关于三角形的一个千年之谜Word格式.docx
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这样的同余更多的是和谐的意思,这样的数很少,因为是平方数的等差序列。
24是同余数。
这是因为:
52+24=7252−24=12
从而6也是同余数,所以,考虑同余数,只要考虑没有平方因子的数即可。
那问题来了,为什么从6开始,1,2,3,5是不是同余数?
下面直接跳到500年以后了,是1220年,斐波那契的年代。
斐波那契差不多是中世纪最聪明的数学家。
他生活在意大利的比萨,大家都知道那里有一个斜塔,伽利略在那个地方把球给丢下去了。
那个城市有两位名人,一个就是斐波那契,一个就是伽利略。
比萨那边有个高等师范学院,是拿破伦占领意大利之后建的。
学院旁边的铜像是斐波那契的。
斐波那契的“波那契”是他爸爸的名字,斐波那契基本是他爸爸的儿子的意思(笑),所以这个名字没有多少意义。
斐波那契在当地是个非常有名的数学家,所以有一天国王的御前学者们——胥嗚伟老师替我翻译的,翻译得很准,向他挑战——找到一个有理数平方的等差数列,其公差为5,即
x21−x22=5=x22−x23
看看小朋友们能不能算出来?
~~斐波那契证明了5和7都是同余数,你们有小学生证出来的我给你100块钱(笑),有没有小学生能算出来?
或者中学生也行~~中学生不行我就推到大学生了。
(人大附中某学生:
5应该可以,29+20是7的平方,29减20是3的平方)啊,不错,一会记得向我要钱。
。
啊?
哦,不对,你算错了,你应该倒贴我100块钱(笑)。
没办法是吧,再给你30秒钟时间,看看你是不是比斐波那契更聪明一些。
大学生有没有会的?
研究生的?
清华的学生会吗?
你现在不会的原因是你没有找到计算它的办法,到了讲座的中间你会发现计算同余数的秘方。
好了,我们来看一下:
5:
(4912)2
(4112)2
(3112)27:
(463120)2
(337120)2
(113120)2
这个显然有点困难了吧。
短时间内要算到分子分母100以内,如果都能算完,说明你脑袋特别快。
要算7就更了不得了。
当斐波那契算完7之后,他猜想1,2,3都不是同余数,但不会证明。
他的猜想,又过了400年之后,由杰出的数学家费马证明了。
费马用的方法叫无穷下降法。
下面到了所谓的秘方,同余数的问题一般叙述为,找一个面积为n的有理三角形。
10世纪的时候,这个问题被认为是有理三角形理论的一个主要课题。
为什么呢,因为,今天我们学的几何和代数是源自2300年前欧几里得的《几何原本》。
虽然无理数很早就被发现了,但是大家关心的还是有理的对象。
有理三角形问题无非研究有理面积和三个有理边长。
所以被认为是主要问题。
通分之后,从而可考虑三边都是整数,当然,n不再是无平方因子了。
下面我来解释一下从同余数的原来形式到三角形的形式的转换过程,如果事先有
γ2+n=α2γ2−n=β2
那么令
a=α−β,
b=α+β,
c=2γ
从三角形到原文也是容易的,给定直角三角形边长a,b,c,令
γ=c2
则有
γ2+n=(a+b2)2,
γ2−n=(a−b2)2
满足要求。
所以现在有了更好的方式来理解同余数。
我想说,这个问题还没有被解决。
对于5,6,7这三个同余数,5,7的表达式比6复杂很多,所以它们虽然很接近,却很难发现。
费马是历史上非常伟大的数学家,精确的说是最伟大的业余数学家。
但他的成就即使和专业数学家相比也是排在最前面的。
他是普鲁斯的一个法官,由于法官的因素,他不能和普通人在一起,他要回避跟公众亲密的接触。
所以他的生活比较孤独,一孤独就喜欢做数学(笑),所以他就花了很多时间研究数学。
他研究数学,但是他不喜欢把过程写下来。
他做出来以后,就寄给他的朋友,所以他几乎所有的数学都是在信件中。
他一旦发现他证出了一个定理,他非常激动,告诉好朋友,“我找到一个极其妙的证明”(笑)~~然后大概描述他是怎么证的。
有时候他还要向其他人去挑战。
费马生活在牛顿之前,在数学史的贡献是极大的。
数学在欧几里得和费马之间几乎是个空白,费马基本是是徒手引入了近代数学的一些概念。
我们现在微积分的求切向量,求斜率,求面积,甚至有一些变分法。
要知道变分法是无穷维空间的微积分,但是即使这样,费马也做了。
费马肯定有了坐标的想法而且他用了。
费马和笛卡尔是同一个时代的人,他们是一辈子的对手(笑),相互都不喜欢对方,但是,从来没有见过面。
笛卡尔是个很严肃的数学家,也是个哲学家,他当然不能容忍费马那样信口开河“这是对的”“这是错的”(笑)。
牛顿写微积分的时候,谈到他的关于微积分的工作是费马的工作的延续。
回到这个最聪明的办法,无穷递降法。
这个最聪明的办法只能证明否定性的结果。
“不存在整数直角三角形,它的面积是平方数”,这是他的信里面写的很明确的一件事情。
他是怎么证的呢?
如果存在这样的三角形,则存在另一个整数直角三角形,它的面积也是一个平法数,且它比刚才那个三角形要更小一点。
一直下去是不可能的;
因为面积是整数,不能越来越小。
他说他的的论述非常长,没有办法在信里面。
我要引用的是20世纪最伟大的数学家之一AndrewWeil(韦伊),他也有很多故事,他是Bouraki(布尔巴基)的精神领袖。
Weil写道“所幸,书页有一处空白,可以让费马写下他的想法。
大家都知道费马最后定理,(翻译成费马大定理是错的),就是他写了这句话,让大家花了300年的时间才证明出来。
费马怎样证明1不是同余数呢?
从欧几里得的《原本》,element,更精确地翻译叫《元素》,因为element在古希腊意思不是princeple,而是组成的基本元素。
就好比汉字的笔画,英文的字母一样,这是最基本的。
这个书里面最高成就是我们中国人所谓的勾股定理,中国古代也有很多辉煌的数学成就,只不过秦始皇焚书坑儒,所以,我们不知道我们是否有更大贡献。
当然,除了勾股定理,欧几里得还有著名的辗转相除法——给出两个数,如何求公因子。
从而,可以得到一个整数可以分解为素数的成绩。
我们从小学到初中学的只是欧几里得著作的一部分。
你可以想想,全世界,各种地区,各种文化,这些中小学生都在念这本书;
我想,这本书一定是所有教科书使用率最高的。
我们可以把三边互素的直角三角形的三边用很简单的公式表示出来:
a=2pqb=p2−q2c=p2+q2
这个公式告诉你怎么找整的直角三角形。
基本是所有学初等数论的学生都要证明的第一个定理。
我想说的是,这个公式,2300年前,欧几里得已经知道了。
现在可以告诉你同余数的秘方了:
n=pq(p+q)(p−q)/□
要记得要把平方消掉。
现在再来算算?
(对刚才算错的学生说:
你要是算对了,一百块钱就不扣了~~)技巧就是要保证,p,q大多数都是平方,否则你消不掉啊?
对于5,取一个5,一个4,对不对?
恭喜你,答对了!
6是最简单的。
7呢?
取25和7是吗?
啊,对的,不过,存在更小的p,q,16和9。
那个国王的御前学者们显然不知道这个公式。
顺便提一下,斐波那契写了一本书,那本书第一次把阿拉伯数字引入了欧洲数学,以前欧洲还是用罗马数字。
现在来看看费马是如何证明1不是同余数的。
否则,有个有理三角形,面积为平方。
对应的p,q均为平方。
从而上式的四个因子均为平方。
令
p=x2,
q=y2,
p+q=u2,
p−q=v2
从而
2y2=u2−v2
故存在r,s,使得
(u,v)=(r2+2s2,
r2−2s2)
因此得到了边长为
(r2,
2s2,
x)
的直角三角形,其面积
(rs)2
比原先的三角形更小。
从而可使用无穷递降法。
那么,这个并不难的证明为什么费马之前无人做到,用现在的话来说是心态问题,数学归纳法是往上走,但费马往下走。
这就是费马非常得意的地方。
这个方法是数学归纳法的变形方式。
但是,在心理上是个更大的挑战。
要用费马无穷递降法,首先要给出一个度量,比如面积。
下面考虑的是至今仍不知道的。
我们看看同余数的分布问题,设n是个无平方因子的正整数。
猜想
我们有
∙1.如果n≡5,6,7(mod8),则n是同余数
∙2.如果n≡1,2,3(mod8),则n是同余数的概率为0。
就是说,随便给个数,比如99,模8余3,那实在没时间算的话,那你就猜他不是同余数;
有时间就算一下。
实际上,对于猜想后部分,用随机矩阵理论还可以猜得更精细,这里我不想细讲了。
大家看看23以内的同余数吧。
(把同余数写在黑板上),如果大家能把对应三角形的边长写出来,我就给大家钱,嗯,我把价钱写下来~~(笑)。
对了,不能用电脑哦,必须用手算。
你已经做出来了?
哦,记得找我要钱啊。
此外,领钱,年龄小优先啊~~有两个例外,34和41,这两个算出来,我给你200块钱。
啊,还有219。
对了,你要造出2个三角形。
怪现象是如果模8余1,2,3的话恰好是同余数,那么恰好有两个本质不一样的解,它跟一般的不一样。
219也是一样。
回过头来,我考虑同余素数问题。
刚才的公式,一个很大的问题是,即使很小的n,也可能需要很大的p,q来对应。
有这样的定理。
定理
如果素数P(分别地,2p)满足p≡3(mod8)(分别地,p≡5(mod8)),则它不是同余数。
证明一个数是同余数比证明不是同余数难很多。
数论学家发现更愿意做的事情是证明方程无解。
我有时候和其他数学家交流困难,那些做方程的数学家,他们的方程一般有解。
他们很困惑,为什么数论学家喜欢研究没解的东西。
我说,不是因为我们喜欢没解的,而是不知道如何解方程。
有解的这些定理在整个数论都是极其少见的。
如果不是显然的解,我们一般不知道该怎么证。
举个例子,157,模8余5,关于这个数是同余数的解非常复杂。
这可不是你在家里用计算器按一按就能捣鼓出来的。
Heegner早就知道它是同余数。
当然,算出来可完全不是这么简单。
下午田野老师会告诉你怎么找出这个解。
对于多个因子,其实也有很多定理。
看看下面的定理,注意,“李德琅—田野”是两个人啊,不是个日本人的名字(笑)
(冯克勤1996,李德琅-田野2000,赵春来2001)我们有存在无穷多个具有任意指定个数的奇数因子的非同余数。
此外,存在无穷多个具有任意指定个数的奇数素数因子的同余数。
今天,很荣幸,李德琅老师和赵春来老师都来了,请站起来(掌声),从某种意义讲,今天的报告就是对这些人的贡献的总结吧。
冯克勤老师原来是这个系的系主任。
冯老师对中国发展代数数论做出重要贡献。
我前几天和赵老师一同拜访了北京大学的前校长丁石孙先生,丁老师跟赵老师说的一些事情让我很感动。
1983年,丁老师把“椭圆曲线的算术”引入中国,他跟赵老师说“你们这一代人肯定没戏了,你的学生可能有戏”。
田野算是赵老师的学生,后来又和李老师合作。
这张照片是田野老师在做报告,照片中报告的内容就是今天下午他要讲的(笑)。
当然,要解决他们的工作,光用到欧几里得的东西是不够的。
要用到椭圆曲线。
下面要给出同余数的第三种刻画方式。
在椭圆曲线
En:
ny2=y3−x
找一个有理点(x,y),使得y非零。
这个东西称为椭圆曲线,我想很多在高中念书的同学一定说我写错了。
椭圆曲线不是二次的东西吗?
你怎么出现3次方?
其实我没有写错。
椭圆和椭圆曲线是两回事。
一个是椭圆曲线,一个是椭圆的曲线(笑)。
当然,西方人的语文也不是那么差,这两者还是有联系的。
椭圆和圆很接近,但是,学过微积分的同学都知道,椭圆的周长特别难求。
虽然椭圆的面积很容易求,但是,周长算的话会出现根号带三次的东西。
带平方总可以三角替换,但出现三次方就没戏。
从而就有了新的函数,我们把它叫做椭圆函数。
三角函数,我们知道正弦可以求余弦,因为余弦是正弦的导数。
椭圆函数也一样,P函数和它的导数的关系就是三次,椭圆函数满足的方程叫椭圆曲线。
我先简单解释下为啥和前面同余数的描述等价。
x=pq⇔(a,b,c)=(2pq,
p2−q2,
p2+q2)⇔γ=p2+q22
我现在要介绍椭圆曲线有啥妙的地方。
这连丢番图都知道,丢番图是代数之父,他是公元后200年的人。
他主要贡献是把欧几里得提到的算术问题拿出来重新研究,他研究了200多个方程,所以,大多数我们研究的方程他都知道。
丢番图知道这样一件事情,三次方程有个很妙的性质,任何线和三次方程相交,有三个点。
那你问有啥妙的。
妙就在于如果你知道两个点,我就做一条线,交出第三个点,换句话说,我知道两个点,我就知道第三个点。
还有更妙的,知道一个点,我做切线,得到第二个点。
换句话说,给我一个解,我就能找出更多的解。
这就是为什么你知道一个数是同余数,你可以造出无穷多个对应的有理三角形。
这个丢番图已经知道,但是庞加莱知道更多。
对于椭圆曲线的方程,一个大圈,一个小圈。
对于三次表达式,某些区间是正的,某些区间是负的,如果是正的,就可以开平方,一正一负,这就是圈的来历。
当然,如果你要考虑复点,就更有意思,这时候,解画不出来了,但是你要把复点粘起来,他是个车轮子。
就是两个圆环乘起来。
我在上面定义了一个运算,我想即使是丢番图也是有概念的——给定两个点P和Q,我就能交出S,再关于实轴反射,得到R,我得出P+Q=R,这是二次曲线所没有的。
我就给你一条线,二次曲线就交出两个点,没了。
所以,三次曲线比二次曲线有意思多了。
你们高中没有学三次曲线是重大损失(笑)。
下面考虑椭圆曲线的有理点。
下面是庞加莱1901年的猜想。
(Mordell1922)我们有设C/Q是椭圆曲线,则存在r非负,使得
C(Q)≃Zr⊕C(Q)tor
我关心的是,这么多有理点,有没有一些基本的?
叫做生成元。
我下面跳的比较快,不过,不用担心,我现在已经不再针对中学生了。
也不是大学生,是给研究生讲了。
当然,椭圆曲线对应的三次方程我没法解,但是,我可以先模2,模3去解。
对每个素数p
Np=#{y2=x3+ax+b
mod
p}
考虑误差
ap=p−Np
之所以叫误差,即使模p的时候基本是50%的概率,基本是,50%有解,一旦有解就是两个解,正的和负的,所以基本上有p个解,因此这个基本上代表误差。
实际上,可以证明
|ap|≤2p√
在此问题上,华罗庚先生也有贡献。
把这些项乘到一起,得到所谓的L-函数:
L(C,s)=∏p∤2△(1−app−s+p1−2s)−1
L-函数讲起来很别扭,但是展开后就是p-级数判别法出现的级数类似的对象。
这个级数当s的实部大于3/2收敛,当实部小于3/2的时候,它其实是有解析延拓的。
这是Wiles证明的,这可以推Fermat大定理,大家都说Wiles证明了Fermat大定理,其实他证的是这个。
现在要介绍100万奖金问题。
这个问题是说,刚才那个函数在s=1处有Taylor展开:
(BSD猜想)我们有L(C,s)在s=1处的Taylor展开为
L(C,s)=c(s−1)r+higher
order
terms
其中c≠0,r=C(Q)的秩。
特别地
L(C,1)=0⇔#C(Q)=∞
这个猜想有什么意义呢?
这个方程模p的解很容易求,从而L-函数理论上很容易构造。
因此,判别n是不是同余数,只需把对应椭圆曲线的L-函数算一算就行了。
下午,田野教授告诉你该怎么算,他有个更快,更有效的方法判断哪些数是同余数。
但是那个判别法要基于这样的猜想。
如果你证了这个猜想,你拿了100万,还顺便证明了同余数问题。
我记得丘先生说过,如果这个猜想被证明,肯定拿菲尔兹奖。
当然,是顺带拿菲尔兹奖,清华也会发给你100万,那你至少200万入户了(笑)。
当然,条件我忘了,北大的行不行,国外的行不行,不知道。
现在应用于同余数问题。
考虑把s变到2-s,那么L-函数会变号,符号为
ε(n)={1,−1,n≡1,2,3n≡5,6,7mod
8;
8.
按照符号的正负,可以给出自然数集合的拆分
N=S⊔T
前者的符号为正,后者的符号为负。
我们有如下猜想
我们有n∈S,则它是非同余数概率为1;
n∈T,则一定为同余数(不是概率为1,注意)
这是目前对于非同余数唯一可行的办法。
注意,100%是个很危险的概念。
100个人的100%就是所有,但是,无穷多个人的100%就不一定是所有人了。
此外,猜想当n落入T时,100%的同余数均由Heegner点给出,这也是田野要讲的。
下面简单介绍一下Heegner这个人。
知道费马的人横多,知道Heegner的人横少。
当然,不知道他是因为他不是个职业数学家,他是个无线电专家,他在二战阶段有6个专利。
他一辈子就写过两篇数学文章,第一篇是试图解决高斯类数1问题,这个问题是代数数论基本问题。
高斯算出9个虚二次域其类数为1,且证明这样的数域最多10个,但不知道第十个是否存在。
Heegner在做无线电的业余时间,就研究这个问题,这个文章证明了第十个不存在。
这个文章他发表的时候已经59岁了,这是非常了不起的。
可惜这个文章没有被整个数学界承认,直至多年后Stark和Baker给出新的证明。
后来Siegel发现,Heegner的证明是对的,且是构造性证明。
他52年发了这个文章,69年才被承认,这时他已经死了4年了。
他的故事对我来说意义有两个,第一个是我现在也是50岁,看到Heegner老先生还能证明这么厉害的东西,很受鼓舞;
另一点就是,如果你写的不好,死之前也没人承认。
由于他不是职业数学家,所以他写的东西非常之难看,我们请胥老先生把这篇文章翻译过来了,有兴趣的话可以看看当年Heegner是怎么算的。
我只介绍Heegner工作的要点。
Heegner解决了类数1问题,顺带解决了同余数问题。
只有到了Heegner,才具体证明了哪些数是同余数。
我们需要介绍模参数化,就类似于三角函数可以参数化单位圆一样。
Heegner需要构造
C:
y2=x3+ax+b
的解的主要工具是模函数。
这叫做双曲参数化。
其实,椭圆函数的参数化对于解决这样的问题没有帮助,对做拓扑等其他东西有帮助,对数论没啥帮助。
对于双曲度量,三角形内角和是小于180度的,所有的半圆都是测地线。
用双曲几何给出这样的参数化,我没办法具体去理解双曲参数化妙的地方。
我想通过一个例子,当然这时如果你有计算器更好,看看下面的表达式是什么东西:
eπ163√是整数吗?
事实上,算下来是这么个东西
eπ163√=262,
537,
412,
640,
768,
743.999
999
25...≈640,3203+744.
田野告诉我怎么记,陈景润从国外回来,国家答应给他做人大代表,他就提议加了一辆公共汽车,就是320,我做学生时刚有320,终点到中关村;
现在好像走的远一些了,以后让他们改回来(笑)。
那么,大体上,模函数的特点和三角函数有很大相似之处。
三角函数在2π的有理数倍取代数值,模函数在二次点上取代数值。
什么叫二次点呢,下面会讲到,比如j(z)是个标准模函数
j(q)=1q+744+196,884q+⋯.
其中,q=exp(2πi),那么
j(1+−163−−−−√2)=−6403203.
就是个很漂亮的数。
好吧,这是我最后一张胶片。
好的,谢谢大家(掌声)。
(提问)
问:
Heegner的方法用模函数解出参数方程和曲线的L-函数对应的模形式是否有关系?
张:
当然是有关系的,不过Heegner他老先生不懂L函数。
所以他愣是手算出来的,参数化都是手算出来的。
为什么要考虑椭圆曲线有理点?
因为有理点很好玩啊~~我在黑板上讲了半天很好玩,你觉得不好玩哈?
(笑)。
复点很简单。
此外,还有100万奖金。
如果给一个整数,考虑有限域的三角形,可解,那是否对原方程可解?
你的问题就是如果局部可解,那是否整体可解?
那不是,实际上,同余数基本都是局部可解。
Zagier算157的对应三角形的方法是否可以把您在黑板上写的几个秒杀了?
还有,为啥考虑157?
当然了,你要算出来我给你一万块钱,一千块钱都少了点(笑)。
为啥考虑157?
因为157是素数,并且我们已经知道是同余数,当然我们希望把它具体算出来。
【感谢张寿武教授允许我们转载此文。
汤涛教授校对并作了简单修改。
】