B4057中南大学 张弛 凌媛 徐英姿Word下载.docx

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1、问题重述

医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，造成该现象的原因很多，其中一重要原因是医院的不合理安排。

我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。

该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。

该医院眼科手术主要分四大类：

白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。

白内障手术较简单，而且没有急症。

目前该院是本着FCFS（Firstcome,Firstserve）规则安排住院，且除急症外伤外，每周一、三只做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天，如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。

外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。

其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，一般不安排在周一、周三。

但是医院排队等待入院的病人越来越多，我们需要通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用，并解决如下问题：

问题一：

试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。

问题二：

试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。

并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。

问题三：

作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。

能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。

问题四：

若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?

问题五：

有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。

2.基本假设

（1）病人等待时间无限，不会因为等待时间过长而离开排队系统

（2）只考虑白内障、青光眼、视网膜疾病和外伤四种眼科疾病，不考虑其他眼科疾病

（3）该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制

3．模型的建立与求解

3.1问题一

3.1.1问题分析

体现病床安排模型的优劣的元素有多个，要确定合理的评价指标体系，先选取合理的评价指标。

本文构造了三个指标以评价病床安排模型，分别为等待时间指标、公平度指标和床位利用率指标。

对于等待时间指标，考虑到不同病的轻重缓急，依据其确定权重的分布；

而公平度指标，我们选取实际入院的顺位与门诊的顺位之差来反应，因为这个偏离顺位的长短与不满意度是非线性增长，需构建变权函数。

3.1.2模型的建立

3.1.2.1等待时间指标

患者在医院的逗留时间是门诊时间到入院时间、入院时间到手术时间和手术时间到出院时间三者之和，而依据实际情况手术后病人达到出院条件会立即出院，所以术后恢复时间不存在等待与延时，据此，我们定义患者的准备时间为门诊时间到入院时间与入院时间到手术时间之和。

本文定义，定义第

种疾病延时时间指标=准备时间—必要准备时间，记为

。

首先对必要准备时间将进行确定，由题目所给数据可知，在有空床的情况下，所有眼疾，包括属于急症的外伤，都是在门诊的后一天入院，所以所有眼疾患者从门诊到入院的标准必要时间为1天。

外伤患者在住院后第二天即可手术，即手术准备时间为1天，白内障患者的手术准备时间为1天或2天，青光眼与视网膜疾病患者的手术准备期为2天或3天，我们均取大值，即五种疾病的手术准备时间分别为1、2、2、3、3.于是可得到五种疾病的必要准备时间如表1。

表1每种眼疾标准准备时间

门诊到入院时间

手术准备时间

必要准备时间

1

2

白内障

3

白内障（双眼）

4

由题目可知，白内障、青光眼和视网膜疾病病情较轻，外伤病情较急，所以我们赋予白内障、白内障（双眼）、外伤、青光眼、视网膜疾病等待时间的权重依次为

所以构造的等待时间指标为

3.1.2.2不公平度指标

本文定义，某病人住院的顺位与门诊的顺位之差为偏离公平顺位，用来衡量违背先来先服务原则的程度，记为x，例如安排住院时，由于手术安排时间、床位和疾病种类等缘故，门诊看病时顺序为第5的病人，在入院医院安排床位时顺序变为了第15，即记10为他的偏离公平顺位，如果床位顺序变为了第25，虽然顺位长度是增加了2倍，但结合实际情况，等待时间越长，病人心理会越焦急，拖的时间越久，不公平度增长越快，所以入院顺序变为第25位时，不公平度会大于20。

所以，当偏离公平顺位较小时，权重变化较缓慢，近似为与时间的线性在增长，偏离公平顺位较大时，相应的权值也越大，这样才能突出等待时间的影响作用。

依据以上讨论，我们构造指数增长型曲线来作为相应的变权函数，即

根据偏离公平顺位越大，不公平度增长越快的要求，令

可解得：

因此可得到偏离公平顺序所对应的权重，如表2。

表2偏离公平顺序的对应权重

公平度

偏离顺位x

5

6

权重f（x）

0.0181

0.0381

0.0604

0.0851

0.1125

0.1429

8

9

10

11

12

0.1766

0.214

0.2556

0.3016

0.3528

0.4095

0.4725

15

16

17

18

19

20

0.5423

0.6198

0.7058

0.8013

0.9072

1.0247

1.155

所以构造的不公平度指标为

3.1.2.3床位利用指标

床位的使用率为单位时间内床位非空闲床位的百分率。

我们根据床位的使用率来反映床位利用指标。

设每天的床的使用率为

，得到床位利用指标为

3.1.2.4评价指标极性处理

三个指标中，等待时间指标

和公平度指标

是极小型指标，病床利用率

是极大型指标，所以对

进行极性处理，

，使评价指标类型一致化。

3.2问题二

3.2.1问题分析

题目要求试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。

我们已知9月11号以前的病人住院情况，通过对历史数据的分析计算求出，在9月11号（包括9月11号）以前就入院了但并未出院的患者的出院时间，即得出初步空床位，建立模型。

并用该模型对附录中给出的第一部分数据，即对患者重新安排，并利用问题一中的指标体系作出评价，比较本方法与医院员安排的比较。

由附录中数据可以知道，本眼科医院眼疾患者排队等待入院的队伍越来长，已经有了102个病人在排队，医院需及时改善这种状况。

本题是在及时解决眼外伤的基础上，建立合理的模型，优化病人入院手术的安排，使得排队队伍长度不再增长。

为此，我们通过尽量减小患者在医院的逗留时间来实现。

患者在整个医院系统中的逗留时间为门诊——入院——手术——出院的总时间。

因为手术后，病人恢复了就会立即出院，不会再在医院，故手术——恢复这段时间不存在等待与延时，所以，建立的安排病人的模型的目标为使患者的门诊——入院时间

3.2.2模型建立与求解：

3.2.2.1符号定义：

分别代表白内障双眼、白内障单眼、青光眼、视网膜疾病、外伤五种疾病

第

个待安排的病人

类病人的人数

分配当日为星期

类疾病第

个病人的门诊时间

个病人的入院时间

个病人的第一次手术时间

个病人的出院时间

患第i种眼病的手术——入院的必要准备时间最小值

患第i种眼病的手术——入院的必要准备时间最大值

天出院的病人总数

未分配当前病人住院时第

3.2.2.2数据提取分析

利用附录中1—349号病人的数据，经过excel处理后可得出每一种眼病从入院到手术、手术到出院的各个时间的期望，如表3

表3每种疾病每段时间的期望

白内障双

白内障单

入院到手术

手术到出院

住院时间

对于手术到出院时间，只能以期望为标准，而入院到手术的时间，题目已经给出了有效信息，白内障患者术前准备时间只需1、2天，青光眼和视网膜患者术前准备时间需2、3天，考虑到实际情况，术前准备时间只能多不能少，以及方便建模求解，我们假定，白内障患者的术前准备时间为2天，青光眼和视网膜患者术前准备时间为3天，外伤及时处理，由历史期望知其准备时间为1天。

由以上分析，得每种眼病的标准住院时间可以得出，如下表4

表4各种眼病患者的标准住院时间

以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。

根据每一种眼病的标准住院时间我们就可以算出附录中给的9.11日还住在医院的79人的大约出院时间。

见附录2（表格二的处理结果），因此就可以得到从9.12到9.23号这几天空出的病床数。

如表5

表59-12到9-23空出的病床数

21

22

23

空出病床数

根据题目条件，外伤需要服从有空床立即安排住院的原则，即今天门诊，明天入院，后天手术，因此在题目所给要安排的病人里没有发现前一天留下的外伤病人。

又因每一天产生的病人服从泊松分布，根据已知历史数据，可求得每天的外伤病人服从参数为1.24的泊松分布。

所以，考虑到以第一天为起始的时间后每天都有外伤病人入住，每天留一个床位用来接纳外伤病人。

3.2.2.3模型建立

由分析得出分配第一天前的外伤病人全部都已经安排住院，即得出a5j里没有数据，不需要考虑，即i=1，2，3，4。

而且在所给的第一天过后每天将有一个外伤病人入住，因此每天留给外伤病人一个床位即可。

、入院——手术时间

这两个时间最小，通过赋权得到目标函数为：

接着考虑权重的确定，考虑到实际情况，在目前这种出现了排队的情况下，门诊——入院时间变长不会影响到医院的床位的利用，但是对病人不公平。

而患者入院以后，已经占用了床位，当经过了术前必要的准备时间后还未进行手术，将影响床位的利用。

本文优先考虑床位的利用，据此另

即目标函数为：

接着考虑约束条件的确定。

本模型中，根据题目已经信息，约束每种眼疾患者的入院——手术的时间在需要的准备时间区间内表6。

表6第i种眼疾患者的入院——手术的准备时间的区间

白内障（双）

根据给出数据，所有疾病最快的入院是在门诊第二天。

所以有约束条件

又根据题目的已知条件，白内障病只能在周一和周三手术，且其他眼病除急症，也就是外伤以外都不能在周一和周三手术，因此又可得出手术制约时间的约束条件：

为使得医院的床位利用率最大，因此每天的入院人数要等于其出院人数，即

综上所述，得到以下整数规划模型：

，

S．t．

3.2.2.4算法编制

根据模型用MATLAB7.1，依据如下算法，编程可得出结果。

（程序见附录1）。

算法步骤：

Step1求出第k天医院的空出的床位数bk

将第k天前已经门诊的病人按先后顺序排列成矩阵pk

在pk中先依次取出bk个病人

（1）判断第i个病人其是否满足当天的住院条件，i=bk

（2）若pk满足条件，则返回

（1）

（3）若不满足，则执行step2

Step2依次判断bk+j个病人是否满足住院条件，直到找到满足条件的病人，并与第i个病人互换，执行step3

Step3对新排列好的矩阵pk分别对前bk段和后面的数据根据住院先后顺序进行排序得出新的矩阵，返回step1

最后得到的结果，便可得出9—11号后，即从9—12号开始安排病人的入住情况，如表6。

表79-11后病人的入住情况

序号

类型

门诊时间

入院时间

第一次手术时间

第二次手术时间

出院时间

2008/8/30

2008/9/13

2008/9/15

2008/9/17

2008/9/22

2008/9/12

/

2008/9/28

2008/9/26

2008/8/31

2008/9/20

2008/9/14

2008/9/30

2008/9/1

2008/9/16

2008/9/19

2008/10/2

25

2008/9/2

26

28

29

30

2008/9/3

2008/10/3

31

32

33

34

35

36

37

38

2008/9/4

39

40

2008/10/1

41

42

2008/9/18

2008/9/21

2008/10/4

43

44

45

46

47

48

49

2008/10/5

50

51

2008/9/5

2008/9/24

2008/9/29

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3.2.2.5采用问题一的评价指标评价分配方案

对该病人入院安排方法进行评价，我们用该方法，选取从7月13号到9月11号之间的一段数据进行病人入院安排，安排结果见附录4，并按照问题一中所建立的模型，从等待时间、公平度、床位使用三个指标来与医院原方案进行比较。

首先考虑等待时间指标。

在excel2007上，计算出两种方法的每位病人的等待时间，进而求得平均每位病人的等待时间，如表7

表8两种分配方案的等待时间比较

医院原方法

改进方法

平均每位病人的等待时间

10.980

10.421

因此改进的方法比医院原方法的平均每位病人