生活中地三角函数问题Word格式文档下载.docx
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这就是我们这节课所要学习的内容一一三角函数的应用问题。
(引出课题)
2、探索研究
前一段时间,针对三角函数在生活中的应用,我们学习了这样一个例题:
把一段半径为R的圆木,锯成横截面为矩形的木料,问怎样锯才能使横截面积最大?
老师用几何画板动画演示在纵多矩形中内接矩形的面积慢慢变大,学生简述两种方法解题过程,比较两种方法得出三角函数方法解题的优越性。
引出变式题让学生用三角函数方法解题。
生1:
设边为自变量的方法
生2:
设角为自变量的方法
师:
学生讲述完毕,老师总结,将每个同学的发言简单整理;
引出变式例题:
在一住宅小区里,有一块空地,这块空
两种情况分小组探究解决,小组
地可能有这样两种情况:
探究时,是把两种图形放在几何
(1)是半径为10米的半圆;
如图
(1)
画板中,让学生把静的数学图形
(2)是半径为10米,圆心角为60的扇形;
通过电脑转化成动态,培养学生
如图
(2)
现在要美化小区,准备在这块空地里分别种植一块矩形的草皮,使得其一边在半径上且内接于这块空地,应如何设计,使得此草皮面积最大?
并求出面积的最大值。
的动手能力和观察能力,通过图形观察结果,再用数学知识来求解,然后找小组代表发布探究成果,小组间相互评价成果,培养学生的数学的应用意识和小组合
作意识。
(各个小组的代表用实物投影展示小组成果,并解释设计方案:
生3:
(略)
生5:
(略)
学生展示完毕,老师总结,将每个同学的发言简单整理;
引导学生分析此题与
引例中的题的联系。
归纳出求解应用题的步骤过三关,走四步:
(先由学生总结,老师再归纳总结。
)
生6:
(图1)
(图2)
三关:
(一)、事理关:
需要读懂题意,知道讲的是什么事件,即需要一定的阅读理
解能力;
(二)、文理关:
需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式子表达数量关系;
(三)、数理关:
在构建数学模型的过程中,要根据已知的知识结构,构建相应的函数模型,完成由实际问题向数学问题的转化。
四步:
(一)、读题理解题意;
(二)、挖掘数量关系,建立数学模型;
(三)、求解数学问题;
(四)、回归实际,进行答题。
3、随堂练习:
(试试身手,看谁做得快又准确)
如图,ABCD是一块边长为100米的正方形地皮,其中ATPS是一座半径为90米的扇
与CD上的长方形停车场PQCR,求长方形停车场
PQCR面积的最大值和最小值。
形小山,P是弧TS上一点,其余部分都是平地,现一开发商想在平地上建在一个边落在BC
解:
设PAB(090)
cos)8100sincos
100009000(sin
令tsin
cos(1t、2)贝ysincos
t2
100009000t
8100
t21
8100(
2
950
请同学们课后研究一下我们自己周
故当t
.2时Smax14050900021324(m2)
当t
102
时Smin950(m)
9
答:
长方形停车场PQCR面积的最大值是1324平方米,最小值是950平方米。
4、课时小结
通过我们的研究,我们领会了数学建模的思想,同时也深深地体会到,身边就有数学,数学就在身边,在以后的学习过程中,只要我们勇于探索,就可能会成为真正的发明家、仓U造者,我们现在的研究让它作为一个奠基,通过我们的研究开拓思路,为将来成为一名数学
家、发明家创造良好的条件。
5、课后作业
其实在我们生活中,还有许多关于三角函数的问题,
围可以研究的事物,例如以下两个作业题:
㈠、书面作业:
在变式例题中的扇形空地中,把条件“使得其
一边在半径上”去掉而只要求矩形在空地内且内接空
地,看结果又是怎样的是不是比我们有这个条件限制
时的面积更大?
(如右图所示)
㈡、课后实习作业
学生自己先收集自己身边有关三角函数的例子,在小组内讨论研究,然后在班上发布小
组成果。
或研究下面给定的两个例子。
(1):
下表是某城市1971-2000年月平均气温(华氏T)
以月份为x轴,以平均气温为y轴,作出散点图,把这些离散点用光滑曲线连结起来,然后观察用何种曲线,拟合这些数据,求出函数解析式。
(2):
受日月的引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐,在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞,卸货后落潮时返回海洋,某港口水的深度y(米)是时间t(0t24,单位:
时)的函数,记作y=f(t),下面是该港口在某季节每天水深的数据。
t(时)
3
6
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
10.1
7.0
根据数据求出y=f(t)的拟合函数,求出函数解析式,一般情况下,船舶航行时,
船底离海底的距离为5米或5米以上时,认为是安全的(船舶停靠时,船底只
需不碰海底即可),某船吃水深度(船底离水面的距离)为
6.5米,如果该船想
在同一天内安全进出港,问它至多能在港内停留多少时间?
(忽略进出港所需时
间)
六、教学评价
本节是一节习题课,其目的一方面是要巩固所学过的函数知识,
更重要的是,让学生通
过本节的学习活动认识到学习数学的意义,认识到数学与生活的联系
•本节在教学中注重这
一目的的实现,首先从简单有趣的实例引入,激发学生的兴趣,通过动手对几个变式实例的
研究,抽象出三角函数模型,并通过背景更丰富的实例解释这一模型的内涵,让学生深切地
感受到数学抽象的魅力•此外还将生活中的实例揉在教学过程中,将丰富的现实世界,有机的穿插在理性的数学教学活动中,让学生轻轻松松学数学
七、教学多媒体
(powerpoint课件、几何画板课件、实物投影)
九、教学流程图
八、板书设计
课题:
引例:
随堂练习:
题型变式:
课时小结:
归纳三关四步:
课后作业:
图片欣赏
教师导入课题
引例
/、
题型变式
设CAB,则AB2Rcos,CB2Rsin
S巨形abcdABBC4R2sincos2R2sin2
当且仅当sin21时,即一时,Smax2R
4
所以在圆木的横截面上截取内接正方形时,才能使横截面积最大。
很好,在这里提供这样一个生活中的问题,看看它们与三角函数的联系。
(让学生合作
探究解决)
在一住宅小区里,有一块空地,这块空地可能有这样两种情况:
(2)是半径为10米,圆心角为60o的扇形;
现在要美化小区,准备在这块空地里分别种植一块矩形的草皮,使得其一边在半径上,应如
何设计,使得此草皮面积最大?
(两种情况分小组探究解决,小组探究时,是把两种图形放在几何画板中,让学生把
静的数学图形通过电脑转化成动态,培养学生的动手能力,通过图形观察结果,再用数
学知识来求解,然后找小组代表发布探究成果,小组间相互评价成果,培养学生的数学
的应用意识和小组合作意识。
小组1:
我们选的是第一种情况,如图所示:
连结0C,
OB10cos
设BOC,贝UBC10sin,
AB2OB20cos
S巨形ABBC200sincos
Qsin21S矩形100
即290°
45o
这时BOAO10cos45°
^2,BC
小组2:
我们选的是第二种情况,连结0C,
OABCcot600
F
此时,点A、D分别位于点0的左右方52处时S取得最大值100。
设BOC,则BC10sin,OB10cos
10、3.
sin
100sincos
1003.2sin
50的
50sin2(1cos2)
零in(2-)畔
当且仅当sw6)1时,即
6时,Smax
363
所以使矩形的长约为8.66米,宽为5米且使其内接扇形时为最大值。
学生发言完毕,老师总结,将每个同学的发言简单整理;
引导学生分析此题与引例中的题的联系。
:
再归纳出求解应用题的步骤过三关,走四步:
1、事理关:
需要读懂题意,知道讲的是什么事件,即需要一定的阅读理解能力;
2、文理关:
需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式子表达数量关系;
3、数理关:
在构建数学模型的过程中,要根据已知的知识结构,构建相应的函数模型,完成由实际问题向数学问题的转化。
1读题理解题意;
2挖掘数量关系,建立数学模型;
3求解数学问题;
4回归实际,进行答题。
3、试试身手,看谁做得快又准确
(1)如图,ABCD是一块边长为100米的正方形地皮,其中ATPS是一座半径为90米
PQCR,求长方形停车场
90cos,MP90sin
其余部分都是平地,现一开发商想在平地上建在一个边落
的扇形小山,P是弧TS上一点,在BC与CD上的长方形停车场解:
设PAB(090
延长RP交AB于M,则AM
PQABAMMB10090cos
®
)2950
PRMRMP10090sin
故矩形PQCR的面积为
S
PQPR
(100
90cos
)(10090sin
10000
9000(sin
cos
)8100sin
令t
(1t
、2)则sin
…t21
故当t2时Smax140509000-21324(m2)
6时Smin
950(m2)
(2)点P在直径AB=1的半圆上移动,过P点作圆的切线PT,使PT=1,/PAB=a,当a为何值时,四边形ABTP的面积最大?
最大值是多少?
4、课时小结
老师小结:
通过我们的研究,我们深深地体会到,身边就有数学,数学就在身边,在以
后的学习过程中,只要我们勇于探索,有些同学可能会成为真正的发明家、创造者,我们现
在的研究让它作为一个奠基,通过我们的研究开拓思路,为将来成为一名数学家、发明家创
造良好的条件。
5、课后作业
其实在我们生活中,还有许多关于三角函数的问题,如果同学们有兴趣的话,课后我们还
可以关注一下可以研究的事物,例如以下两个问题:
(1):
月份
1
5
7
8
10
11
平均
21.
26.
36.
48.
59.
68.
73.
71.
64.
53.
39.
27.
气温
根据数据,运用函数的图象进行直观分析处理。
根据数据求出y=f(t)的拟合函数,求出函数解析式,一般情况下,船舶航行时,
船底离海底的距离为5米或5米以上时,认为是安全的(船舶停靠时,船底只
6.5米,如果该船想
在同一天内安全进出港,问它至多能在港内停留多少时间?
五、教学评价
更重要的是,让学生通
.本节在教学中注重这
一目的的实现,首先从简单有趣的实例引入,激发学生的兴趣,通过动手对几个变式实例的研究,抽象出三角函数模型,并通过背景更丰富的实例解释这一模型的内涵,让学生深切地感受到数学抽象的魅力.此外还将生活中的实例揉在教学过程中,将丰富的现实世界,有机的穿插在理性的数学教学活动中,让学生轻轻松松学数学.
六、教学流程图
标准文档
变式1
变式2
分小组探索,讨论
展示小组成果
教师评价总结
随堂练习