y=sinx，特解y*=-4—sinx

dxD'

-1

考察川

i-1.

（cosx+isinx）

1_.1

=-q（cosx+sinx）+i~（cosx"

sinx）

■1取虚部为特解y二亍（cosx-sinx）（性质一、三）

例6、

d?

]

#+ysx,则（DW）ysx,特解八丙cosx

考察爲eix

1—pix_'

pix_1pix

02+ie（D・i）（D+i）e一（D・i）（D+i）已二底木x=eix2i・（D+i・i）S

=-yxeix=*xsinx-iyxcosx

取实部为特解y=xsinx（性质一、二、三）

例7、

五）

特解y二pnex_（D_1）（D+i）（d2+i）己乂

—•——•——qX—-L-qX

一D-122匸一D・14匸

=zeX^M=ixeX（性质一、二

例8、

+y=X2-X+2,贝|J（D2+I）y=X2-X+2

=（1-D2）（X2-X+2）=X2-X（性质四）

例9、^-+2—+2y=X2e_x，则（D2+2D+2）y=Xze'

x

axdv

特解y=（D+1）2+1x'

eX=eX（q_[+]）2+]x?

=e_x万訂x2=e_x（i-D2）x2=e_x（x2-2）

（性质二、四）

（j2y

例10、-4+y=xcosx,贝iJ（D2+i）y=xcosx,

]YPix_!

Ypix_p汉1Y

D2+1（D-i）（D+i）入匸匸（D+i-i）（D+i+i）A

pix:

Z）（D+2i）

=eix^44）x=eix（v4x）x

Z）214414

x21

=（cosx+isinx）（打+）x）x

=—（xcosx+x2sinx）+i—（xsinx-x2cosx）