word完整版北师大版八年级下册数学第一章《证明二》知识点及习题推荐文档Word文档格式.docx
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-2∠B=180°
-2∠C.
知识点2等腰三角形的性质定理的推论
推论1:
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”).
(1)用符号语言表示为:
如图1-3所示,
①在△ABC中,∵AB=AC,∠1=∠2,∴AD⊥BC.BD=DC;
②在△ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠1=∠2,BD=DC;
③在△ABC中,∵AB=AC,BD=DC,∴∠1=∠2,AD⊥BC.
(2)推论1的证明.
①在△ABC中,∵AB=AC,∠1=∠2,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴BD=DC,∠ADB=∠ADC=90°
.∴AD⊥BC.
②在△ABC中,∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°
∵AB=AC,∴∠B=∠C.又AD=AD,∴Rt△ADB≌Rt△ADC(AAS).
∴∠1=∠2,BD=CD.
③在△ABC中,∵AB=AC,AD=AD,BD=CD,
∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠1=∠2,∠ADB=∠ADC=90°
,∴AD⊥BC.
(3)推论1的作用:
证明角相等、线段相等或垂直.
推论2:
等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°
如图1-4所示,
在△ABC中,∵AB=BC=AC,∴∠A=∠B=∠C=60°
(2)推论2的证明:
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵AB=BC,∴∠A=∠C.
∴∠A=∠B=∠C.
又∵∠A+∠B+∠C=180°
,即3∠A=180°
,
∴∠A=∠B=∠C=60°
知识点3等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定定理:
有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边).
如图1-6所示,在△ABC中,
∵∠B=∠C,∴AB=AC
判定定理的证明:
如图1-6所示.
过A作AD⊥BC于D,则∠ADB=∠ADC=90°
∵∠B=∠C,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(AAS),
∴AB=AC.
√判定定理的作用:
证明同一个三角形中的边相等.
拓展如图1-6所示,在△ABC中,
(1)如果AD⊥BC,∠1=∠2,那么AB=AC;
(2)如果AD⊥BC,BD=DC,那么AB=AC;
(3)如果∠1-∠2,BD=DC,那么AB=AC.
知识点4等腰三角形的判定定理的推论
推论1.
(1)推论1的内容:
有一个角等于60°
的等腰三角形是等边三角形.
(2)用符号语言表示为:
如图1-8所示,在△ABC中,∵AB=AC,∠A=60°
(或∠B=60°
或∠C=60°
),∴AB=AC=BC.
(3)推论1的证明:
在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C.
又∵∠A=60°
,∴∠B=∠C=
=60°
∴AB=AC=BC.
(或∵∠B=60°
,∴∠A=180°
-2∠B=60°
.∴AB=AC=BC.或∵∠C=60°
-2∠C=60°
.∴AB=AC=BC.)
√推论2.
(1)推论2的内容:
三个角都相等的三角形是等边三角形.
如图1-8所示,在△ABC中,∵∠A=∠B=∠C,∴AB=AC=BC.
(3)推论2的证明:
在△ABC中,∵∠A=∠B,∴BC=AC(等角对等边).
又∵∠B=∠C,∴AB=AC(等角对等边).∴AB=AC=BC.
(4)推论1和推论2的作用:
证明一个三角形是等边三角形.
拓展判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法:
(1)根据等边三角形的定义,证明三条边相等;
(2)根据推论1,证明两条边相等,有一个角是60°
;
(3)根据推论2,证明三个角都相等.
√推论3.
(1)推论3的内容:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30。
,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
如图1-9所示,在Rt△ABC中,∵∠C=90°
,∠A=30°
,∴BC=
AB.
(3)推论3的作用:
证明一条线段是另一条线段的一半或2倍.
知识点5反证法
先假设命题的结论不成立,然后从假设出发,推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果,从而否定假设,证明命题的结论一定成立,这种证明方法称为反证法.
拓展反证法是一种常用的间接证明方法,用反证法的一般步骤是:
(1)假设命题不成立;
(2)从假设出发推导出矛盾;
(3)否定假设,从而肯定命题的结论.
规律方法小结
1.转化思想:
在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中,都是通过构造全等三角形,转化为全等得以证明的.
2.类比思想:
采用类比思想,把等腰三角形的性质和判定对照着学习.
3.用反证法进行证明时,注意推理的规范性和逻辑的严密性,不能忽略任何一种可能的情况.
探究交流
想一想:
还有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗?
解析有,作等腰三角形ABC的顶角平分线AD,如图1-2所示.
∵
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)
课堂检测
1、如图1-10所示,在△ABC中,AB=AC,AD=
AC,AE=
AB.求证BD=CE.
2、如图1-12所示,已知点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.求证BD=CE.
3、如图1-13所示,已知∠CAE是△ABC的一个外角,∠1=∠2,AD∥BC,
求证△ABC是等腰三角形.
4、下面是数学课堂的一个学习片段,阅读后,回答问题.
学习等腰三角形的有关内容后,张老师请同学们交流讨论这样一个问题:
已知等腰三角形ABC的∠A等于30°
,求其余两角.
同学们经过片刻的思考与交流后,李明同学举手说:
“其余两角是30°
和120°
.”王华同学说:
“其余两角是75°
和75°
.”还有一些同学也提出了不同的看法……
假如你也在课堂上,你的意见如何?
为什么?
5、已知等边三角形ABC和点P,设点P到△ABC三边AB,AC,BC的距离分别是h1,h2,h3,△ABC的高为h,若点P在边BC上,如图1-17
(1)所示,此时h3=0,可得结论:
h1+h2+h3=h.
请直接应用上述信息解决下列问题:
点P在△ABC内,如图1-17
(2)所示.点P在△ABC外,如图1-17(3)所示,这两种情况时,上述结论是否还成立?
若成立,请给出证明;
若不成立,h1,h2,h3与h之间又有怎样的关系?
请写出你的猜想,不需证明.
体验中考
1、已知等腰三角形ABC的周长为10.若设腰长为x,则x的取值范围是.
2、如图1-20所示,在△ABC和△DEF中,AB=DE,BE=CF,∠B=∠1.求证AC=DF(要求:
写出证明过程中的重要依据).
2直角三角形
知识概览图
知识点1勾股定理及其逆定理
勾股定理:
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方,即c2=a2+b2(c为斜边长).
√勾股定理的作用.
(1)已知直角三角形的两边求第三边.
(2)已知直角三角形的一条边,求另外两条边的数量关系.
(3)用于证明平方关系的问题.
(4)利用勾股定理作出长为
的线段.
勾股定理的各种表达形式.
在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c,则a2=c2-b2,b2=c2-a2,c2=a2+b2,c=
,a=
,b=
勾股定理的逆定理:
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理的作用:
判定某一三角形是否是直角三角形.
勾股定理是直角三角形的性质定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理.
直角三角形的判定.
(1)首先确定最大边(如c).
(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系.
若c2=a2+b2,则△ABC是直角三角形;
若c2≠a2+b2,则△ABC不是直角三角形.
勾股数.
(1)能够成为直角三角形三边长的三个正整数.称为勾股数或勾股弦数.
(2)勾股数必须是正整数.如3,4,5;
5,12,13等.
拓展应用勾股定理时,必须是在同一直角三角形中;
应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形时,一定是最长边所对的角是直角,其他两边所对的角是锐角.
知识点2互逆命题与互逆定理
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
拓展每个命题都有逆命题.原命题是真命题,而它的逆命题不一定是真命题.原命题和逆命题的真假性一般有四种情况:
真、假;
真、真;
假、假;
假、真.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题.那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
拓展每个命题都有逆命题.但不是所有的定理都有逆定理.
知识点3直角三角形全等的判定定理
直角三角形全等的判定定理:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示.
√定理的作用:
判定两个直角三角形全等.
√定理的证明:
如图1-30所示,已知Rt△ABC,Rt△A′B′C′,∠C=∠C′=90°
,AB=A′B′,AC=A′C′,求证Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
证明:
∵在△ABC和△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°
∴BC=
,B′C′=
.
∵AB=A′B′,AC=A′C′,∴BC=B′C′.
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(SSS).
知识拓展“HL”是直角三角形所独有的判定定理,对于一般三角形不成立.判定两个直角三角形全等时,这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件,只需找出另外两个条件即可,而这两个条件中必须有一个是边对应相等.与一般三角形全等一样,只有三个角相等的两个直角三角形不一定全等.
1、写出命题“同位角相等,两直线平行”的逆命题,并判断真假.
2、如图1-31所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AB=50,BC=30,CD⊥AB于点D,求CD的长.
3、在正方形ABCD中,如图1-32所示,F为DC的中点,E为BC上一点,且EC=
BC,求证∠EFA=90°
4、试判断三边长分别为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1(n>0)的三角形是否是直角三角形.
5、如图1-38所示,一艘货轮向正北方向航行,在点A处测得∠MAD=30°
,货轮以每小时20海里的速度航行,1小时后到达B处,测得∠MBD=45°
,该货轮到达灯塔M的正东方向的D处时,货轮与灯塔M的距离是多少?
(精确到0.1海里,
≈1.732)
1、如图1-41所示,在△ABC中,AB=AC,AD是底边上的高,若AB=5cm,BC=6cm,求AD的长度.
2、如图1-45所示,在直角梯形ABCD中.AD∥BC,∠ABC=90°
,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC.
(1)求证BG=FG;
(2)若AD=DC=2,求AB的长.