届中考数学专题复习训练二次函数专题131二次函数综合之角度相等45角二倍角.docx

1、届中考数学专题复习训练二次函数专题131二次函数综合之角度相等45角二倍角二次函数角度问题(角相等，45。角，二倍角)【经典例题1角度相等】通过平行线，等腰等角，相似求解抛物线=r2+c与X轴交于A、B两点，顶点为C,点P为抛物线上，且位于X 轴下方.(1)如图 1,若 P(l, 一3)、3(4, 0),1求该抛物线的解析式；2若D是抛物线上一点，满足ZDPo=ZPOB,求点D的坐标;【解析】(1)将 P(l, -3), B(4, 0)代入 y=r2+c,得J16r/ + c = 0 a+ c =-3抛物线的解析式为Y=-X2-:如图1,当点D在OP左侧时，IIlZDPO= ZPOB,得 DP

2、OB,D与P关于y轴对称，且P(l, -3),D(-1, -3)；当点D在OP右侧时，延长PD交X轴于点G. 作 PH丄OB 于点 H,贝IJ OH=I, PH=3.VZDPO= Z POB, PG=OG.15 OG=x,贝J PG=-, HG=-1 .在 Rt PGH 中，由 x2=(-l)2+32,得 -5. 点G(5, 0).315直线PG的解析式为y=-A-,44VP(1, -3),I字晋点D的坐标为(-1, 一3)或(1L4 16【经典例题变式】如图，已知抛物线y=v2+加+c(0)与轴交于A(l, 0)、B(4,0)两点，与y轴交于C(0, 2),连接AC、BC.(1)求抛物线解析

3、式；(2)BC的垂直平分线交抛物线于D. E两点，求直线DE的解析式;(3)若点P在抛物线的对称轴上，且ZCPB=ZCAB,求出所有满足条件的P点坐故这个抛物线的解析式为y=-A-2-A+2.2 2(2)解法一：如图1,设BC的垂直平分线DE交BC于M,交X轴于N,连接CN,过点M 作MF丄X轴于F.BMFBCO,.MF BF BM lcBOBC2VB (4, 0) , C (0, 2), .CO=2, BO=4,.MF=1, BF=2,M (2, 1) . (5 分) MN是BC的垂直平分线，ACN=BN,15 ON=x, WIJ CN=BN=4-,在 Rt OCN 中，CN2=OC2+ON

4、2,.(4-x) 2=22+2,3解得：*二，23/.N (-, 0) 2直线DE的解析式为y=2x-3. 解法二： 如图2,设BC的垂直平分线DE交BC于M,交X轴于N,连接CN,过点C 作CFx轴交DE于F. MN是BC的垂直平分线， CN=BN, CM=BM.15 ON=x,则 CN=BN=4* 在 Rt OCN 中，CN2=OC2+ON2, /. (4-x) 2=22+2,3 解得：*二，23 3 5N (-, O) BN=4- = -.2 2 2TCF尤轴，ZCFM=ZBNM. VZCMF=ZBMN, CMFBMN.CF=BN AF (-, 2) 2直线DE的解析式为y=2x-3.由

5、得抛物线解析式为+討2,它的对称轴为直线A-=-.21如图3,设直线DE交抛物线对称轴于点G,则点G (-, 2),2以G为圆心，GA长为半径画圆交对称轴于点Pi,贝IJ ZCPlB=ZCAB GA=-,2点Pl的坐标为(-,-).2 22如图 4,由(2)得：BN=-, BN=BG, 2G、N关于直线BC对称.以N为圆心，NB长为半径的N与G关于直线BC对称.N交抛物线对称轴于点P?,则ZCP2B=ZCAB.53设对称轴与X轴交于点H,则NH=-=L2 2/.HP2=-,点P2的坐标为(？，).2 2 2综上所述，当P点的坐标为(-,-)或(2, 琴)时，ZCPB=ZCAB.2 2 2 2【

6、经典例题变式】如图，抛物线y=+(+l)与X轴交于A, B两点(点A 位于点B的左侧)，与y轴交于点C.已知AABC的面积是6.(1)求G的值；(2)在AABC内是否存在一点M,使得点M到点A.点B和点C的距离相等，若 存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象 限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到X轴的距离为d, QPB 的面积为2d,且ZPAQ=ZAQB,求点Q的坐标。【解析】(I)T尸%2+(+l) 令 y=0,即-Xl+(a+1 )x-t=0解得 Xl=, X2=l由图象知：Xo .A(, 0),

7、 B(l, 0) VSAABC=6丄(IP)(P)=62解得：=-3, (=4舍去);(2)如图，.A(7, 0), C(0, 3), OA=OC,线段AC的垂直平分线过原点， 线段AC的垂直平分线解析式为：y=n,Y 由 A(, O), B(l, 0),线段AB的垂直平分线为X=T将x=-l代入y=-f解得：y=lABC外接圆圆心的坐标(-1, 1)(3)如图，作PM丄X轴交X轴于M,则SABAP=-AB pM= 14d 2 2* SAPQB=SAPABA、Q到PB的距离相等， AQ/7 PB设直线PB解析式为：y=x+b直线经过点B(L 0)所以：直线PB的解析式为ynT 联立 y 二 /

8、 -2x+3 ； y= -l.解得：x=7： y=-5.点P坐标为(T, -5) XVZPAQ=Z AQB,AZBPA= ZPBQ, AAP=QB,在APBQ 与ZkBPA 中，AP=QB, ZBPA=ZPBQ, PB=BP, .PBQABP(SAS), PQ=AB=4设 Q(In, m+3)由 PQ=4 得：(m-l4)2+(m+3+5)2=42解得：m=T, m=-8(当 m=-8 时，ZPAQZAQB,故应舍去) Q坐标为(Y, -1).练习11如下图，已知抛物线y=cx1+bx+5经过A(-5, O), B(-4, -3)两点，与X 轴的另一个交点为C,顶点为D,连接CD.(1)求该抛

9、物线的表达式.(2)点P为该抛物线上一动点(与点B, C不重合)，设点P的横坐标为(.该 抛物线上是否存在点P，使得ZPBC=ZBCD?若存在，求出所有点P的坐标；练习12如图，抛物线y=ax1+bx+6与X轴交于点/ (2, 0)、点B (6, 0), 与Iy轴交于点C.(1)求该抛物线的函数解析式；(2)点D (4, Jfl)在抛物线上，连接BC、BD.试问，在对称轴左侧的抛物线 上是否存在一点P,满足二PBCeDBC2如果存在，请求出点P点的坐标；如果 不存在，请说明理由；练习1-3.(2019泰安)若二次函数y=ax2+bx+c的图象与X轴、y轴分别交于点 A(3, 0)、3(0, -

10、2),且过点 C(2, -2).(1)求二次函数解析式；(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且S求点P的坐标；(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M,使ZABO=ZABM?若存在，求出点M 到),轴的距离；若不存在，请说明理由.练习14抛物线y = -F+2x + 3与X轴交于点A, B (A在B的左侧)，与y轴交 于点C. (1)求直线BC的解析式；(2)抛物线的对称轴上存在点P,使匚APB=LABC,利用图1求点P的坐标；(3)点Q在y轴右侧的抛物线上，利用图2比较JOCQ与匚OCA的大小，并说 明理由4练习15如图(1),直线y=-yx+n交X轴于点A,交y轴于点C(0, 4),抛物

11、线9y=-2+bx+c经过点A,交y轴于点B(0, -2)点P为抛物线上一个动点，过点P作X轴的垂线PD,过点B作BDPD于点D,连接PB,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)当厶BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；(3)如图(2),将ABDP绕点B逆时针旋转，得到ABDP,当旋转角ZPBPjZoAC,且点P的对应点卩落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标。（1） 如图1所示，当直线AB与X轴平行，ZAOB=90,且AB=2时，求此抛物 线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积.（2） 如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与X轴不平行，ZAOB 仍为90。时，A. B

12、两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如 果不是，请说明理由.（3） 在（2）的条件下，若直线y = -2x-2分别交直线AB, y轴于点P、C,直 线AB交y轴于点D 且ZBPC=ZOCP,求点P的坐标.【经典例题245。角】（2019资阳）如图，抛物线y = -x2+bx + ct点A（3, 2）,27且与直线）=-x + f交于B. C两点，点B的坐标为（4,加）2（I）求抛物线的解析式；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q,使ZAQM=45?若存在，求点Q的坐标;【解析】练习21如图，直线y=6+2与X轴交于点A (3, 0),与y轴交于点B,抛物 线y =-上

13、F+bx + c经过点A, B.(1)求k的值和抛物线的解析式；(2)M (m, 0)为轴上一动点，过点M且垂直于兀轴的直线与直线AB及抛物 线分别交于点P, N.1若ABNP是直角三角形，求加的值.2连接BN,当ZPBN=45。时，求加的值.(两直线垂直，k值积为-1)练习2-2如图，抛物线y=r+v+3交x轴于A(-1, 0)和B(5, 0),交y轴于点C, 点D是线段OB上一动点,连接CD,将CD绕点D顺时针旋转90。得到线段DE, 过点E作直线/丄X轴，垂足为H,过点C作CF丄/于F,连接DF, CE交于点 G.求抛物线解析式；(2)求线段DF的长；S B当DG=害 时，求IanZCG

14、D的值；试探究在兀轴上方的抛物线上，是否存在点P,使ZEDP=45?若存在，请写出练习23如图，抛物线y=ax1+bx+c与X轴交于点A(-l, 0), BC?, 0)两点，与y 轴交于点C(0, 3).(1)求抛物线解析式；(2)若点P为抛物线对称轴上一点，当ZAPC=45时，求点P的坐标；(3)已知点Q(0, 1), M是抛物线上一动点，是否存在点M使得ZMBQ=45?若 存在，请写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。练习24如图，直线y=M与-轴、y轴分别交于A. B两点，抛物线y=-+bx+c3经过A.B两点，与X轴的另一个交点为C,连接BC.(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)点Nl在抛物线上，连接MB,当ZMBA+ZCBO=45o时，求点M的坐标；在求二倍角的问题中，先根据等腰三角形和外角定理构造二倍角，再利用三角 函数(一般用正切)计算。【经典例题3-二倍角】(2019咸宇改编)如图，在平面直角坐标系中，直线 -x+2与X轴交于点A,与),轴交于点B,抛物线y=2+bx+c经过A, B 两点且与X轴的负半轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)若