实用参考初中数学全等三角形知识点总结及复习Word格式文档下载.docx
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2、全等三角形的性质
(1)全等三角形对应边相等;
(2)全等三角形对应角相等;
3、全等三角形的判定方法
(1)三边对应相等的两个三角形全等。
(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定
性质:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
判定:
到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
(二)灵活运用定理
1、判定两个三角形全等的定理中,必须具备三个条件,且至少要有一组边对应相等,因此在寻找全等的条件时,总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
(1)已知条件中有两角对应相等,可找:
①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS)
(2)已知条件中有两边对应相等,可找
①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)
(3)已知条件中有一边一角对应相等,可找
①任一组角相等(AAS或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)
(三)经典例题
例1.已知:
如图所示,AB=AC,,求证:
.
例2.如图所示,已知:
AF=AE,AC=AD,CF与DE交于点B。
求证:
。
例3.如图所示,AC=BD,AB=DC,求证:
例4.如图所示,,垂足分别为D、E,BE与CD相交于点O,且
BD=CE。
例5:
已知:
如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD、CE⊥AB于E,且∠B+∠D=180。
AE=AD+BE
分析:
从上面例题,可以看出,有时为了证明某两条线段和等于另一条线段,可以考虑“截长补短”的添加辅助线,本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢?
由于AC是角平分线,所以在AE上截AF=AD,连结FC,可证出ADC≌AFC,问题就可以得到解决。
证明
(一):
在AE上截取AF=AD,连结FC。
在AFC和ADC中
∴AFC≌ADC(边角边)
∴∠AFC=∠D(全等三角形对应角相等)
∵∠B+∠D=180(已知)
∴∠B=∠EFC(等角的补角相等)
在CEB和CEF中
∴CEB≌CEF(角角边)
∴BE=EF
∵AE=AF+EF
∴AE=AD+BE(等量代换)
证明
(二):
在线段EA上截EF=BE,连结FC(如右图)。
小结:
在几何证明过程中,如果现成的三角形不可以证明,则需要我们选出所需要的三角形,这就需要我们恰到好处的添加辅助线。
(四)全等三角形复习练习题
一、选择题
1.如图,给出下列四组条件:
①;
②;
③;
④.
其中,能使的条件共有()A.1组B.2组C.3组D.4组
2.如图,分别为的,边的中点,将此三角形沿折叠,使点落在边上的点处.若,则等于()
3.如图(四),点是上任意一点,,还应补充一个条件,才能推出.从下列条件中补充一个条件,不一定能推出的是()
A.B.C.D.
A.B.C.D.
1题图2题图
4.如图,在△ABC与△DEF中,已有条件AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF,不能添加的一组条件是()
(A)∠B=∠E,BC=EF(B)BC=EF,AC=DF(C)∠A=∠D,∠B=∠E(D)∠A=∠D,BC=EF
5.如图,△ABC中,∠C=90°
,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,
若AC=10cm,则△DBE的周长等于()
A.10cmB.8cmC.6cmD.9cm
6.如图所示,表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有()A.1处B.2处C.3处D.4处
4题图5题图
7.某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那
么最省事的方法是()A.带①去B.带②去C.带③去D.带①②③去
8.如图,在中,,是的垂直平分线,交于点,交
于点.已知,则的度数为()
A.B.C.D.
9.如图,,=30°
,则的度数为()
A.20°
B.30°
C.35°
D.40°
10.如图,AC=AD,BC=BD,则有()
A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分AB
1题图C.AB与CD互相垂直平分D.CD平分∠ACB
8题图10题图
11.尺规作图作的平分线方法如下:
以为圆心,任意长为半径画弧交、于、,再分别以点、为圆心,以大于长为半径画弧,两弧交于点,作射线由作法得的根据是()A.SASB.ASAC.AAS D.SSS
12.如图,∠C=90°
AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为()A.5cmB.3cmC.2cmD.不能确定
13.如图,OP平分,,,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是()A.B.平分C.D.垂直平分
14.如图,已知那么添加下列一个条件后,仍无法判定的是()
A. B.C.D.
A
B
C
D
14题图
11题图12题图
二、填空题
1.如图,已知,,要使≌,可补充的条件是(写出一个即可)_______________.
2.如图,在△ABC中,∠C=90°
AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=5cm,则△DEB的周长为________
3.如图,,请你添加一个条件:
,使(只添一个即可).
4.如图,在ΔABC中,∠C=90°
∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米,BC=8厘米,DC=6厘米,则点D到直线AB的距离是__________厘米。
O
AB
E
1题图2题图3题图4题图
5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律,则第5个大三角形中白色三角形
有个.
6.已知:
如图,△OAD≌△OBC,且∠O=70°
,∠C=25°
,则∠AEB=________度.
7如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:
①AD=BE;
②PQ∥AE;
③AP=BQ;
④DE=DP;
⑤∠AOB=60°
恒成立的结论有_______________________(把你认为正确的序号都填上)。
8.如图所示,AB=AD,∠1=∠2,添加一个适当的条件,使△ABC≌△ADE,则需要添加的条件是________.
6题图7题图8题图
BDEC
三、解答题
1.如图,已知AB=AC,AD=AE,求证:
BD=CE.
2.如图,在中,,分别以为边作两个等腰直角三角形和,使.
(1)求的度数;
(2)求证:
.
3.如图,在△ABE中,AB=AE,AD=AC,∠BAD=∠EAC,BC、DE交于点O.求证:
(1)△ABC≌△AED;
(2)OB=OE.
4.如图,D是等边△ABC的边AB上的一动点,以CD为一边向上作等边△EDC,连接AE,找出图中的一组全等三角形,并说明理由.
5.如图,在△ABC和△DCB中,AB=DC,AC=DB,AC与DB交于点M.
(1)求证:
△ABC≌△DCB;
(2)过点C作CN∥BD,过点B作BN∥AC,CN与BN交于点N,试判断线段BN与CN的数量关系,并证明你的结论.
6.如图,四边形的对角线与相交于点,,.
(1);
(2).
7.如图,在和中,现给出如下三个论断:
③.请选择其中两个论断为条件,另一个论断为结论,构造一个命题.
(1)写出所有的真命题(写成“”形式,用序号表示):
.
(2)请选择一个真命题加以证明.
你选择的真命题是:
证明:
8.已知:
如图,B、E、F、C四点在同一条直线上,AB=DC,BE=CF,∠B=∠C.求证:
OA=OD.
9.如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.
BD=2CE.
10.如图,,请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明.
11.已知:
如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点,
△AED≌△EBC.
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角
形.(直接写出结果,不要求证明):
12.如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
MB=MD,ME=MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?
若成立请给予证明;
若不成立请说明理由.
13已知:
如图A、D、C、B在同一直线上,AC=BD,AE=BF,CE=DF
(1)DF∥CE
(2)DE=CFA
DF
E
14.如图,已知在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两条边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连结AD、AG,则AG与AD有何关系?
试证明你的结论
15.如图,已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相交于点D,若AB=AC.求证:
AD平分∠BAC.
16.如图,∠B=∠C=90°
,M是BC中点,DM平分∠ADC,求证:
AM平分∠DAB.
17.如图,在△ABC和△DBC中,∠ACB=∠DBC=90º
,E是BC的中点,EF⊥AB,垂足为F,且AB=DE.
18.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,连接EF,EF与AD交于G,AD与EG垂直吗?
证明你的结论。
19.如图,在△ABC中,∠B=60°
,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O.试说明AE+CD=AC..如图,在△ABC中,∠B=60°
,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O.试说明AE+CD=AC.
20.如图,已知E是正方形ABCD的边CD的中点,点F在BC上,且∠DAE=∠FAE.
AF=AD+CF。
14.已知:
在△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,
(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由;
(2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD,DE,CE的关系如何?
请说明理由;
(3)归纳
(1)
(2),请用简洁的语言表达BD,DE,CE之间的关系。