济南 数学 学考传奇 专题二.docx

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济南数学学考传奇专题二

专题类型突破

专题二　探索规律问题

类型一数式规律

命题角度❶　数字规律探索

（2018·泰安中考）观察“田”字中各数之间的关系：

【分析】依次观察每个“田”中相同位置的数字，即可找到数字变化规律，再观察同一个“田”中各个位置的数字数量关系即可．

【自主解答】

解数式规律型问题的一般方法

（1）当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正数列、奇数列、偶数列还是正整数列经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果；

（2）当数字是分数和整数结合时，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律；（3）当所给的代数式含有系数时，先观察其每一项的系数之间是否有自然数列、正整数列、奇数列、偶数列或交替存在一定的对称性，然后观察其指数是否存在相似的规律，最后将系数和指数的规律结合起来求得结果．

1．（2017·百色中考）观察以下一列数的特点：

0，1，－4，9，－16，25，…，则第11个数是（）

A．－121B．－100C．100D．121

2．（2018·槐荫区二模）把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：

（2（4，6，8（10，12，14，16，18（20，22，24，26，28，30，32），…，现用等式AM＝（i，j）表示正偶数M是第i组第j个数（从左往右数），如A8＝（2，3），A12＝（3，2），则A2018＝．

3．（2018·枣庄中考）将从1开始的连续自然数按如下规律排列：

…

则2018在第________行．

命题角度❷　数字循环类规律探索

（2018·成都中考）已知a＞0，S1＝，S2＝－S1－1，S3＝，S4＝－S3－1，S5＝，…（即当n为大于1的奇数时，Sn＝；当n为大于1的偶数时，Sn＝－Sn－1－1），按此规律，S2018＝__________．

【分析】根据Sn数的变化找出Sn的值每6个一循环，结合2018＝336×6＋2，此题得解．

【自主解答】

数字循环类规律题就是几个数循环出现，解决此类问题时，一般是先求出前几个数，再观察其中隐含的规律，若和序号有关，则第n个数用含n的式子表示，用n除以循环出现的数的个数，找出余数即可找到对应的结果．

4．（2017·岳阳中考）观察下列等式：

21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…，根据这个规律，则21＋22＋23＋24＋…＋22017的末位数字是（）

A．0B．2C．4D．6

5．（2016·枣庄中考改编）一列数a1，a2，a3，…满足条件：

a1＝，an＝（n≥2，且n为整数），则a2019＝________．

命题角度❸　等式规律探索

（2018·滨州中考）观察下列各式：

＝1＋，

＝1＋，

＝1＋，

…

请利用你所发现的规律，

计算＋＋＋…＋，其结果为________．

【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．

【自主解答】

探索等式规律的一般步骤

（1）标序数；

（2）对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数（1，2，3，4，…，n）之间的关系，把其隐含的规律用含序数的式子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系；（3）根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验．

6．（2018·黔南州中考）根据下列各式的规律，在横线处填空：

＋－1＝，＋－＝，＋－＝，＋－＝…，＋－________＝.

7．（2018·安徽中考）观察以下等式：

第1个等式：

＋＋×＝1，

第2个等式：

＋＋×＝1，

第3个等式：

＋＋×＝1，

第4个等式：

＋＋×＝1，

第5个等式：

＋＋×＝1，

…

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：

________；

（2）写出你猜想的第n个等式：

________（用含n的等式表示），并证明．

类型二点的坐标规律

（2018·东营中考）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y＝x＋b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A1（1，1），那么点A2018的纵坐标是________.

【分析】因为每个A点为等腰直角三角形的直角顶点，则延长直线交x轴、y轴于点N，M，构造直角三角形MNO，作出各点A垂直于x轴，利用三角函数值求出各点A的纵坐标，找出规律可求解．

【自主解答】

根据图形寻找点的坐标的变换特点，这类题目一般有两种考查形式：

一类是点的坐标变换在直角坐标系中递推变化；另一类是点的坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化．解决这类问题可按如下步骤进行：

（1）根据图形点坐标的变换特点确定属于哪一类；

（2）根据图形的变换规律分别求出第1个点，第2个点，第3个点的坐标，找出点的坐标与序号之间的关系，归纳得出第M个点的坐标与变换次数之间的关系；（3）确定第一类点的坐标的方法：

根据

（2）中得到的倍分关系，得到第M个点的坐标；确定第二类点坐标的方法：

先找出循环一周的变换次数，记为n，用M÷n＝ω……q（0≤q＜n），则第M次变换与每个循环中第q次变换相同，再根据

（2）中得到的第M个点的坐标与变换次数的关系，得到第M个点的坐标．

8．（2015·济南中考）在平面直角坐标系中有三个点A（1，－1），B（－1，

－1），C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点为P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A，B，C为对称中心重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2015的坐标是（　　）

A．（0，0）B．（0，2）

C．（2，－4）D．（－4，2）

9．（2018·历城区二模）把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为（0，1），∠ABO＝30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2垂直且交y轴于点B3；…，按此规律继续下去，则点B2018的坐标为．

10．（2018·威海中考）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，2），以点O为圆心，以OA1长为半径画弧，交直线y＝x于点B1.过B1点作B1A2∥y轴，交直线y＝2x于点A2，以点O为圆心，以OA2长为半径画弧，交直线y＝x于点B2；过点B2作B2A3∥y轴，交直线y＝2x于点A3，以点O为圆心，以OA3长为半径画弧，交直线y＝x于点B3；过B3点作B3A4∥y轴，交直线y＝2x于点A4，以点O为圆心，以OA4长为半径画弧，交直线y＝x于点B4，…，按照如此规律进行下去，点B2018的坐标为

类型三图形累加型变化规律

（2017·潍坊中考）如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为________个．

【分析】根据题中正方形和等边三角形的个数找出规律，进而可得出结论．

【自主解答】

找图形累加型变化规律的一般步骤

（1）写序号，记每组图形的序数为“1，2，3，…n”；

（2）数图形个数，在图形数量变化时，要数出每组图形表示的个数；

（3）寻找图形数量与序数n的关系，若当图形变化规律不明显时，可利用图示法，即针对寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差（商）来观察是否有恒等量的变化，然后按照定量变化推导出第n个图形的个数．

11．（2018·重庆中考）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（）

A．11B．13C．15D．17

11．（2018·自贡中考）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有______________个○.

类型四图形成倍递变型变化规律

（2017·绥化中考）如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积为________．

【分析】记原来三角形的面积为S，第一个小三角形的面积为S1，第二个小三角形的面积为S2，…，求出S1，S2，S3，探究规律后即可解决问题．

【自主解答】

对于求面积规律探索问题的一般步骤：

（1）根据题意可得出第一次变换前图形的面积S；

（2）通过计算得到第一次变换后图形的面积，第二次变换后图形的面积，第三次变换后图形的面积，归纳出后一个图形的面积与前一个图形的面积之间存在的倍分关系；（3）根据找出的规律，即可求出第M次变换后图形的面积．

13．（2018·潍坊中考）如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：

y＝x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；….按此作法进行下去，则的长是________．

参考答案

类型一

【例1】观察“田”字中各数之间的关系得：

左上角数字为连续的正奇数；左下角数字为2的整数指数幂；右下角数字则为左上角与左下角两数字的和；右上角的数字为右下角数字与1的差．故此，可知a＝28＝256，b＝15＋256＝271，c＝271－1＝270.故答案为270.

变式训练

1．B　2.（32，48）　3.45

【例2】∵S1＝，S2＝－S1－1＝－－1＝－，S3＝＝－，S4＝－S3－1＝－1＝－，S5＝＝－（a＋1），S6＝－S5－1＝（a＋1）－1＝a，S7＝＝，…，

∴Sn的值每6个一循环．

∵2018＝336×6＋2，∴S2018＝S2＝－.

故答案为－.

变式训练

4．B　5.－1

【例3】＋＋

＋…＋

＝1＋＋1＋＋1＋＋…＋1＋

＝1×9＋1－＋－＋－＋…＋－

＝9＋1－

＝9.

故答案为9.

变式训练

6.　

7．解：

（1）＋＋×＝1

（2）根据题意，第n个分式分母分别为n和n＋1，分子分别为1和n－1，

故答案为＋＋×＝1.

证明：

＋＋×＝＝＝1，∴等式成立．

类型二

【例4】∵A1（1，1）在直线y＝x＋b上，

∴b＝，∴直线表达式为y＝x＋.

设直线与x轴、y轴的交点坐标分别为点N，M.

当x＝0时，y＝；

当y＝0时，x＋＝0，

解得x＝－4，

∴点M，N的坐标分别为M（0，），N（－4，0），

∴tan∠MNO＝＝＝.

如图，作A1C1⊥x轴于点C1，A2C2⊥x轴于点C2，A3C3⊥x轴于点C3.

∵A1（1，1），OB1＝2A1C1＝2，

∴tan∠MNO＝＝＝＝，

∴A2C2＝.

同理，A3C3＝＝（）2，A4C4＝＝（）3，…

依此类推，点A2018的纵坐标是（）2017.

故答案为（）2017.

变