龙文教育重力势能2文档格式.docx
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根据重力势能的定义式，以二楼地面为参考平面：
Ep=0。
以楼外地面为参考平面：
Ep=mgh=mg×
h=20×
10×
5J=103J。
以二楼地面为参考平面：
△Ep=Ep2－Ep1=mgh1－0=20×
1J=200J。
ΔEp=Ep2－Epl=mg（h+h1）－mgh=mgh1=20×
lJ=200J
答案：
0；
103；
200；
200
点评：
重力势能的相对性是指其数值与参考平面的选择有关；
重力势能变化的绝对性是指重力势能的变化与所选择的参考平面无关。
（4）重力做功和重力势能改变的关系
设A、B两点为物体在运动过程中所经历的两点（如图2）。
图2
若从B运动到A点，则WG=－mgh（重力对物体做负功mgh）；
从能量的角度，△Ep=mgh（重力势能增加，mgh）。
若从A运动到B点，则WG=mgh（重力对物体做正功mgh）；
从能量的角度，△Ep=－mgh（重力势能减小，mgh）。
可见，重力势能的改变△Ep只与重力做功WG有关，跟物体做什么运动以及是否同时还有其他作用力（如牵引力，阻力等）的存在无关，即WG=－△EP。
也就是说，重力做正功时。
重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功；
克服重力做功时。
重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功。
即WG=Ep1－Ep2=mgh1－mgh2。
（5）重力势能归系统所有
我们采看这样一个物理过程，某物体在竖直方向上的力F（F=mg）的作用下从地面
匀速上升了h高，如图3所示。
图3
对这个物理过程，从做功的角度看，外力F对物体做了正功WF=F·
h=mgh。
（F=mg），重力对物体做了负功，WG=－mgh，故外力对物体所做的合功W合=WF+WG=0，因此物体的动能应该是没变化的。
可是从能的角度看，物体的能量（重力势能）确实是增加了mgh，对物体的合功为零，物体怎么能增加能量呢?
原来矛盾就出现在重力势能不是归物体所有，而是归物体和地球所共有，即重力势能归系统所有。
把物体和地球作为系统，重力势能归系统所有，就不会出现上述矛盾，因为此刻的重力已转变成系统的内力，因此力F对系统作功为WF=mgh，这个功使系统的重力势能增加mgh。
平常大家常说某物体具有多少重力势能，实质上指的就是该物体和地球共同有多少重力势能，是重力势能归系统所共有的一种简便说法。
（6）等效法计算重力势能的变化
重力势能的变化与发生过程无关，只与初末状态有关，故可用等效法求解，如考题8可等效地转化为“将B管上方
h的液柱直接移到A管上方，求系统的重力势能的变化”，使问题变得一目了然。
当然，这不是惟一的解法，若设初始状态A管中的液面为零势面，分别计算出A管液面以上的液体在初、末状态的重力势能，然后求重力势能的变化，也是一种常用的方法。
应当引起注意的是大小和形状不可忽略的物体在计算重力势能时，要由其重心的位置来确定物体的高度。
质量为m的均匀链条长为L，开始放在光滑的水平桌面上时，有
的长度悬在桌边缘，如图4所示，松手后，链条滑离桌面，问从开始到链条刚滑离桌面过程中重力势能变化了多少?
图4
将开始桌面上的
的链条移至末态的下端
处，故重心下降了
L，所以重力势能减少了
mg·
L=
，即ΔEp=－
解法二：
设桌面为参考面，开始时重力势能Ep1=－
，末态时重力势能Ep2=
。
故重力势能变化△Ep=EP2－Ep1=－
2.弹力做功和弹性势能
探究弹力做功与弹性势能
（1）功能关系是定义某种形式的能量的具体依据，从计算某种力的功入手是探究能的表达式的基本方法和思路。
（2）科学探究中必须善于类比已有知识和方法并进行迁移运用。
（3）科学的构思和猜测是创造性的体现。
可使探究工作具有针对性。
（4）分割——转化——累加，是求变力功的一般方法，这是微积分思想的具体应用。
求和或累加可以通过图象上的面积求得。
①计算弹簧弹力的功。
由于弹力是一个变力，计算其功不能用W=Fs设弹簧的伸长量为x，则F=kx，画出F—x图象。
如图5所示。
则此图线与x轴所夹面积就为弹力所做的功。
由图象可得W弹=
k
－
；
x1、x2分别为始末状态时弹簧的形变量。
图5
②弹性势能的表达式的确定。
由W弹=－ΔEp=Ep1－Ep2和W=
可知Ep=
kx2。
这与前面的讨论相符合
（5）弹力做功与弹性势能变化的关系
如图6所示。
弹簧左端固定，右端连一物体。
O点为弹簧的原长处。
当物体由O点向右移动的过程中，弹簧被拉长。
弹力对物体做负功，弹性势能增加；
当物体由O点向左移动的过程中，弹簧被压缩，弹力对物体做负功，弹簧弹性势能增加。
图6
当物体由A点向右移动的过程中，弹簧的压缩量减小，弹力对物体做正功，弹性势能减小；
当物体由A’点向左移动的过程中，弹簧的伸长量减小，弹力做正功，弹性势能减小。
总之，当弹簧的弹力做正功时。
弹簧的弹性势能减小，弹性势能变成其他形式的能；
当弹簧的弹力做负功时，弹簧的弹性势能增大，其他形式的能转化为弹簧的弹性势能。
这一点与重力做功跟重力势能变化的关系相似。
依功能关系由图象确定弹性势能的表达式
如图7所示，弹簧的劲度系数为k左端固定，不加外力时。
右端在O处，今用力F缓慢向右拉弹簧，使弹簧伸长经A处到B处。
手克服弹簧弹力所做的功，其大小应该等于外力F对弹簧所做的功，即为弹簧的弹性势能增加量。
由拉力F=kx画出F随x变化的图线（见图5所示），根据W=Fs知，图线与横轴所围的面积应该等于F所做的功。
有
W=
（kx1+kx2）（x2－x1）=
kx
所以Ep=
kx2
图7
说明：
①在Ep=
kx2中，Ep为弹簧的弹性势能，k为弹簧的劲度系数，x为形变量（即压缩或伸长的长度）；
本公式不要求学生掌握和使用。
②弹簧的弹性势能Ep=
kx2，是指弹簧的长度为原长时规定它的弹性势能为零时的表达式。
我们完全可以规定弹簧某一任意长度时的势能为零势能，只不过在处理问题时不方便。
在通常情况下，我们规定弹簧处在原长时的势能为零势能。
【典型例题】
[例1]如图1所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高H处自由落下，不计空气阻力，假设以桌面处为参考平面，则小球落到地面时瞬间的重力势能为（）
A.mghB.mgHC.mgh（h+H）D.－mgh
重力势能的大小是相对参考平面而言的，参考平面选择不同，物体的高度不同，重力势能的大小则不同。
本题中已选定桌面为参考平面，则小球在最高点时的高度为H，小球在桌面的高度为零，小球在地面时的高度为－h，所以小球落到地面时，它的重力势能为Ep=－mgh。
D
[例2]如图2所示，一条铁链长为2m，质量为10kg，放在水平地面上，拿住一端提起铁链：
直到铁链全部离开地面的过程中，物体克服重力做功为多少?
物体的重力势能变化了多少?
铁链从初状态到末状态，它的重心位置提高了h=
，因而物体克服重力所做的功为W=
mg=
×
9.8×
2J=98J。
铁链的重力势能增加了98J。
98J，增加了98J。
[例3]在探究出弹性势能的表达式之前，你猜测弹簧弹力所做功的表达式是怎样的形式?
弹性势能的表达式又是什么形式?
类比重力的功，重力是恒力，当物体在竖直方向发生位移△h时，重力的功是WG=－mg△h=mghl－mgh2；
因为弹簧的弹力，是一个变力，如果弹簧的伸长由x1变化到x2，弹力做的功大致的表达式可能是W=
F（x1－x2）。
弹力F与弹簧伸长量关系已经知道，F=kx，由此可以构思出弹力的功以及弹性势能的表达式。
W弹=
，Ep=
（x为弹簧形变量）
[例4]如图3所示，一个物体以速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，在此过程中以下说法正确的是（）
A.物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比
B.物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等
C.弹力做正功，弹簧的弹性势能减小
D.弹簧的弹力做负功，弹性势能增加
由功的计算公式W=Fscosθ知，恒力做功时，做功的多少与物体的位移成正比，而弹簧对物体的弹力是一个变力F=kx，所以A不正确。
弹簧开始被压缩时弹力小，弹力做的功也少，弹簧的压缩量变大时，物体移动相同的距离做的功多，故B正确。
物体压缩弹簧的过程，弹簧的弹力与弹力作用点的位移方向相反，所以弹力做负功，弹簧的压缩量增大，弹性势能增大，故C错误，D正确。
B、D
[例5]密度为ρ的湖面上浮有一个质量为m的木块，处于静止状态，如图4所示，正方体木块在液体外的部分高度为木块边长的
求将木块恰好压入液体中的过程，液体对木块的浮力所做的功是多少?
（木块边长为L）
设木块从静止位置向下运动位移x时受到的浮力是F，
则F=ρgs（
+x）=ρgL2（
+x）=
ρg+ρgL2x，木块静止时受重力和浮力平衡，所以，mg=
ρg，所以，浮力的大小为F=mg+
作出力一位移图象如图5所示。
当木块恰被压入液体中时x=
，图线与x轴包围的梯形面积就是这一过程浮力做功的数值。
由图可得面积
s=
mg
=
mgL
因为木块的位移是向下的，而浮力方向向上，所以浮力对木块做负功
W=－
mgL
[例6]如图6所示，质量相等的A、B两物体之间连接一轻弹簧，竖直放在水平地面上，今用力F缓慢向上拉A，直到B刚要离开地面，设开始时弹簧的弹性势能为Ep1，B刚要离开地面时弹簧的弹性势能为Ep2，试比较Ep1、Ep2的大小。
对于同一弹簧，其弹性势能的大小取决于它的形变量。
开始时，弹簧处于压缩状态，与原长相比，它的压缩量为△l1=
当B刚要离开地面时，弹簧处于拉伸状态，与原长相比，它的伸长量为△l2=
因为mA=mB，所以△l1=△l2。
故Ep1=Ep2。
Ep1=Ep2
【模拟试题】
1.沿着高度相同，坡度不同，粗糙程度也不同的斜面将同一物体分别从底端拉到顶端，下列说法正确的是（）
A.沿坡度小的斜面运动时物体克服重力做功多
B.沿坡度大，粗糙程度大的斜面运动物体克服重力做功多
C.沿坡度小，粗糙程度大的斜面运动物体克服重力做功多
D.不管沿怎样的斜面运动，物体克服重力做功相同，物体增加的重力势能也相同
2.一质量为m的皮球从离地面高为h1的A点下落，被地面弹起后，在离地面高为h2的E点被接住，如图1所示，求整个过程中重力所做的功。
3.如图2所示，在离地面高为H的地方将质量为m的小球以初速度v。
竖直上抛，取抛出位置所在的水平面为参考平面，则小球在最高点和落地处重力势能各多少?
小球从抛出至落地过程重力对小球做功和重力势能变化各多少?
4.如图3所示，一人造卫星绕地球作椭圆轨道运动，试比较该卫星在近地点与远地点时的重力势能大小。
5.某海湾共占面积1.0×
107m2，涨潮时水深20m，此时关上水坝闸门，可使水位保持20m不变；
退潮时，坝外水位降至18m后保持不变，假如利用此水坝建水电站，且重力势能变为电能的效率是10％，每天有两次涨潮，问该电站一天最多能发出多少电能?
（取g=l0m／s2）
6.如图4所示，有一连通器，左右两管的横截面积均为s，内盛密度为ρ的液体，开始时两管内的液面高度差为h。
若打开底部中央的阀门K，液体开始流动，最终两液面相平。
在这一过程中，液体的重力势能变化了多少?
是增加了还是减少了?
如果是减少了，减少的重力势能到哪里去了?
7.质量为m的小木球从离水面高度为h处由静止释放，落入水中后，在水中运动的最大深度是h’，最终木球停在水面上。
若木球在水中运动时，受到因运动而产生的阻力恒为Fμ，求：
（1）木球释放后的全部运动过程重力做的功是多少?
它的重力势能变化了多少?
（2）全过程中浮力对木球做了多少功?
（3）分析木球的运动情况，根据你现有的知识能否求出水的阻力Fμ对木球做的总功?
若能，请简要地说明思路。
8.举出几个利用弹性势能的事例，并分析能的转化情况。
9.关于弹性势能，下列说法正确的是（）
A.发生弹性形变的物体都具有弹性势能
B.只有弹簧在发生弹性形变时才具有弹性势能
C.弹性势能可以与其他形式的能相互转化
D.弹性势能在国际单位制中的单位是焦耳
10.关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是（）
A.当弹簧变长时。
它的弹性势能一定增大
B.当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小
C.在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大
D.弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能
11.弹弓是一种兵器，也是一种儿童玩具，它是由两根橡皮条和一个木叉制成的。
拉伸橡皮条的过程人对橡皮条做功，使其具有一定的弹性势能，放手后橡皮条的弹力做功，将储存的弹性势能转化为石子的动能，使石子以较大的速度飞出，具有一定的杀伤力。
试设计一个实验，求出橡皮条在拉伸到一定长度的过程中，弹力所做的功是多少?
橡皮条具有的弹性势能是多少?
（只要求设计可行的做法和数据处理方式，不要求得出结论。
）
12.如图5所示，在光滑水平面上有A、B两球，中间连一弹簧，A球固定。
今用手拿住B球将弹簧压缩一定距离，然后释放了B球，在B球向右运动到最大距离的过程中，
（1）
B球的加速度怎样变化?
（2）B球的速度怎样变化？
（3）弹簧的弹性势能怎样变化?
【试题答案】
1.D
重力做功与物体的运动路径无关，只与初末状态物体的高度差有关，不论是光滑路径还是粗糙路径，也不论是直线运动还是曲线运动。
物体克服重力做了多少功（重力做多少负功）它的重力势能就增加多少。
2.mg（h1－h2）
重力做功与路径无关，只与初末位置的高度差有关，由图可知，重力对皮球做了正功，所做功的大小为W=mg（h1－h2）。
3.
，－mgH，mgH，重力势能减少mgH
小球能上升到的最高点离抛出点相距h=
／2g，所以在最高点时具有重力势能Ep=mgh。
落地时小球的位置在参考平面下方H处，所以落地时小球具有重力势能Ep=－mgH。
重力做功与小球运动路径无关，小球从抛出至落地过程重力做功WG=mgH，由WG=－ΔEp得这一过程中小球重力势能变化ΔEp=－mgH，负号表示重力势能减小。
4.解析：
设A、B两点距地球的距离分别为hA和hB。
错解一：
∵EpA=mghA，EpB=mghB，hA<
hB，EpA＜EpB
错解二：
设卫星在A、B两处时的重力加速度分别为gA与gB。
则有EPA=mghA=mhA
，EPB=mghB=mhB
∵hA<
hB∴EpA>
EpB
正确解法：
在AB连线上取A’点，使A与A’同处于以地心为圆心的同一圆弧上。
则A’和A处时物体重力势能大小相等。
另外，卫星由B至A’时，引力做正功，重力势能减小，故有EPB>
EpA
错解的原因是公式Ep=mgh只能在地球表面及附近g值认为不变时才能适用，而卫星在A、B两点时的g值不同，重力势能的计算就不能用此公式了。
5.解析：
关上水坝闸门，退潮后。
坝内水位比坝外高出2m，如图所示，发电时高出部分的水通过发电机流向坝外，最终水位从20m降至18m，减少的重力势能的一部分转化为电能，由ΔEp=mgΔh可以算出减少的重力势能，从而就能算出所发的电能。
设海湾面积为S，则打开闸门流过发电站的水的体积最多为hs，h为水面高度差，水的质量为m=ρV=ρhS。
重力势能的减少量为ΔEp=mg·
ρSh2g。
一天最多发出电能为E=2×
△Ep×
10％=0.2×
ρSh2g=0.2×
1.0×
103×
107x22×
10J=4×
10l0J。
对流体类重力势能的改变，将所有流动的流体视为一个整体。
找出其重心位置的变化，本题中水位降低2m，但重心降低不是2m，而是lm。
6.重力势能减少了
h2ρgs，减少的重力势能转化为系统的内能
由于A、B两管截面积相等，液体是不可压缩的，所以B管中液面下降的高度和A管中液面上升的高度相同，液面最终静止在初始状态A管液面上方
h处。
因为物体的重力势能变化与过程无关，只与初末状态的位置有关，所以可以将过程简化，视为将B管中
h高的液柱移动到，A管中，达到液体最终静止的状态，而其他的液体的位置没有变化，对应的重力势能也没有变化，全部液体重力势能的变化，就是B管上部
h长的液柱重力势能的减少。
不难看出，B管中重力势能变化的部分液柱其重心的高度减小了△h=
h，它的重力mg=
hsρg，所以全部液体重力势能减少了｜△Ep｜=mg△h=（
hs+g）（
h）=
h2ρgs，减少的内能全部转化为系统的内能。
7.
（1）mgh
（2）0（3）水的阻力对木球做的功是－mgh
（1）因为重力做功与路径无关，只与过程初、末状态的高度有关，所以全过程尽管木球在水下做了许多往复运动，但重力所做的功由h的大小决定，即WG=mgh。
木球的重力势能减少了mgh。
（2）水对木球的浮力是一个恒力，全过程木球在浮力作用下发生的位移是零。
所以水的浮力做的功是零。
或者从球在水中的每一个往复过程研究浮力对木球做的功：
木球在水中下落时，浮力做负功，在水中上浮时浮力做等量的正功，所以木球的每一次往复运动，水的浮力对它做功都为零，全部往复运动过程，浮力做功也为零。
（3）木球先是在空中自由下落，进入水中后由于阻力（包括浮力和因运动而产生的阻力Fμ）大于重力，木球做匀减速运动，直到速度为零。
之后向上做加速运动，可能越出水面向上运动，至速度为零后再下落，但后一次在水中运动的深度将小于前一次深度，经过多次往复后，静止在水面上。
从全过程来看木球的重力势能减少了，减少的重力势能通过克服水的阻力做功而转化为内能。
根据功是能转化的量度知，球克服水的阻力Fμ做的功Wμ等于木球重力势能的减少，Wμ=mgh。
8.拉开的弓机械钟弹簧枪玩具汽车等
（1）拉开的弓，积蓄了弹性势能，放箭时弹力做功将弹性势能转化为箭的与运动有关的能量。
（2）带有发条的机械钟，人们上紧发条的过程使发条具有了弹性势能。
钟表正常摆动时，弹性势能转化为指针运动的能量。
（3）弹簧枪，玩具汽车等等。
9.A、C、D
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，都具有弹性势能，A正确；
其他物体在发生弹性形变时也具有弹性势能，故B错；
弹性势能跟重力势能一样，可以与其他形式的能相互转化，C正确；
所有能的单位跟功的单位相同，在国际单位制中的单位是焦耳，D正确。
10.C
弹簧弹性势能的大小，除了跟劲度系数k有关外，跟它的形变量（拉伸或压缩的长度）有关。
如果弹簧原来处在压缩状态，当它变长时，它的弹性势能应该先减小，在原长处它的弹性势能最小。
所以A、B、D均不对。
11.本题旨在考查学生对探究方法的理解水平，从目标着眼根据实际问题的特殊性设计构思实验的能力，考查学生对物理图象的理解和微积分思想在处理图象问题中的运用。
本题的解答过程还有许多值得思考的问题：
如用F一x图象能否求出外力克服弹力所做的功；
图象与x轴包围的面积为什么是外力的功；
此曲边几何形状的面积如何求得或测得等。
同学们可继续探究。
（1）准备橡皮条、测力计、坐标纸、铅笔、直尺等。
（2）将橡皮条的一端固定，另一端拴一绳扣。
（3）用直尺从橡皮条的固定端开始测量橡皮条的原长x0，记录在表格中。
（4）用测力计挂在绳扣上，测出在不同拉力F1、F2、F3…的情况下橡皮条的长度x10、x20、x30……
（5）计算出在不同拉力时橡皮条的伸长量x1、x2、x3
（6）以橡皮条的伸长量为横坐标，以对应的拉力为纵坐标在坐标纸上建立坐标系、描点，并用平滑的曲线作出F—x图。
（7）测量曲线与x轴包围的面积s，这个面积在数值上等于外力克服橡皮条的弹力所做的功。
也就是弹力所做负功的数值。
12.
（1）加速度先减小到零后再反向增大。
（2）速度先增大后减小。
（3）弹簧的弹性势能先减小后增大。
小球从开始到弹簧恢复原长的过程中，B球由于受到向右的弹力作用，小球的速度在增大。
但受到向右的弹力在减小，所以加速度减小，弹簧的弹性势能减小。
B球从原长继续向右运动的过程中，由于受到向左的拉力，小球的速度在减小，但受到向左的拉力在增大，所以加速度增大，弹簧的弹性势能在增大。
【励志故事】
毛毛虫过河
有一道脑筋急转弯题：
一条毛毛虫要到河对岸去，可是没有桥，没有船，毛毛虫怎样过去呢？
答案出人意料，却又在情理之中：
毛毛虫变成了蝴蝶，它飞过河去了。
做毛毛虫时几乎是绝不可想象的事，变成了蝴蝶，轻而易举地就可以办到了。
有没有一些困难在你面前，让你以为自己是绝对无法克服的？
少一些怨天尤人，少一些悲观失望，耐心地等待时机，想办法充实自己提高自己。
困难就好比毛毛虫面前的那条河，当自己从毛毛虫变成蝴蝶时，就可以轻松逾越了。
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