高考数学一轮复习 专题35 一元二次不等式及其解法教学.docx

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高考数学一轮复习专题35一元二次不等式及其解法教学

专题35一元二次不等式及其解法

1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；

2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；

3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．

1．“三个二次”的关系

判别式Δ＝b2－4ac

Δ>0

Δ＝0

Δ<0

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a>0）的根

有两相异实根x1，x2（x1

有两相等实根x1＝x2＝－

没有实数根

ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集

{x|xx2}

{x|x≠x1}

{x|x∈R}

ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集

{x|x1

∅

∅

2.（x－a）（x－b）>0或（x－a）（x－b）<0型不等式的解法

不等式

解集

a

a＝b

a>b

（x－a）·（x－b）>0

{x|xb}

{x|x≠a}

{x|xa}

（x－a）·（x－b）<0

{x|a

∅

{x|b

口诀：

大于取两边，小于取中间．

高频考点一　一元二次不等式的求解

例1、求不等式－2x2＋x＋3<0的解集．

【解析】　化－2x2＋x＋3<0为2x2－x－3>0，

解方程2x2－x－3＝0得x1＝－1，x2＝，

∴不等式2x2－x－3>0的解集为（－∞，－1）∪（，＋∞），

即原不等式的解集为（－∞，－1）∪（，＋∞）．

【变式探究】解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax（x∈R）.

【方法规律】含有参数的不等式的求解，往往需要比较（相应方程）根的大小，对参数进行分类讨论：

（1）若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；

（2）若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；

（3）其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.

【举一反三】求不等式12x2－ax＞a2（a∈R）的解集．

【解析】　∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0，

即（4x＋a）（3x－a）＞0，令（4x＋a）（3x－a）＝0，

得：

x1＝－，x2＝.

①a＞0时，－＜，解集为；

②a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；

③a＜0时，－＞，解集为.

综上所述，当a＞0时，不等式的解集为

；

当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；

当a＜0时，不等式的解集为.

高频考点二　一元二次不等式恒成立问题

例2、若一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（　　）

A.（－3，0]B.[－3，0）C.[－3，0]D.（－3，0）

【答案】　D

【变式探究】设函数f（x）＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f（x）<－m＋5恒成立，求m的取值范围．

【解析】　要使f（x）<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即

m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．

有以下两种方法：

方法一　令g（x）＝m2＋m－6，x∈[1,3]．

当m>0时，g（x）在[1,3]上是增函数，

所以g（x）max＝g（3）⇒7m－6<0，

所以m<，所以0

当m＝0时，－6<0恒成立；

当m<0时，g（x）在[1,3]上是减函数，

所以g（x）max＝g

（1）⇒m－6<0，所以m<6，所以m<0.

综上所述：

m的取值范围是{m|m<}．

方法二　因为x2－x＋1＝2＋>0，

又因为m（x2－x＋1）－6<0，所以m<.

因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．

所以，m的取值范围是.

【举一反三】设函数f（x）＝mx2－mx－1（m≠0），若对于x∈[1，3]，f（x）＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________.

【答案】　

当m＜0时，g（x）在[1，3]上是减函数，

所以g（x）max＝g

（1）＝m－6＜0.

所以m＜6，所以m＜0.

综上所述，m的取值范围是.

法二　因为x2－x＋1＝＋＞0，

又因为m（x2－x＋1）－6＜0，所以m＜.

因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m＜即可.

因为m≠0，所以m的取值范围是

.

【感悟提升】

（1）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．

（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．

【变式探究】

（1）若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A.[－1，4]B.（－∞，－2]∪[5，＋∞）

C.（－∞，－1]∪[4，＋∞）D.[－2，5]

（2）已知函数f（x）＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是______.

【答案】　

（1）A　

（2）

高频考点三　一元二次不等式的应用

例3、某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成＝10%），售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．

（1）设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f（x），并写出定义域；

（2）若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围．

【解析】　

（1）由题意得，y＝100·100.

因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0.

所以y＝f（x）＝40（10－x）（25＋4x），定义域为x∈[0,2]．

（2）由题意得40（10－x）（25＋4x）≥10260，

化简得8x2－30x＋13≤0.解得≤x≤.

所以x的取值范围是.

【感悟提升】求解不等式应用题的四个步骤

（1）阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．

（2）引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．

（3）解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．

（4）回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．

【变式探究】某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x（0

（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？

1.【2015高考山东，理5】不等式的解集是（）

（A）（-，4）（B）（-，1）（C）（1，4）（D）（1，5）

【答案】A

【解析】原不等式同解于如下三个不等式解集的并集;

解（I）得：

解（II）得：

解（III）得：

所以，原不等式的解集为.故选A.

2.【2015高考江苏，7】不等式的解集为________.

【答案】

【解析】由题意得：

，解集为

3．（2014·全国卷）设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝（　　）

A．（0，4]B．[0，4）

C．[－1，0）D．（－1，0]

【答案】B　

【解析】因为M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1

4．（2014·新课标全国卷Ⅱ]设函数f（x）＝sin，若存在f（x）的极值点x0满足x＋[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（　　）

A．（－∞，－6）∪（6，＋∞）

B．（－∞，－4）∪（4，＋∞）

C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

【答案】C　

5．（2013·安徽卷）已知一元二次不等式f（x）<0的解集为

x<－1或x>，则f（10x）>0的解集为（　　）

A．{x|x<－1或x>－lg2}

B．{x|－1

C．{x|x>－lg2}

D．{x|x<－lg2}

【答案】D　

【解析】根据已知可得不等式f（x）>0的解是－1

6．（2013·广东卷）不等式x2＋x－2<0的解集为________．

【答案】{x|－2

【解析】x2＋x－2＝（x＋2）（x－1）<0，解得－2

7．（2013·四川卷）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2－4x，那么，不等式f（x＋2）<5的解集是________．

【答案】（－7，3）　

8．（2013年高考全国新课标卷Ⅰ）已知函数f（x）＝若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（　　）

A．（－∞，0]B．（－∞，1]

C．[－2,1]D．[－2,0]

【答案】D

【解析】：

当x≤0时，f（x）＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1≤0，所以|f（x）|≥ax化简为x2－2x≥ax，即x2≥（a＋2）x，因为x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；当x>0时，f（x）＝ln（x＋1）>0，所以|f（x）|≥ax化简为ln（x＋1）>ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f（x）|≥ax恒成立，选择D.

1．不等式（x－1）（2－x）≥0的解集为（　　）

A．{x|1≤x≤2}B．{x|x≤1或x≥2}

C．{x|12}

【答案】　A

【解析】　由（x－1）（2－x）≥0可知（x－2）（x－1）≤0，

所以不等式的解集为{x|1≤x≤2}．

2．已知函数f（x）＝

则不等式f（x）≥x2的解集为（　　）

A．[－1,1]B．[－2,2]

C．[－2,1]D．[－1,2]

【答案】　A

3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是（　　）

A．{a|0

C．{a|0

【答案】　D

【解析】　由题意知a＝0时，满足条件．

a≠0时，由

得0

4．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于（　　）

A．－3B．1

C．－1D．3

【答案】　A

【解析】　由题意，A＝{x|－1

则不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|－1

由根与系数的关系可知，a＝－1，b＝－2，

所以a＋b＝－3，故选A.

5．设a>0，不等式－c

A．1∶2∶3B．2∶1∶3

C．3∶1∶2D．3∶2∶1

【答案】　B

6．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．（－2,2]B．（－2,2）

C．（