高中数学必修三主要内容文档格式.docx
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下面写出求方程组
的解的算法：
②×
A1-①×
A2，得（A1B2-A2B1）y+A1C2-A2C1=0；
解③，得
；
将
代入①，得
。
此时我们得到了二元一次方程组的求解公式，利用此公司可得到倒2的另一个算法：
取A1=1，B1=-2，C1=1，A2=2，B2=1，C2=-1；
计算
与
输出运算结果。
可见利用上述算法，更加有利于上机执行与操作。
基础知识应用题
例4写出一个求有限整数列中的最大值的算法。
算法如下。
S1先假定序列中的第一个整数为“最大值”。
S2将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时你就假定“最大值”是这个整数。
S3如果序列中还有其他整数，重复S2。
S4在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。
学生做一做写出对任意3个整数a,b,c求出最大值的算法。
老师评一评在例2中我们是用自然语言来描述算法的，下面我们用数学语言来描述本题的算法。
S1max=a
S2如果b>
max,则max=b.
S3如果C>
max,则max=c.
S4max就是a,b,c中的最大值。
综合应用题
例5写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。
分析：
可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式1+2+…+n=
进行，也可以根据加法运算律简化运算过程。
算法1：
S1：
计算1+2得到3；
S2：
将第一步中的运算结果3与3相加得到6；
S3：
将第二步中的运算结果6与4相加得到10；
S4：
将第三步中的运算结果10与5相加得到15；
S5：
将第四步中的运算结果15与6相加得到21。
算法2：
取n=6；
算法3：
将原式变形为（1+6）+（2+5）+（3+4）=3×
7；
计算3×
小结：
算法1是最原始的方法，最为繁琐，步骤较多，当加数较大时，比如1+2+3+…+10000，再用这种方法是行不通的；
算法2与算法3都是比较简单的算法，但比较而言，算法2最为简单，且易于在计算机上执行操作。
学生做一做求1×
3×
5×
7×
9×
11的值，写出其算法。
老师评一评算法1；
第一步，先求1×
3，得到结果3；
第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得到结果15；
第三步，再将15乘以7，得到结果105；
第四步，再将105乘以9，得到945；
第五步，再将945乘以11，得到10395，即是最后结果。
用P表示被乘数，i表示乘数。
S1使P=1。
S2使i=3
S3使P=P×
i
S4使i=i+2
S5若i≤11，则返回到S3继续执行；
否则算法结束。
1、写出解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个算法。
2、写出求1至1000的正数中的3倍数的一个算法（打印结果）
1、解：
算法如下
S1计算△=b2-4ac
S2如果△〈0，则方程无解；
否则x1=
S3输出计算结果x1，x2或无解信息。
2、解：
算法如下：
S1使i=1
S2i被3除，得余数r
S3如果r=0，则打印i，否则不打印
S4使i=i+1
S5若i≤1000,则返回到S2继续执行，否则算法结束。
1、写出解不等式x2-2x-3<
0的一个算法。
x2-2x-3=0的两根是x1=3，x2=-1。
由x2-2x-3<
0可知不等式的解集为{x|-1<
x<
3}。
评注：
该题的解法具有一般性，下面给出形如ax2+bx+c>
0的不等式的解的步骤（为方便，我们设a>
0）如下：
计算△=
若△>
0，示出方程两根
（设x1>
x2），则不等式解集为{x|x>
x1或x<
x2}；
若△=0，则不等式解集为{x|x∈R且x
}；
若△<
0，则不等式的解集为R。
2、求过P（a1,b1）、Q（a2,b2）两点的直线斜率有如下的算法：
取x1=a1，y1=b1，x2=a2，y1=b2；
若x1=x2；
输出斜率不存在；
若x1≠x2；
第五步：
第六步：
输出结果。
3、写出求过两点M（-2,-1）、N（2,3）的直线与坐标轴围成面积的一个算法。
算法：
取x1=-2，y1=-1，x2=2，y2=3；
在第二步结果中令x=0得到y的值m，得直线与y轴交点（0,m）；
在第二步结果中令y=0得到x的值n，得直线与x轴交点（n,0）；
计算S=
输出运算结果
3.程序框图的概念：
是一种用规定的图形，指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
4.基本概念：
（1）起止框图：
起止框是任何流程图都不可缺少的，它表明程序的开始和结束，所以一个完整的流程图的首末两端必须是起止框。
（2）输入、输出框：
表示数据的输入或结果的输出，它可用在算法中的任何需要输入、输出的位置。
图1-1中有三个输入、输出框。
第一个出现在开始后的第一步，它的作用是输入未知数的系数a11,a12,a21,a22和常数项b1,b2,通过这一步，就可以把给定的数值写在输入框内，它实际上是把未知数的系数和常数项的值通知给了计算机，另外两个是输出框，它们分别位于由判断分出的两个分支中，它们表示最后给出的运算结果，左边分支中的输出分框负责输出D≠0时未知数x1,x2的值，右边分支中的输出框负责输出D=0时的结果，即输出无法求解信息。
（3）处理框：
它是采用来赋值、执行计算语句、传送运算结果的图形符号。
图1-1中出现了两个处理框。
第一个处理框的作用是计算D=a11a22-a21a12的值，第二个处理框的作用是计算x1=（b1a22-b2a12）/D,x2=（b2a11-b1a21）/D的值。
（4）判断框：
判断框一般有一个入口和两个出口，有时也有多个出口，它是惟一的具有两个或两个以上出口的符号，在只有两个出口的情形中，通常都分成“是”与“否”（也可用“Y”与“N”）两个分支，在图1-1中，通过判断框对D的值进行判断，若判断框中的式子是D=0，则说明D=0时由标有“是”的分支处理数据；
若D≠0，则由标有“否”的分支处理数据。
例如，我们要打印x的绝对值，可以设计如下框图。
5.三种基本结构：
1）顺序结构：
顺序结构描述的是是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的。
例2：
已知一个三角形的三边分别为2、3、4，利用海伦公式设计一个算法，求出它的面积，并画出算法的程序框图。
这是一个简单的问题，只需先算出p的值，再将它代入公式，最后输出结果，只用顺序结构就能够表达出算法。
程序框图：
2）条件结构：
一些简单的算法可以用顺序结构来表示，但是这种结构无法对描述对象进行逻辑判断，并根据判断结果进行不同的处理。
因此，需要有另一种逻辑结构来处理这类问题，这种结构叫做条件结构。
它是根据指定打件选择执行不同指令的控制结构。
例3：
任意给定3个正实数，设计一个算法，判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在，画出这个算法的程序框图。
判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在，只需要验收这3个数当中任意两个数的和是否大于第3个数，这就需要用到条件结构。
3）循环结构：
在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。
循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：
（1）一类是当型循环结构，如图1-5
（1）所示，它的功能是当给定的条件P1成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P1是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P1不成立为止，此时不再执行A框，从b离开循环结构。
（2）另一类是直到型循环结构，如下图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P2是否成立，如果P2仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P2成立为止，此时不再执行A框，从b点离开循环结构。
例4：
设计一个计算1+2+…+100的值的算法，并画出程序框图。
只需要一个累加变量和一个计数变量，将累加变量的初始值为0，计数变量的值可以从1到100。
1.2算法的基本语句
（一）输入语句
在该程序中的第1行中的INPUT语句就是输入语句。
这个语句的一般格式是：
INPUT“提示内容”；
变量
其中，“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。
如每次运行上述程序时，依次输入-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，计算机每次都把新输入的值赋给变量“x”,并按“x”新获得的值执行下面的语句。
INPUT语句不但可以给单个变量赋值，还可以给多个变量赋值，其格式为：
INPUT“提示内容1，提示内容2，提示内容3，…”；
变量1，变量2，变量3，…
例如，输入一个学生数学，语文，英语三门课的成绩，可以写成：
INPUT“数学，语文，英语”；
a，b，c
注：
①“提示内容”与变量之间必须用分号“；
”隔开。
②各“提示内容”之间以及各变量之间必须用逗号“，”隔开。
但最后的变量的后面不需要。
（二）输出语句
在该程序中，第3行和第4行中的PRINT语句是输出语句。
它的一般格式是：
PRINT“提示内容”；
表达式
同输入语句一样，表达式前也可以有“提示内容”。
例如下面的语句可以输出斐波那契数列：
此时屏幕上显示：
TheFibonacciProgressionis：
11235813213455…
输出语句的用途：
（1）输出常量，变量的值和系统信息。
（2）输出数值计算的结果。
〖思考〗：
在1.1.2中程序框图中的输入框，输出框的内容怎样用输入语句、输出语句来表达？
（学生讨论、交流想法，然后请学生作答）
参考答案：
输入框：
INPUT“请输入需判断的整数n=”；
n
输出框：
PRINTn；
“是质数。
”
PRINTn；
“不是质数。
（三）赋值语句
用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。
除了输入语句，在该程序中第2行的赋值语句也可以给变量提供初值。
变量=表达式
赋值语句中的“=”叫做赋值号。
赋值语句的作用：
先计算出赋值号右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值。
①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。
如：
2=X是错误的。
②赋值号左右不能对换。
如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。
③不能利用赋值语句进行代数式的演算。
（如化简、因式分解、解方程等）
④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。
在1.1.2中程序框图中的输入框，哪些语句可以用赋值语句表达？
并写出相应的赋值语句。
（学生思考讨论、交流想法。
）
【例题精析】
〖例1〗：
编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩。
先写出算法，画出程序框图，再进行编程。
程序：
INPUT“数学=”;
a
INPUT“语文=”;
b
INPUT“英语=”;
c
y=（a+b+c）/3
PRINT“Theaverage=”;
y
END
开始
输入a,b,c
结束
输出y
〖例2〗：
给一个变量重复赋值。
程序：
[变式引申]：
在此程序的基础上，设计一个程序，要求最后A的输出值是30。
（该变式的设计意图是学生加深对重复赋值的理解）
〖例3〗：
交换两个变量A和B的值，并输出交换前后的值。
引入一个中间变量X,将A的值赋予X,又将B的值赋予A，再将X的值赋予B，从而达到交换A，B的值。
（比如交换装满水的两个水桶里的水需要再找一个空桶）
〖补例〗：
编写一个程序，要求输入一个圆的半径，便能输出该圆的周长和面积。
（
取3.14）
设圆的半径为R，则圆的周长为
，面积为
，可以利用顺序结构中的INPUT语句，PRINT语句和赋值语句设计程序。
（四）条件语句
条件语句的作用：
在程序执行过程中，根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转换到何处去。
需要计算机按条件进行分析、比较、判断，并按判断后的不同情况进行不同的处理。
算法中的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条件分支逻辑结构的算法语句。
（IF-THEN-ELSE格式）
当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句1，否则执行ELSE后的语句2。
其对应的程序框图为：
（如上右图）
在某些情况下，也可以只使用IF-THEN语句：
（即IF-THEN格式）
编写程序，使得任意输入的3个整数按从大到小的顺序输出。
用a，b，c表示输入的3个整数；
为了节约变量，把它们重新排列后，仍用a，b，c表示，并使a≥b≥c.具体操作步骤如下。
输入3个整数a，b，c.
将a与b比较，并把小者赋给b，大者赋给a.
将a与c比较.并把小者赋给c，大者赋给a，此时a已是三者中最大的。
将b与c比较，并把小者赋给c，大者赋给b，此时a，b，c已按从大到小的顺序排列好。
按顺序输出a，b，c.
（四）循环语句
满足条件？
循环体
是
否
算法中的循环结构是由循环语句来实现的。
对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构。
即WHILE语句和UNTIL语句。
（1）WHILE语句的一般格式是：
其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。
WHLIE后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的。
当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；
然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。
这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。
因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。
其对应的程序结构框图为：
直到型循环又称为“后测试型”循环，参照其直到型循环结构对应的程序框图，说说计算机是按怎样的顺序执行UNTIL语句的？
（让学生模仿执行WHILE语句的表述）
从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOPUNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。
〖提问〗：
通过对照，大家觉得WHILE型语句与UNTIL型语句之间有什么区别呢？
（让学生表达自己的感受）
区别：
在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，而在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环体。
编写程序，计算自然数1+2+3+……+99+100的和。
这是一个累加问题。
我们可以用WHILE型语句，也可以用UNTIL型语句。
由此看来，解决问题的方法不是惟一的，当然程序的设计也是有多种的，只是程序简单与复杂的问题。
i=1
sum=0
WHLIEi<
=100
sum=sum+i
i=i+1
WEND
PRINTsum
DO
LOOPUNTILi>
100
WHILE型：
UNTIL型：
1.3算法案例
辗转相除法：
1.辗转相除法
例1求两个正数8251和6105的最大公约数。
（分析：
8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）
8251＝6105×
1＋2146
显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。
6105＝2146×
2＋1813
2146＝1813×
1＋333
1813＝333×
5＋148
333＝148×
2＋37
148＝37×
4＋0
则37为8251与6105的最大公约数。
以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。
也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；
若r0＝0，则n为m，n的最大公约数；
若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；
若r1＝0，则r1为m，n的最大公约数；
若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；
……
依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn－1即为所求的最大公约数。
练习：
利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数（答案：
53）
2.更相减损术
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。
更相减损术求最大公约数的步骤如下：
可半者半之，不可半者，副置分母·
子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
翻译出来为：
任意给出两个正数；
判断它们是否都是偶数。
若是，用2约简；
若不是，执行第二步。
以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。
继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
例2用更相减损术求98与63的最大公约数.
由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：
98－63＝35
63－35＝28
35－28＝7
28－7＝21
21－7＝14
14－7＝7
所以，98与63的最大公约数是7。
用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。
（答案：
12）
3.比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到
4.辗转相除法与更相减损术计算的程序框图及程序
利用辗转相除法与更相减损术的计算算法，我们可以设计出程序框图以及BSAIC程序来在计算机上实现辗转相除法与更相减损术求最大公约数，下面由同学们设计相应框图并相互之间检查框图与程序的正确性，并在计算机上验证自己的结果。
（1）辗转相除法的程序框图及程序
INPUT“m=”;
m
INPUT“n=”;
IFm<
nTHENx=m
m=n
n=x
ENDIF
r=mMODn
WHILEr<
>
0
m=n
n=r
PRINTm
3.秦九韶计算多项式的方法
例设计利用秦九韶算法计算5次多项式
当
时的值的程序框图。
程序框图如下：
4.排序
直接插入排序：
冒泡排序：
进位制互相转化：
把余数从下往上排列即可。
第二章统计
2.1随机抽样
简单随机抽样的概念：
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本。
【说明】简单随机抽样必须具备下列特点：
（1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的。
（2）简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N。
（3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的。
（4）简单随机抽样是一种不放回的抽样。
（5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n/N。
最常用的简单随机抽样法：
抽签法的定义。
一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。
抽签法的一般步骤：
（1）将总体的个体编号。
（2）连续抽签获取样本号码。
随机数法的定义：
利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法，这里仅介绍随机数表法。
怎样利用随机数表产生样本呢？
下面通过例子来说明，假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，可以按照下面的步骤进行。
第一步，先将800袋牛奶编号，可以编为000，001，…，799。
第二步，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第7列的数7（为了便于说明，下面摘取了附表1的第6行至第10行）。
162277943949544354821737932378
844217533157245506887704744767
6301637859169555671998105071
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