微分算子法实用整理总结Word文档格式.docx

1、dx求导n次；君表示积分，如右x表示 对x积分n次，不要常数。2、 计算将n阶微分方程改写成下式：Dny+aiDn1y+a2Dn2y+a3Dn3y+ +an-iDy+any=f（x）即 （Dn+aiDn+a2Dn-2+a3Dn+ +an-iD+an）y=f（x）记 F（D）=Dn+aiDn l+a2Dn2+a3Dn3+ . +an-iD+an* i规定特解：y二而/a）3、胡的性质U）性质一：ekx=-ekx（F（k）不等于o）注：若k为特征方程的m重根时，有（2）性质二：胡 ekXv（x）二 ekx 諾RV（x）性质三:特解形如胡sin（ax）和cos（ax）利用性质一和二解出结果，并取相应

2、的虚部和实部作为原方程的特解欧拉公式 eiax= cos（ax）+isin（ax）虚数i2 = -11 iii若特解形如 而石sin（ax）和 丽石cos（ax）,也可按以下方法考虑：若F（-a2）衣0,则击 sin（ax）=缶 sin（ax） 胡 cos（ax）=cos（ax）若F（-a2）= 0 ,则按i.进行求解，或者设才为只才）的m重根，则（4）性质四（多项式）:百6 （xp+bixp_1+b2xp2+.+bpx+bp）=Q（D） （xp+bixp_1+b2xp2+. .+bp-iX+bp）Q（D）为商式，按D的升幕排列，且D的最高次幕为p。（5）性质五（分解因式）：一一 f （x）

3、= /（x） = ! f （牙）F（D）J FJDJ-ECD）7 F2（D）F|（D）丿（6）性质六：丄-（/|（X）+ 办（x）=一（x） +* /； （x）F（D） F（D） F（D） -三、例题练习例 1. +4y=ex贝 ij（D2+4）y=ex，特解 y = -4 ex= ex= | ex （性质一）D+4 r +4 例 2、y+y=2cos（3x）,贝iJ（D4+1）y= 2cos（3x）=2（ 32；+COS（3x） =-cos（3x）（性质三）例 3、-4-4+4y= x2ex，则（D24D+4）y= x2exd对 dx2p2x p2x 1（D+2-2）2=e2x-x2 = -

4、x4e2x （性质二）D 12例 4、y=eX , !JliJ（D3-3D2+3D-1）y=eX特解 y ?K17 eX =eX 而口F *1=ex-r * 1=-x3ex （性质二）例 5、y=sinx，则（D3-1）y=sinx，特解 y*=-4sinxdx D -1考察川i-1 .（cosx+isinx）1_ .1=-q （cosx+sinx）+i （cosxsinx） 1 取虚部为特解y二亍（cosx-sinx）（性质一、三）例6、d? #+ysx ,则（DW）ysx ,特解八丙cosx考察爲eix1 pix_ pix_ 1 pix02+ie （D i）（D +i） e 一 （D i）

5、（D +i）已 二底木 x=eix2i（D+ii）S=-yxeix= * xsinx-i y xcosx取实部为特解y = xsinx （性质一、二、三）例7、五）特解 y 二 pn ex_ （D_1）（D +i）（d2 +i）己乂 qX -L- qX一 D-1 2 2匸 一D1 4 匸=zeXM=ixeX （性质一、二例8、+y=X2-X+2 ,贝|J（D2+I）y= X2-X+2=（1-D2）（X2-X+2）=X2-X （性质四）例 9、-+2+2y=X2e_x，则（D2+2D+2）y=Xzexax dv特解 y = （D +1）2 +1 xe X=e X（q _+）2 + x?=e_x 万訂 x2=e_x（i -D2）x2=e_x（x2-2）（性质二、四） （j2y例 10、-4 +y=xcosx ,贝iJ（D2+i）y=xcosx ,YPix_ ! Ypix_p汉 1 YD2 +1 （D-i）（D +i）入匸 匸（D+i-i）（D +i+i） Apix : Z）（D +2i）=eix44）x=eix（v4x）xZ） 21 4 41 4x2 1=（cosx+isi nx）（打+）x）x=（xcosx+x2si nx）+i （xsin x-x2cosx）