届中考数学专题复习训练二次函数专题131二次函数综合之角度相等45角二倍角.docx
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届中考数学专题复习训练二次函数专题131二次函数综合之角度相等45角二倍角
二次函数角度问题
（角相等，45。
角，二倍角）
【经典例题1——角度相等】通过平行线，等腰等角，相似求解
抛物线＞=αr2+c与X轴交于A、B两点，顶点为C,点P为抛物线上，且位于X轴下方.
（1）如图1,若P（l,一3）、3（4,0）,
1求该抛物线的解析式；
2若D是抛物线上一点，满足ZDPo=ZPOB,求点D的坐标;
【解析】
（1）①将P（l,-3）,B（4,0）代入y=αr2+c,得J16r/+c=0a+c=-3
・・・抛物线的解析式为Y=-X2--:
②如图1,
当点D在OP左侧时，
IIlZDPO=ZPOB,得DP〃OB,
・・・D与P关于y轴对称，且P（l,-3）,
ΛD（-1,-3）；
当点D在OP右侧时，延长PD交X轴于点G.作PH丄OB于点H,贝IJOH=I,PH=3.
VZDPO=ZPOB,
ΛPG=OG.
15OG=x,贝∣JPG=λ-,HG=λ-1.
在Rt∆PGH中，由x2=（χ-l）2+32,得λ-5.・・・点G（5,0）.
315
•••直线PG的解析式为y=-A--,
44
VP（1,-3）,
••I字晋•
•••点D的坐标为（-1,一3）或（1L
416
【经典例题变式】如图，已知抛物线y=αv2+加+c（"≠0）与λ∙轴交于A（l,0）、B（4,
0）两点，与y轴交于C（0,2）,连接AC、BC.
（1）求抛物线解析式；
（2）BC的垂直平分线交抛物线于D.E两点，求直线DE的解析式;
（3）⑶若点P在抛物线的对称轴上，且ZCPB=ZCAB,求出所有满足条件的P点坐
故这个抛物线的解析式为y=-A-2--A+2.
22
（2）解法一：
如图1,设BC的垂直平分线DE交BC于M,交X轴于N,连接CN,过点M作MF丄X轴于F.
Λ∆BMF^∆BCO,
.MFBFBMl
''~cδ~~BO~~BC~2'
VB（4,0）,C（0,2）,.∙.CO=2,BO=4,
.∙.MF=1,BF=2,
ΛM（2,1）...（5分）
•・•MN是BC的垂直平分线，
ACN=BN,
15ON=x,WIJCN=BN=4-λ∙,
在Rt∆OCN中，CN2=OC2+ON2,
.・.（4-x）2=22+λ2,
3
解得：
*二，
2
3
/.N（-,0）•
2
直线DE的解析式为y=2x-3.解法二：
如图2,设BC的垂直平分线DE交BC于M,交X轴于N,连接CN,过点C作CF∕∕x轴交DE于F.
•・•MN是BC的垂直平分线，ΛCN=BN,CM=BM.
15ON=x,则CN=BN=4*在Rt∆OCN中，CN2=OC2+ON2,/.（4-x）2=22+λ2,
3解得：
*二，
2
335
ΛN（-,O）∙ΛBN=4--=-.
222
TCF〃尤轴，ΛZCFM=ZBNM.VZCMF=ZBMN,ΛΔCMF^ΔBMN.
ΛCF=BN・AF（-,2）•
2
•••直线DE的解析式为y=2x-3.
⑶由⑴得抛物线解析式为+討2,
・•・它的对称轴为直线A-=-.
2
1如图3,设直线DE交抛物线对称轴于点G,则点G（-,2）,
2
以G为圆心，GA长为半径画圆交对称轴于点Pi,
贝IJZCPlB=ZCAB∙GA=-,
2
・•・点Pl的坐标为（-,--）.
22
2如图4,由
（2）得：
BN=-,ΛBN=BG,
"2
••・G、N关于直线BC对称.
・•・以N为圆心，NB长为半径的N与G关于直线BC对称.
N交抛物线对称轴于点P?
则ZCP2B=ZCAB.
53
设对称轴与X轴交于点H,则NH=---=L
22
/.HP2=-,・・・点P2的坐标为（？
，—）.
222
综上所述，当P点的坐标为（-,--）或（2,琴）时，ZCPB=ZCAB.
2222
【经典例题变式】如图①，抛物线y=∕+（α+l）χρ与X轴交于A,B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C.已知AABC的面积是6.
（1）求G的值；
（2）在AABC内是否存在一点M,使得点M到点A.点B和点C的距离相等，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到X轴的距离为d,∆QPB的面积为2d,且ZPAQ=ZAQB,求点Q的坐标。
【解析】（I）T尸~%2+（α+l）χρ令y=0,即-Xl+（a+1）x-t∕=0
解得Xl=α,X2=l
由图象知：
Xo.∙.A（α,0）,B（l,0）VSAABC=6
丄（IP）（P）=6
2
解得：
α=-3,（α=4舍去）;
（2）如图①，∙.∙A（7,0）,C（0,3）,
ΛOA=OC,
・•・线段AC的垂直平分线过原点，・•・线段AC的垂直平分线解析式为：
y=n∙,
Y由A（£,O）,B（l,0）,
・・・线段AB的垂直平分线为X=T
将x=-l代入y=-χf
解得：
y=l
Λ∆ABC外接圆圆心的坐标（-1,1）
（3）如图②，作PM丄X轴交X轴于M,则SABAP=-ABpM=1×4d22
*∙*SAPQB=SAPAB
・・・A、Q到PB的距离相等，
ΛAQ/7PB
设直线PB解析式为：
y=x+b
•・•直线经过点B（L0）
所以：
直线PB的解析式为ynT联立y二/-2x+3；y=Λ-l.
解得：
x=7：
y=-5.
・•・点P坐标为（T,-5）XVZPAQ=ZAQB,
AZBPA=ZPBQ,AAP=QB,
在APBQ与ZkBPA中，
AP=QB,ZBPA=ZPBQ,PB=BP,.∙.ΔPBQ^∆ABP（SAS）,・•・PQ=AB=4
设Q（In,m+3）由PQ=4得：
（m-l4）2+（m+3+5）2=42
解得：
m=T,m=-8（当m=-8时，ZPAQ≠ZAQB,故应舍去）・・・Q坐标为（Y,-1）.
练习1・1如下图，已知抛物线y=cιx1+bx+5经过A（-5,O）,B（-4,-3）两点，与X轴的另一个交点为C,顶点为D,连接CD.
（1）求该抛物线的表达式.
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B,C不重合），设点P的横坐标为（.该抛物线上是否存在点P，使得ZPBC=ZBCD?
若存在，求出所有点P的坐标；
练习1・2・如图，抛物线y=ax1+bx+6与X轴交于点/（・2,0）、点B（6,0）,与Iy轴交于点C.
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点D（4,Jfl）在抛物线上，连接BC、BD.试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足二PBCeDBC2如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
练习1-3.（2019泰安）若二次函数y=ax2+bx+c的图象与X轴、y轴分别交于点A（3,0）、3（0,-2）,且过点C（2,-2）.
（1）求二次函数解析式；
（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S求点P的坐标；
（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M,使ZABO=ZABM?
若存在，求出点M到）,轴的距离；若不存在，请说明理由.
练习14抛物线y=-F+2x+3与X轴交于点A,B（A在B的左侧），与y轴交于点C.
（1）求直线BC的解析式；
（2）抛物线的对称轴上存在点P,使匚APB=LABC,利用图1求点P的坐标；
（3）点Q在y轴右侧的抛物线上，利用图2比较JOCQ与匚OCA的大小，并说明理由•
4
练习1・5如图
（1）,直线y=-yx+n交X轴于点A,交y轴于点C（0,4）,抛物线
9
y=-χ2+bx+c经过点A,交y轴于点B（0,-2）•点P为抛物线上一个动点，过点P
作X轴的垂线PD,过点B作BD±PD于点D,连接PB,设点P的横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当厶BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
（3）如图
（2）,将ABDP绕点B逆时针旋转，得到ABDP,当旋转角
ZPBPjZoAC,且点P的对应点卩落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标。
（1）如图1所示，当直线AB与X轴平行，ZAOB=90°,且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积.
（2）如图2所示，在
（1）所求得的抛物线上，当直线AB与X轴不平行，ZAOB仍为90。
时，A.B两点的横坐标的乘积是否为常数？
如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
（3）在
（2）的条件下，若直线y=-2x-2分别交直线AB,y轴于点P、C,直线AB交y轴于点D且ZBPC=ZOCP,求点P的坐标.
【经典例题2—45。
角】（2019资阳）如图，抛物线y=--x2+bx+cχt点A（3,2）,
2
7
且与直线）=-x+f交于B.C两点，点B的坐标为（4,加）・
2
（I）求抛物线的解析式；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q,使ZAQM=45°?
若存
在，求点Q的坐标;
【解析】
练习2・1如图，直线y=6∙+2与X轴交于点A（3,0）,与y轴交于点B,抛物线y=-上F+bx+c经过点A,B.
（1）求k的值和抛物线的解析式；
（2）M（m,0）为λ∙轴上一动点，过点M且垂直于兀轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N.
1若ABNP是直角三角形，求加的值.
2连接BN,当ZPBN=45。
时，求加的值.（两直线垂直，k值积为-1）
练习2-2如图，抛物线y=αr+^v+3交x轴于A（-1,0）和B（5,0）,交y轴于点C,点D是线段OB上一动点,连接CD,将CD绕点D顺时针旋转90。
得到线段DE,过点E作直线/丄X轴，垂足为H,过点C作CF丄/于F,连接DF,CE交于点G.
⑴求抛物线解析式；
（2）求线段DF的长；
SB
⑶当DG=害时，①求IanZCGD的值；
②试探究在兀轴上方的抛物线上，是否存在点P,使ZEDP=45°?
若存在，请写出
练习2・3如图，抛物线y=ax1+bx+c与X轴交于点A（-l,0）,BC?
0）两点，与y轴交于点C（0,3）.
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P为抛物线对称轴上一点，当ZAPC=45°时，求点P的坐标；
（3）已知点Q（0,1）,M是抛物线上一动点，是否存在点M使得ZMBQ=45°?
若存在，请写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
练习2・4如图，直线y=ΛM与λ-轴、y轴分别交于A.B两点，抛物线y=-^+bx+c
3
经过A.B两点，与X轴的另一个交点为C,连接BC.
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）点Nl在抛物线上，连接MB,当ZMBA+ZCBO=45o时，求点M的坐标；
在求二倍角的问题中，先根据等腰三角形和外角定理构造二倍角，再利用三角函数（一般用正切）计算。
【经典例题3-二倍角】（2019咸宇改编）如图，在平面直角坐标系中，直线-∣x+2与X轴交于点A,与）,轴交于点B,抛物线y=~γ2+bx+c经过A,B两点且与X轴的负半轴交于点C.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若
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