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分式值为零的条件:
分子为零,分母不为零
数与式
aamaam
分式分式的性质:
;
(通分与约分的根据)
通分、约分,加、减、乘、除
分式的运算先化简再求值(整式与分式的通分、符号变化)
化简求值
整体代换求值
式子a(a≥0)叫二次根式.二次根式的意义即被开方数大于等于0.
二次根式的性质:
2
a;
2a(a
0)
a(a
最简二次根式(分解质因数法化简)
二次根式二次根式的相关概念同类二次根式及合并同类二次根式
分母有理化(“单项式与多项式”型)
加减法:
先化最简,再合并同类二次根式
二次根式的运算乘除法:
a;
(结果化简)
ab
ab;
(与整式乘法过程相反,分解要彻底)
提取公因式法:
(注意系数与相同字母,要提彻底)
2
(a
b)(ab)
分解因式
公式法
方法
2ab
b(a
b)
十字相乘法:
(ab)x
ab
(x
a)(x
x
分组分解法:
(对称分组与不对称分组)
第二部分《方程与不等式》知识点
定义与解:
一元一次方程解法步骤:
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
应用:
确定类型、找出关键量、数量关系
解法:
代入消元法、加减消元法
二元一次方程(组)
方程简单的三元一次方程组:
简单的二元二次方程组:
定义与判别式(△=b2-4ac)
一元二次方程
直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法.
定义与根(增根):
分式方程
去分母化为整式方程,解整式方程,验根.
1.行程问题:
2.工程(效)问题:
3.增长率问题:
(增长率与负增长率)
4.数字问题:
(数位变化)
类型
5.图形问题:
(周长与面积(等积变换))
方程与不等式
方程的应用6.销售问题:
(利润与利率)
7.储蓄问题:
(利息、本息和、利息税)
8.分配与方案问题:
1.线段图示法:
常用方法2.列表法:
3.直观模型法:
一般不等式解法
一元一次不等式
条件不等式解法
(借助数轴)
不等式(组)
1.不等式与不等式
2.不等式与方程
一元一次不等式组
应用3.不等式与函数
4.最佳方案问题
5.最后一个分配问题
第三部分《函数与图象》知识点
①各象限内点的特点:
x轴:
纵坐标y=0;
②坐标轴上点的特点
y轴:
横坐标x=0.
③平行于x轴,y轴的线段长度的求法(大坐标减小坐标)
直角坐标系
④不共线的几点围成的多边形的面积求法(割补法)
关于x轴对称(x相同,y相反)
⑤对称点的坐标关于y轴对称(x相反,y相同)
关于原点O对称(x,y都相反)
一、三象限角平分线:
y=x
函数表达式
正比例函数:
y=kx(k≠0)(一点求解析式)
二、四象限角平分线:
y=-x
一次函数
一次函数:
y=kx+b(k≠0)(两点求解析式)
增减性:
y=kx与y=kx+b增减性一样,k>0时,x增大y增大;
k<0,x增大y减小.
平移性:
y=kx+b可由y=kx上下平移而来;
若y=k1x+b1与y=k2x+b2平行,则k1k2,b1≠b2.
垂直性:
若y=k1x+b1与y=k2x+b2垂直,则k1gk21.
求交点:
(联立函数表达式解方程组)
正负性:
观察图像y>0与y<0时,x的取值范围(图像在x轴上方或下方时,x的取值范围)
表达式:
yk(k≠0)(一点求解析式)
①区域性:
k>0时,图像在一、三象限;
k<0时,图像在二、四象限.
k>0在每个象限内,y随x的增大而减小;
②增减性
反比例函数性质k<0在每个象限内,y随x的增大而减小.
③恒值性:
(图形面积与k值有关)
④对称性:
既是轴对称图形,又是中心对称图形.
函数
(联立函数表达式解方程组求交点坐标,还可由图像比较函数的大小)
①一般式:
=2
bx
c,
其中
0),
yax
表达式②顶点式:
=
k)
h,
(k,h)为抛物线顶点坐标;
ya(x
③交点式:
1
),
,1、2是函数图象与轴交点的横坐标;
x)(xx
(a0)xx
①开口方向与大小:
a>0向上,a<0向下;
a越大,开口越小;
a越小,开口越小.
②对称性:
对称轴直线x=-
2a
>,在对称轴左侧,
增大减小;
在对称轴右侧,增大
增大;
③增减性a
y
性质
<,在对称轴左侧,
增大增大;
减小;
二次函数
4ac
b2
④顶点坐标:
(-
4a
⑤最值:
当a>0时,x=-b,y最小值=4acb2
;
a<0时,x=-b,y最大值=4acb2
.
示意图:
画示意图五要素(开口方向、顶点、对称轴、与、交点坐标)
xy
与:
开口方向确定a的符号,抛物线与y轴交点纵坐标确定c的值;
c
的符号:
b的符号由a与对称轴位置有关:
左同右异.
符号判断
=
:
>0与x轴有两个交点;
=0与x轴有两个交点;
<0与x轴无交点
b4ac
abc:
当x=1时,y=a+b+c的值.abc:
当x=-1时,y=a-b+c的值.
①求函数表达式:
函数应用②求交点坐标:
③求围成的图形的面积(巧设坐标):
④比较函数的大小.
第四部分《图形与几何》知识要点
直线:
两点确定一条直线
线射线:
线段:
两点之间线段最短,(点到直线的距离,平行线间的距离)
角的分类:
锐角、直角、钝角、平角、周角.
角的度量与比较:
10
”’
”
60,1
60;
角
余角与补角的性质:
同角的余角(补角)相等,等角的余角(补角)相等,角的位置关系:
同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角
对顶角:
对顶角相等.
几何初步相交线
垂线:
定义,垂直的判定,垂线段最短.
在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线
平行线性质:
两直线平行,同位角相等、内错角相等、同旁内角互补;
同位角相等或内错角相等或同旁内角互补,两直线平行
判定:
平行于同一条直线的两条直线平行
平面内,垂直于同一条直线的两直线平行
在tABC中,sin
=的对边,cos
=的邻边,tan
=的对边
R
斜边
的邻边
sin0
1,
3
3;
30
cos30
tan30
三角函数特殊三角函数值sin450
2,
cos45
tan45
sin60
3,
3.
cos60
要构造Rt△,才能使用三角函数.
按边分类:
不等边三角形、等腰三角形、等边三角形
按角分类:
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
三边关系:
两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
边1
面积与周长:
C=a+b=c,S=底高.
三角形的内角和等于180度,外角和等于360度;
角三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和;
三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.
一般三角形
三角形
等腰三角形
直角三角形
全等三角形
中线:
一条中线平分三角形的面积
性质:
角平分线上的点到角两边的距离相等;
角平分线判定:
到角两边的距离相等的点在角的平分线上.
内心:
三角形三条角平分线的交点,到三边距离相等.线段高:
高的作法及高的位置(可以在三角形的内部、边上、外部)
中位线:
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;
中垂线判定:
到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.
外心:
三角形三边垂直平分线的交点,到三个顶点的距离相等
等腰三角形的两腰相等、两底角相等,具有三线合一性质,是轴对称图.形
等边三角形的三边上均有三线合一,三边相等,三角形等都60为度.
有两边相等的三角形是等腰三角形;
有两角相等的三角形是等腰三角形;
判定
有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形;
有两个角是60度的三角形是等边三角形.
一个角是直角或两个锐角互余;
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
直角三角形中,300的锐角所对的直角边等于斜边的一半;
勾股定理:
两直角边的平方和等于斜边的平方.
证一个角是直角或两个角互余;
判定有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形;
勾股定理的逆定理:
若a2+b2=c2,则∠C900.
全等三角形的对应边相等,对应角相等,周长、面积也相等;
全等三角形对应线段(角平分线、中线、高、中位线等)相.等判定:
ASA,SAS,AAS,SSS,HL.
多边形:
多边形的内角和为(n-2)1800,外角和为3600.
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.
直角梯形
两腰相等、对角线相等,同一底上的两角相等.
梯形
特殊梯形两腰相等的梯形是等腰梯形;
等腰梯形
判定对角线相等的梯形是等腰梯形;
同一底上的两角相等的梯形是等腰梯形;
两组对边分别平行且相等
平行四边形的两组对角分别相等
两条对角线互相平分
两组对边分别平行
平行四边形
一组对边平行且相等
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等
对角线互相平分
共性:
具有平行四边形的所有性质.
个性:
对角线相等,四个角都是直角.
四边形
矩形先证平行四边形,再证有一个直角;
判定先证平行四边形,再证对角线相等;
三个角是直角的四边形是矩形.
对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角,四条边相等.
菱形先证平行四边形,再证对角线互相垂直;
判定先证平行四边形,再证一组邻边相等;
四条边都相等的四边形是菱形.
具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
正方形
证平行四边形
矩形
菱形
下底)高=中位线
高
梯形:
S=(上底
平行四边形:
底高
S=
面积求法
矩形:
S长宽
菱形:
S=底高=对角线乘积的一半
正方形:
S边长边长=对角线乘积的一半
点在圆外:
d>r
点与圆的三种位置关系点在圆上:
d=r
点在圆内:
d<r
弓形计算:
(弦、弦心距、半径、拱高)之间的关系
圆的轴对称性定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧垂径定理
推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分线所对的弧
在同圆或等圆中,两条弧、两条弦、两个圆心角、两个圆周角、五组量的关系:
两条弦心距中有一组量相等,则其余的各组两也分相别等.
同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半;
圆的中心对称性圆周角与圆心角半圆(或直径)所对的圆周角是900;
相交线定理:
圆中两弦、相交于点,则
g
ABCDPPAPA
PCPD.
圆中两条平行弦所夹的弧相等
相离:
直线和圆的三种位置关系相切:
d=r(距离法)
圆
相交:
圆的切线垂直于过切点的直径(或半径)
圆的切线
直线和圆的位置关系
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切.线
弦切角:
弦切角等于它所夹的弧对的圆周角切线长定理:
如图,PA=PB,PO平分∠APB
切割线定理:
如图,2
PCPDg.
PA
外心与内心:
P
外离(d>R+r),内含(d<R-r)
圆和圆的位置关系相切:
外切(d=R+r),内切(d=R-r)
R-r<d<R+r)
A
.O
CD
B
弧长公式:
l弧长
2r
r
360
180
扇形面积公式:
S
l弧长r
圆的有关计算
圆锥的侧面积:
rl
rl(r
为底面圆的半径,为母线)
S侧
l
圆锥的全面积:
rl
S全
第五部分《图形的变化》知识点
①轴对称指两个图形之间的关系,它们全等
轴对称(折叠)②对应点的连线段被对称轴垂直平分
③对应线段所在的直线相交于对称轴上一点(或平行)
轴对称
④图形折叠后常用勾股定理求线段长
①指一个图形
轴对称图形
②轴对称图形被对称轴分成的两部分全等
①平移前后两个图形全等
平移②平移前后对应点的连线段相等且平行(或共线)③平移前后的对应角相等,对应线段相等且平行(或共线)④平移的两个要素:
平移方向、平移距离①旋转前后的两个图形全等
旋转②旋转前后对应点与旋转中心的连线段相等,且它们的夹角等于旋转角
③旋转前后对应角相等,对应线段相等
④旋转的三要素:
旋转中心、旋转方向、旋转角
视图的画法①大小、比例要适中
②实线、虚线要画清
平行投影:
平行光线下的投影,物体平行影子平行或共线
视图与投影
中心投影:
点光源射出的光线下的投影,影子不平行
投影
视点、视线、盲区
投影的计算:
画好图形,相似三角形性质的应用
ad
bc
图形的变化
基本性质:
d
cd
比例的性质合比性质:
...m
,(条件
≠
等比性质:
...
k
d...n0)
...n
黄金分割:
线段AB被点C分成AC、BC两线段(AC>BC),满足AC2=BCgAB,则点C为AB的一个黄金分割点
相似多边形的对应边成比例、对应角相等
相似多边形
全部的对应边成比例、对应角相等
①对应角相等、对应边成比例
性质②对应线段(中线、高、角平分线、周长)的比等于相似比
相似形
③面积的比等于相似比的平方
①有两个角相等的两个三角形相似
相似图形
相似三角形判定②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
③三边对应成比例的两个三角形相似
④有一条直角边与斜边对应成比例的两个直角三角形相似
射影定理:
在Rt△ABC中,∠C900,CD⊥AB,则AC2=ADAB,
BC2=BDAB,CD2=ADBD(如图)
C
①位似图形是一种特殊的相似图形,具有相似图形的一切性质位似图形②位似图形对应点所确定的直线过位似中心
③通过位似可以将图形放大或缩小
D
第六部分《统计与概率》知识要点
普查:
总体与个体(研究对象中心词)
两查
抽样调查:
样本与容量(无单位的数量)
折线图(发展趋势与波动性横纵轴坐标单位长度要统一)
三图条形图(纵坐标起点为零高度之比等于频数或频率之比)
扇形图(知道各量的百分比可用加权平均数求平均值)
算术平均数
平均数参照平均数
加权平均数
三数
众数(可能不止一个)
中位数(排序、定位)
方差:
s2
(xx1)2(xx2)2L(xxn)2
统计与概率
(一组数据整体被扩大n倍,平均数扩大n倍,方差扩大n2倍);
三差(一组数据整体被增加m,平均数增加m,方差不变)
标准差:
方差的算术平方根s
事件
两率
极差:
最大数与最小数之差
(方差与标准差均衡量数据的波动性,方差越小波动越小)
必然事件:
(概率为1)
确定事件
不可能事件:
(概率为0)
不确定事件:
(概率在0与1之间)
频率:
(试验值,多次试验后频率会接近理论概率)
比例法(数量之比、面积之比等)
概率:
求法列表法(返回与不返回的两步实验求概率)
树状图(返回与不返回的两步或两步以上的试验求概率)
初中数学常考知识点
I、代数部分:
一、数与式:
1、实数:
1)实数的有关概念;
常考点:
倒数、相反数、绝
对值(选择第1题)
2)科学记数法表示一个数(选择题第二题)
3)实数的运算法则:
混合运算(计算题)
4)实数非负性应用:
代数式求值(选择、填空)
2、代数式:
代数式化简求值(解答题)
3、整式:
1)整式的概念和简单运算、化简求值(解答题)
2)利用提公因式法、公式法进行因式分解(选择填空必考题)
4、分式:
化简求值、计算(解答题)、分式求取值范围(一般为填空题)(易错
点:
分母不为0)
5、二次根式:
求取值范围、化简运算(填空、解答题)
二、方程与不等式:
1、解分式方程(易错点:
注意验根)、一元二次方程(常考解答题)
2、解不等式、解集的数轴表示、解不等式组解集(常考解答题)
3、解方程组、列方程(组)解应用题(若为分式方程仍勿忘检验)
(必考解答
题)
4、一元二次方程根的判别式
三、函数及其图像
1、平面直角坐标系与函数
1)函数自变量取值范围,并会求函数值;
2)坐标系内点的特征;
3)能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析
(选择8题)
2、一次函数(解答题)
1)理解正比例函数、一次函数的意义、会画图像
2)理解一次函数的性质
3)会求解析式、与坐标轴交点、求与其他函数交点
4)解决实际问题
3、反比例函数(解答题)
1)反比例函数的图像、意义、性质(两支,中心对称性、分类讨论)
2)求解析式,与其他函数的交点、解决有关问题(如取值范围、面积问题)
4、二次函数(必考解答题)
1)图像、性质(开口、对称性、顶点坐标、对称轴、与坐标轴交点等)
2)解析式的求解、与一元二次方程综合(根与交点、判别式)
3)解决实际问题
4)与其他函数综合应用、求交点
5)与特殊几何图形综合、动点问题(解答题)
II、空间与图形
一、图形的认识
1、立体图形、视图和展开图(选择题)
1)几何体的三视图,几何体原型相互推倒
2)几何体的展开图,立体模型相互推倒
2、线段、射线、直线(解答题)
1)垂直平分线、线段中点性质及应用
2)结合图形判断、证明线段之间的等量、和差、大小关系