稳恒磁场一章习题解答.docx
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稳恒磁场一章习题解答
稳恒磁场一章习题解答
习题9—1无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别为a、b，电流在导体截面上均匀分布，则空间各处的的大小与场点到圆柱中心轴线的距离r的关系定性地如图所示。
正确的图是：
[]
解：
根据安培环路定理，容易求得无限长载流空心圆柱导体的内外的磁感应强度分布为
所以，应该选择答案（B）。
习题9—2如图，一个电量为+q、质量为m的质点，以速度沿X轴射入磁感应强度为B的均匀磁场中，磁场方向垂直纸面向里，其范围从x=0延伸到无限远，如果质点在x=0和y=0处进入磁场，则它将以速度从磁场中某一点出来，这点坐标是x=0和［ ］。
（A）。
（B）。
（C）。
（D）。
解：
依右手螺旋法则，带电质点进入磁场后将在x>0和y>0区间以匀速v经一个半圆周而从磁场出来，其圆周运动的半径为
因此，它从磁场出来点的坐标为x=0和，故应选择答案（B）。
习题9—3通有电流I的无限长直导线弯成如图三种形状，则P，Q，O各点磁感应强度的大小BP，BQ，BO间的关系为［ ］。
（A）。
（B）。
（C）。
（D）
说明：
本题得通过计算才能选出正确答案。
对P点，其磁感应强度的大小
对Q点，其磁感应强度的大小
对O点，其磁感应强度的大小
显然有，所以选择答案（D）。
［注：
对一段直电流的磁感应强度公式应当熟练掌握。
］
I1
I2
转动方向
A
B
题解9―4图
习题9—4如图所示，一固定的载流大平板，
在其附近有一载流小线框能自由转动或平
动，线框平面与大平板垂直，大平板的电流
与线框中的电流方向如图所示，则通电线框
的运动情况从大平板向外看是：
［ ］
（A）顺时针转动
（B）靠近大平板AB
（C）逆时针转动
（D）离开大平板向外运动
解：
根据大平板的电流方向可以判断其右侧磁感应强度的方向平行于大平板、且垂直于I1；小线框的磁矩方向向上，如图所示。
由公式
可以判断小线框受该力矩作用的转动方向如图所示，因此应该选择答案（C）。
习题9—5 哪一幅曲线图能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B随x的变化关系?
（X坐标轴垂直于圆线圈平面，圆点在圆线圈中心O）［ ］
解：
由载流圆线圈（N匝）轴线上的磁感应强度公式
可以判断只有曲线图（C）是正确的。
习题9—6两根无限长直导线互相垂直地放着，相距d=2.0×102m，其中一根导线与Z轴重合，另一根导线与X轴平行且在XOY平面内。
设两导线中皆通过I=10A的电流，则在Y轴上离两根导线等距的点P处的磁感应强度的大小为B= 。
解：
依题给坐标系，与Z轴重合的一根导线单独在P点产生的磁感应强度为
同理，另一根与X轴平行的导线单独在P点产生的磁感应强度为
由叠加原理，P点处的磁感应强度的大小为
习题9—7如图，平行的无限长直载流导线A和B，电流强度均为I，垂直纸面向外，两根导线之间相距为a，则
（1）中点（P点）的磁感应强度= 。
（2）磁感应强度沿图中环路l的线积分
＝ 。
解：
（1）A、B两载流导线在P点产生的磁感应强度等大而反向，叠加的结果使P点最终的磁感应强度为零，因此，。
（2）根据安培环路定理容易判断，磁感应强度沿图中环路l的线积分等于－I。
习题9—8如图，半圆形线圈（半径为R）通有电流I，线圈处在与线圈平面平行向右的均匀磁场中。
则线圈所受磁力矩的大小为 ，方向为 。
把线圈绕转过角度 时，磁力矩恰为零。
解：
半圆形线圈的磁矩大小为
因而线圈所受磁力矩的大小为
根据磁力矩公式
可以判断出磁力矩的方向向上。
容易知道，当，k=0，±1，±2，……时，磁力矩恰为零，这等价于把线圈绕转过，k=0，1，2，3，……。
习题9—9在均匀磁场中取一半径为R的圆，圆面的法线与成60°角，如图所示，则通过以该圆为边线的如右图所示的任意曲面S的磁通量
。
解：
通过圆面的磁通量
根据磁场的高斯定理，通过整个闭合曲面的磁通量等于零，即
所以
习题9—10如图所示，均匀电场沿X轴正方向，均匀磁场沿Z轴正方向，今有一电子在YOZ平面沿着与Y轴正方向成135°角的方向以恒定速度运动，则电场和磁场在数值上应满足的关系是 。
解：
电子以恒定速度运动，说明其所受到的合外力为零，即有
即
∴
习题9—11如图，在无限长直载流导线的右侧有面积为S1和S2两矩形回路。
两个回路与长直载流导线在同一平面，且矩行回路的一边与长直导线平行。
则通过面积为S1的矩形回路的磁通量与通过面积为S2的矩形回路的磁通量之比为 。
解：
建立如图所示的坐标轴OX轴，并在矩形回路内距长直导线x处取宽为dx的窄条面元dS=hdx（图中带阴影的面积），则通过该面元的元磁通为
所以，通过回路S1的磁通量为
通过回路S2的磁通量为
故，
习题9—12两根长直导线通头电流I，如图所示有三种环路，在每种情况下，等于：
（对环路a）
（对环路b）
（对环路c）
解：
根据安培环路定理，容易得到：
对环路a，等于；对环路b，等于0；对环路c，等于2。
习题9—13如图所示，在真空中有一半圆形闭合线圈，半径为a，流过的稳恒电流为I，则圆心O处的电流元所受的安培力的大小为 ，
方向为。
解：
圆心O处的磁感应强度是由半圆形闭合线圈产生的，其直径段的电流在O处单独产生的磁场为零，其半圆段在O处产生的磁场即为该点的总磁场
的方向垂直于图面向内。
根据安培力公式可知圆心O处的电流元所受的安培力的大小为
力的方向垂直于电流元向左。
S
R
O
I
O
l
习题9―14图
习题9—14一根半径为R的长直导线均匀载有电流I，作一宽为R、长为l的假想平面S，如图所示。
若假想平面S可在导线直径与轴所确定的平面内离开轴移动至远处。
试求当通过S面的磁通量最大时S平面的位置。
解：
见图示，设假想平面S靠近轴线的一边到轴线的距离为a，易知长直导线内外的磁场分布为
（）
（）
在假想平面S内、距轴为r处，沿导线直径方向取一宽度为dr的窄条面元，通过它的元磁通为
通过假想平面S的磁通量为
由最值条件，令
即
解得 （其负根已舍去）
R
X
O
θ
dl
题解9―15图
习题9—15半径为R的导体球壳表面流有沿同一绕向均匀分布的面电流，通垂直于电流方向的每单位长度的电流为K。
求球心处的磁感应强度大小。
解：
如图所示，取一直径方向为OX轴。
并沿电流方向在球面上取一宽度为dl的球带，该球带可以看成载流圆环，其载有的电流为dI=Kdl=，其在球心O处产生的元磁场为
该元场的方向沿X轴的正方向。
球面上所有电流在O点产生的磁感应强度大小
为
场的方向沿X轴的正方向。
习题9—16 如图，一半径为R的带电朔料圆盘，其中有一半径为r的阴影部分
均匀带正电荷，面电荷密度为，其余部分均匀带负电荷，面电荷密度为，当圆盘以角速度旋转时，测得圆盘中心O点的磁感应强度为零，问R与r满足什么关系?
解：
取与圆盘同心、半径为r、宽度为dr的圆环，其带量电量为
其等效的圆电流为
其在中心O处产生的元场强为
因此，中心O点的磁感应强度为
令该磁感应强度为零可得
习题9—17如图，有一密绕平面螺旋线圈，其上通有电流I，总匝数为N，它被限制在半径为R1和R2的两个圆周之间。
求此螺旋线中心O处的磁感应强度。
解：
以O点为圆心、以r为半径，在线圈平面内取宽度为dr的圆环面积，在此环面积内含有dN=ndr=匝线圈，其相应的元电流为dI=IdN。
其在中心O点产生的元磁场为
O点最终的磁感应强度为
该磁感应强度的方向垂直于图面向外。
习题9—18厚度为2d的无限大导体平板，其内有均匀电流平行于表面流动，电流密度为j，求空间的磁感应强度分布。
解：
如图所示，在垂直于电流密度方向取一矩形回路abcda，其绕行方向与电流密度方向成右手螺旋关系。
对此环路应用安培环路定理
在平板内部有
所以
在平板外部有
所以
A
B
O
a
b
习题9―19图
习题9—19均匀带电刚性细杆AB，电荷线密度为，绕垂直于直线的轴O以角速度匀速转动（O点在细杆AB的延长线上），求：
（1）O点的磁感应强度；
（2）磁矩；（3）若a>>b，求及。
解：
（1）在杆上距轴O为r处取线元dr，其带电量为，该线元相当于运动的点电荷，其在O处产生的元磁场大小为
元磁场的方向垂直于纸面向里。
由于杆上各线元的元磁场的方向均一致，所以求O点的总场可直接对上述元场积分即可
的方向垂直于纸面向里。
［求O点磁场还可以用等效电流法作：
在杆上距轴O为r处取线元dr，其带电量为，该线元相当于运动的点电荷，它作圆周运动的等效环电流为
其在O处产生的元磁场大小为
元磁场的方向垂直于纸面向里。
对上述元场积分可得O点最终的场
的方向垂直于纸面向里。
与前边作法得到的结果相同。
］
（2）线元dr的等效环电流为
其元磁矩大小为
元磁矩的方向垂直于纸面向里。
带电细杆的总磁矩大小为
总磁矩的方向垂直于纸面向里。
（3）当a>>b时，带电细杆相当于点电荷。
因此
习题9—20一线圈的半径为R，载有电流I，置于均匀外磁场中（如图示），在不考虑载流圆线圈本身所激发的磁场的情况下，求线圈导线上的张力。
（已知载流圆线圈的法线方向与的方向相同。
）
解：
设想该载流圆线圈被截成相等的两半，如图所示，我们取其中的一半（比如右一半）并分析它的受力情况：
安培力作用于中点、方向向右，上、下端点受到的张力均水平向左。
由于该半线圈处于力学平衡状态，因此有
即
解得
［在本题求解中，一是要搞清圆线圈中的“张力”的概念，二是须明确“闭合电流在均匀磁场中所受的合磁力等于零”这一结论。
下一道习题我们将证明这个结论。
］
习题9—21试证明任一闭合载流平面线圈在均匀磁场中所受的合磁力恒等于零。
证明：
由安培力公式，线圈任一线元所受到的磁场力为
则整个闭合载流平面线圈在均匀磁场中所受的合磁力应该为
证毕。
［注意：
这里的环积分，是考虑了矢量合成的多边形法则的结果。
］
习题9—22有一“无限大”平面导体薄板，自上而下均匀通有电流，已知其电流密度为i（即单位宽度上通有的电流强度）。
（1）试求板外空间任一点磁感应强度的大小和方向；
（2）有一质量为m，带正电量为q的粒子，以速度v沿平板法线方向向外运动（如图），求：
（a）带电粒子最初至少在距板什么位置处才不
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