关于三角形的一个千年之谜Word格式.docx

1、这样的同余更多的是和谐的意思，这样的数很少，因为是平方数的等差序列。24是同余数。这是因为：52+24=725224=12从而6也是同余数，所以，考虑同余数，只要考虑没有平方因子的数即可。那问题来了，为什么从6开始，1,2,3,5是不是同余数？下面直接跳到500年以后了，是1220年，斐波那契的年代。斐波那契差不多是中世纪最聪明的数学家。他生活在意大利的比萨，大家都知道那里有一个斜塔，伽利略在那个地方把球给丢下去了。那个城市有两位名人，一个就是斐波那契，一个就是伽利略。比萨那边有个高等师范学院，是拿破伦占领意大利之后建的。学院旁边的铜像是斐波那契的。斐波那契的“波那契”是他爸爸的名字，斐波那契

2、基本是他爸爸的儿子的意思（笑），所以这个名字没有多少意义。斐波那契在当地是个非常有名的数学家，所以有一天国王的御前学者们胥嗚伟老师替我翻译的，翻译得很准，向他挑战找到一个有理数平方的等差数列，其公差为5，即x21x22=5=x22x23看看小朋友们能不能算出来？斐波那契证明了5和7都是同余数，你们有小学生证出来的我给你100块钱（笑），有没有小学生能算出来？或者中学生也行中学生不行我就推到大学生了。（人大附中某学生：5应该可以，29+20是7的平方，29减20是3的平方）啊，不错，一会记得向我要钱。啊？哦，不对，你算错了，你应该倒贴我100块钱（笑）。没办法是吧，再给你30秒钟时间，看看你是不

3、是比斐波那契更聪明一些。大学生有没有会的？研究生的？清华的学生会吗？你现在不会的原因是你没有找到计算它的办法，到了讲座的中间你会发现计算同余数的秘方。好了，我们来看一下：5:（4912）2（4112）2（3112）27:（463120）2（337120）2（113120）2这个显然有点困难了吧。短时间内要算到分子分母100以内，如果都能算完，说明你脑袋特别快。要算7就更了不得了。当斐波那契算完7之后，他猜想1,2,3都不是同余数，但不会证明。他的猜想，又过了400年之后，由杰出的数学家费马证明了。费马用的方法叫无穷下降法。下面到了所谓的秘方，同余数的问题一般叙述为，找一个面积为n的有理三角形。

4、10世纪的时候，这个问题被认为是有理三角形理论的一个主要课题。为什么呢，因为，今天我们学的几何和代数是源自2300年前欧几里得的几何原本。虽然无理数很早就被发现了，但是大家关心的还是有理的对象。有理三角形问题无非研究有理面积和三个有理边长。所以被认为是主要问题。通分之后，从而可考虑三边都是整数，当然，n不再是无平方因子了。下面我来解释一下从同余数的原来形式到三角形的形式的转换过程，如果事先有2+n=22n=2那么令a=,b=+,c=2从三角形到原文也是容易的，给定直角三角形边长a，b，c，令=c2则有2+n=（a+b2）2,2n=（ab2）2满足要求。所以现在有了更好的方式来理解同余数。我想说

5、，这个问题还没有被解决。对于5,6,7这三个同余数，5,7的表达式比6复杂很多，所以它们虽然很接近，却很难发现。费马是历史上非常伟大的数学家，精确的说是最伟大的业余数学家。但他的成就即使和专业数学家相比也是排在最前面的。他是普鲁斯的一个法官，由于法官的因素，他不能和普通人在一起，他要回避跟公众亲密的接触。所以他的生活比较孤独，一孤独就喜欢做数学（笑），所以他就花了很多时间研究数学。他研究数学，但是他不喜欢把过程写下来。他做出来以后，就寄给他的朋友，所以他几乎所有的数学都是在信件中。他一旦发现他证出了一个定理，他非常激动，告诉好朋友，“我找到一个极其妙的证明”（笑）然后大概描述他是怎么证的。有时

6、候他还要向其他人去挑战。费马生活在牛顿之前，在数学史的贡献是极大的。数学在欧几里得和费马之间几乎是个空白，费马基本是是徒手引入了近代数学的一些概念。我们现在微积分的求切向量，求斜率，求面积，甚至有一些变分法。要知道变分法是无穷维空间的微积分，但是即使这样，费马也做了。费马肯定有了坐标的想法而且他用了。费马和笛卡尔是同一个时代的人，他们是一辈子的对手（笑），相互都不喜欢对方，但是，从来没有见过面。笛卡尔是个很严肃的数学家，也是个哲学家，他当然不能容忍费马那样信口开河“这是对的”“这是错的”（笑）。牛顿写微积分的时候，谈到他的关于微积分的工作是费马的工作的延续。回到这个最聪明的办法，无穷递降法。这

7、个最聪明的办法只能证明否定性的结果。“不存在整数直角三角形，它的面积是平方数”，这是他的信里面写的很明确的一件事情。他是怎么证的呢？如果存在这样的三角形，则存在另一个整数直角三角形，它的面积也是一个平法数，且它比刚才那个三角形要更小一点。一直下去是不可能的；因为面积是整数，不能越来越小。他说他的的论述非常长，没有办法在信里面。我要引用的是20世纪最伟大的数学家之一Andrew Weil（韦伊），他也有很多故事，他是Bouraki（布尔巴基）的精神领袖。Weil写道“所幸，书页有一处空白，可以让费马写下他的想法。大家都知道费马最后定理，（翻译成费马大定理是错的），就是他写了这句话，让大家花了30

8、0年的时间才证明出来。费马怎样证明1不是同余数呢？从欧几里得的原本，element，更精确地翻译叫元素，因为element在古希腊意思不是princeple，而是组成的基本元素。就好比汉字的笔画，英文的字母一样，这是最基本的。这个书里面最高成就是我们中国人所谓的勾股定理，中国古代也有很多辉煌的数学成就，只不过秦始皇焚书坑儒，所以，我们不知道我们是否有更大贡献。当然，除了勾股定理，欧几里得还有著名的辗转相除法给出两个数，如何求公因子。从而，可以得到一个整数可以分解为素数的成绩。我们从小学到初中学的只是欧几里得著作的一部分。你可以想想，全世界，各种地区，各种文化，这些中小学生都在念这本书；我想，这

9、本书一定是所有教科书使用率最高的。我们可以把三边互素的直角三角形的三边用很简单的公式表示出来：a=2pqb=p2q2c=p2+q2这个公式告诉你怎么找整的直角三角形。基本是所有学初等数论的学生都要证明的第一个定理。我想说的是，这个公式，2300年前，欧几里得已经知道了。现在可以告诉你同余数的秘方了：n=pq（p+q）（pq）/要记得要把平方消掉。现在再来算算？（对刚才算错的学生说：你要是算对了，一百块钱就不扣了）技巧就是要保证，p，q大多数都是平方，否则你消不掉啊？对于5，取一个5，一个4，对不对？恭喜你，答对了！6是最简单的。7呢？取25和7是吗？啊，对的，不过，存在更小的p，q，16和9。

10、那个国王的御前学者们显然不知道这个公式。顺便提一下，斐波那契写了一本书，那本书第一次把阿拉伯数字引入了欧洲数学，以前欧洲还是用罗马数字。现在来看看费马是如何证明1不是同余数的。否则，有个有理三角形，面积为平方。对应的p，q均为平方。从而上式的四个因子均为平方。令p=x2,q=y2,p+q=u2,pq=v2从而2y2=u2v2故存在r，s，使得（u,v）=（r2+2s2,r22s2）因此得到了边长为（r2,2s2,x）的直角三角形，其面积（rs）2比原先的三角形更小。从而可使用无穷递降法。那么，这个并不难的证明为什么费马之前无人做到，用现在的话来说是心态问题，数学归纳法是往上走，但费马往下走。这

11、就是费马非常得意的地方。这个方法是数学归纳法的变形方式。但是，在心理上是个更大的挑战。要用费马无穷递降法，首先要给出一个度量，比如面积。下面考虑的是至今仍不知道的。我们看看同余数的分布问题，设n是个无平方因子的正整数。猜想我们有 1.如果n5,6,7（mod8），则n是同余数 2.如果n1,2,3（mod8），则n是同余数的概率为0。就是说，随便给个数，比如99，模8余3，那实在没时间算的话，那你就猜他不是同余数；有时间就算一下。实际上，对于猜想后部分，用随机矩阵理论还可以猜得更精细，这里我不想细讲了。大家看看23以内的同余数吧。（把同余数写在黑板上），如果大家能把对应三角形的边长写出来，我就

12、给大家钱，嗯，我把价钱写下来（笑）。对了，不能用电脑哦，必须用手算。你已经做出来了？哦，记得找我要钱啊。此外，领钱，年龄小优先啊有两个例外，34和41，这两个算出来，我给你200块钱。啊，还有219。对了，你要造出2个三角形。怪现象是如果模8余1,2,3的话恰好是同余数，那么恰好有两个本质不一样的解，它跟一般的不一样。219也是一样。回过头来，我考虑同余素数问题。刚才的公式，一个很大的问题是，即使很小的n，也可能需要很大的p，q来对应。有这样的定理。定理如果素数P（分别地，2p）满足p3（mod8）（分别地，p5（mod8），则它不是同余数。证明一个数是同余数比证明不是同余数难很多。数论学家发

13、现更愿意做的事情是证明方程无解。我有时候和其他数学家交流困难，那些做方程的数学家，他们的方程一般有解。他们很困惑，为什么数论学家喜欢研究没解的东西。我说，不是因为我们喜欢没解的，而是不知道如何解方程。有解的这些定理在整个数论都是极其少见的。如果不是显然的解，我们一般不知道该怎么证。举个例子，157，模8余5，关于这个数是同余数的解非常复杂。这可不是你在家里用计算器按一按就能捣鼓出来的。Heegner早就知道它是同余数。当然，算出来可完全不是这么简单。下午田野老师会告诉你怎么找出这个解。对于多个因子，其实也有很多定理。看看下面的定理，注意，“李德琅田野”是两个人啊，不是个日本人的名字（笑）（冯克

14、勤1996，李德琅-田野2000，赵春来2001）我们有存在无穷多个具有任意指定个数的奇数因子的非同余数。此外，存在无穷多个具有任意指定个数的奇数素数因子的同余数。今天，很荣幸，李德琅老师和赵春来老师都来了，请站起来（掌声），从某种意义讲，今天的报告就是对这些人的贡献的总结吧。冯克勤老师原来是这个系的系主任。冯老师对中国发展代数数论做出重要贡献。我前几天和赵老师一同拜访了北京大学的前校长丁石孙先生，丁老师跟赵老师说的一些事情让我很感动。1983年，丁老师把“椭圆曲线的算术”引入中国，他跟赵老师说“你们这一代人肯定没戏了，你的学生可能有戏”。田野算是赵老师的学生，后来又和李老师合作。这张照片是田

15、野老师在做报告，照片中报告的内容就是今天下午他要讲的（笑）。当然，要解决他们的工作，光用到欧几里得的东西是不够的。要用到椭圆曲线。下面要给出同余数的第三种刻画方式。在椭圆曲线En:ny2=y3x找一个有理点（x，y），使得y非零。这个东西称为椭圆曲线，我想很多在高中念书的同学一定说我写错了。椭圆曲线不是二次的东西吗？你怎么出现3次方？其实我没有写错。椭圆和椭圆曲线是两回事。一个是椭圆曲线，一个是椭圆的曲线（笑）。当然，西方人的语文也不是那么差，这两者还是有联系的。椭圆和圆很接近，但是，学过微积分的同学都知道，椭圆的周长特别难求。虽然椭圆的面积很容易求，但是，周长算的话会出现根号带三次的东西。带

16、平方总可以三角替换，但出现三次方就没戏。从而就有了新的函数，我们把它叫做椭圆函数。三角函数，我们知道正弦可以求余弦，因为余弦是正弦的导数。椭圆函数也一样，P函数和它的导数的关系就是三次，椭圆函数满足的方程叫椭圆曲线。我先简单解释下为啥和前面同余数的描述等价。x=pq（a,b,c）=（2pq,p2q2,p2+q2）=p2+q22我现在要介绍椭圆曲线有啥妙的地方。这连丢番图都知道，丢番图是代数之父，他是公元后200年的人。他主要贡献是把欧几里得提到的算术问题拿出来重新研究，他研究了200多个方程，所以，大多数我们研究的方程他都知道。丢番图知道这样一件事情，三次方程有个很妙的性质，任何线和三次方程相

17、交，有三个点。那你问有啥妙的。妙就在于如果你知道两个点，我就做一条线，交出第三个点，换句话说，我知道两个点，我就知道第三个点。还有更妙的，知道一个点，我做切线，得到第二个点。换句话说，给我一个解，我就能找出更多的解。这就是为什么你知道一个数是同余数，你可以造出无穷多个对应的有理三角形。这个丢番图已经知道，但是庞加莱知道更多。对于椭圆曲线的方程，一个大圈，一个小圈。对于三次表达式，某些区间是正的，某些区间是负的，如果是正的，就可以开平方，一正一负，这就是圈的来历。当然，如果你要考虑复点，就更有意思，这时候，解画不出来了，但是你要把复点粘起来，他是个车轮子。就是两个圆环乘起来。我在上面定义了一个运

18、算，我想即使是丢番图也是有概念的给定两个点P和Q，我就能交出S，再关于实轴反射，得到R,我得出P+Q=R,这是二次曲线所没有的。我就给你一条线，二次曲线就交出两个点，没了。所以，三次曲线比二次曲线有意思多了。你们高中没有学三次曲线是重大损失（笑）。下面考虑椭圆曲线的有理点。下面是庞加莱1901年的猜想。（Mordell 1922） 我们有设C/Q是椭圆曲线，则存在r非负，使得C（Q）ZrC（Q）tor我关心的是，这么多有理点，有没有一些基本的？叫做生成元。我下面跳的比较快，不过，不用担心，我现在已经不再针对中学生了。也不是大学生，是给研究生讲了。当然，椭圆曲线对应的三次方程我没法解，但是，我可

19、以先模2，模3去解。对每个素数pNp=#y2=x3+ax+bmodp考虑误差ap=pNp之所以叫误差，即使模p的时候基本是50%的概率，基本是，50%有解，一旦有解就是两个解，正的和负的，所以基本上有p个解，因此这个基本上代表误差。实际上，可以证明|ap|2p在此问题上，华罗庚先生也有贡献。把这些项乘到一起，得到所谓的L-函数：L（C,s）=p2（1apps+p12s）1L-函数讲起来很别扭，但是展开后就是p-级数判别法出现的级数类似的对象。这个级数当s的实部大于3/2收敛，当实部小于3/2的时候，它其实是有解析延拓的。这是Wiles证明的，这可以推Fermat大定理，大家都说Wiles证明了

20、Fermat大定理，其实他证的是这个。现在要介绍100万奖金问题。这个问题是说，刚才那个函数在s=1处有Taylor展开：（BSD猜想） 我们有L（C,s）在s=1处的Taylor展开为L（C,s）=c（s1）r+higherorderterms其中c0,r=C（Q）的秩。特别地L（C,1）=0#C（Q）=这个猜想有什么意义呢？这个方程模p的解很容易求，从而L-函数理论上很容易构造。因此，判别n是不是同余数，只需把对应椭圆曲线的L-函数算一算就行了。下午，田野教授告诉你该怎么算，他有个更快，更有效的方法判断哪些数是同余数。但是那个判别法要基于这样的猜想。如果你证了这个猜想，你拿了100万，还顺

21、便证明了同余数问题。我记得丘先生说过，如果这个猜想被证明，肯定拿菲尔兹奖。当然，是顺带拿菲尔兹奖，清华也会发给你100万，那你至少200万入户了（笑）。当然，条件我忘了，北大的行不行，国外的行不行，不知道。现在应用于同余数问题。考虑把s变到2-s，那么L-函数会变号，符号为（n）=1,1,n1,2,3n5,6,7mod8;8.按照符号的正负，可以给出自然数集合的拆分N=ST前者的符号为正，后者的符号为负。我们有如下猜想我们有nS，则它是非同余数概率为1；nT，则一定为同余数（不是概率为1，注意）这是目前对于非同余数唯一可行的办法。注意，100%是个很危险的概念。100个人的100%就是所有，但

22、是，无穷多个人的100%就不一定是所有人了。此外，猜想当n落入T时，100%的同余数均由Heegner点给出，这也是田野要讲的。下面简单介绍一下Heegner这个人。知道费马的人横多，知道Heegner的人横少。当然，不知道他是因为他不是个职业数学家，他是个无线电专家，他在二战阶段有6个专利。他一辈子就写过两篇数学文章，第一篇是试图解决高斯类数1问题，这个问题是代数数论基本问题。高斯算出9个虚二次域其类数为1，且证明这样的数域最多10个，但不知道第十个是否存在。Heegner在做无线电的业余时间，就研究这个问题，这个文章证明了第十个不存在。这个文章他发表的时候已经59岁了，这是非常了不起的。可

23、惜这个文章没有被整个数学界承认，直至多年后Stark和Baker给出新的证明。后来Siegel发现，Heegner的证明是对的，且是构造性证明。他52年发了这个文章，69年才被承认，这时他已经死了4年了。他的故事对我来说意义有两个，第一个是我现在也是50岁，看到Heegner老先生还能证明这么厉害的东西，很受鼓舞；另一点就是，如果你写的不好，死之前也没人承认。由于他不是职业数学家，所以他写的东西非常之难看，我们请胥老先生把这篇文章翻译过来了，有兴趣的话可以看看当年Heegner是怎么算的。我只介绍Heegner工作的要点。Heegner解决了类数1问题，顺带解决了同余数问题。只有到了Heegn

24、er，才具体证明了哪些数是同余数。我们需要介绍模参数化，就类似于三角函数可以参数化单位圆一样。Heegner需要构造C:y2=x3+ax+b的解的主要工具是模函数。这叫做双曲参数化。其实，椭圆函数的参数化对于解决这样的问题没有帮助，对做拓扑等其他东西有帮助，对数论没啥帮助。对于双曲度量，三角形内角和是小于180度的，所有的半圆都是测地线。用双曲几何给出这样的参数化，我没办法具体去理解双曲参数化妙的地方。我想通过一个例子，当然这时如果你有计算器更好，看看下面的表达式是什么东西：e163是整数吗？事实上，算下来是这么个东西e163=262,537,412,640,768,743.99999925.

25、640,3203+744.田野告诉我怎么记，陈景润从国外回来，国家答应给他做人大代表，他就提议加了一辆公共汽车，就是320，我做学生时刚有320，终点到中关村；现在好像走的远一些了，以后让他们改回来（笑）。那么，大体上，模函数的特点和三角函数有很大相似之处。三角函数在2的有理数倍取代数值，模函数在二次点上取代数值。什么叫二次点呢，下面会讲到，比如j（z）是个标准模函数j（q）=1q+744+196,884q+.其中，q=exp（2i），那么j（1+1632）=6403203.就是个很漂亮的数。好吧，这是我最后一张胶片。好的，谢谢大家（掌声）。（提问）问：Heegner的方法用模函数解出参数方程

26、和曲线的L-函数对应的模形式是否有关系？张：当然是有关系的，不过Heegner他老先生不懂L函数。所以他愣是手算出来的，参数化都是手算出来的。为什么要考虑椭圆曲线有理点？因为有理点很好玩啊我在黑板上讲了半天很好玩，你觉得不好玩哈？（笑）。复点很简单。此外，还有100万奖金。如果给一个整数，考虑有限域的三角形，可解，那是否对原方程可解？你的问题就是如果局部可解，那是否整体可解？那不是，实际上，同余数基本都是局部可解。Zagier算157的对应三角形的方法是否可以把您在黑板上写的几个秒杀了？还有，为啥考虑157？当然了，你要算出来我给你一万块钱，一千块钱都少了点（笑）。为啥考虑157？因为157是素数，并且我们已经知道是同余数，当然我们希望把它具体算出来。【感谢张寿武教授允许我们转载此文。汤涛教授校对并作了简单修改。】