线型函数及二次函数Word文件下载.docx

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設a、b為常數，則y=f（x）=ax+b所表示的函數叫做線型函數。

5.線型函數圖形之討論：

設y=ax+b，其中a、b為常數，

（1）若a≠0稱為一次函數。

b≠0，圖形為不通過原點的斜直線。

b=0，圖形為通過原點的斜直線。

（2）若a=0稱為常數函數。

b≠0，圖形為平行x軸的直線。

b=0，圖形為x軸本身。

（3）若圖形通過原點，則常數項等於0。

6.二次函數：

設a、b、c為常數且a≠0，則y=f（x）=ax2+bx+c所表示的函數叫做二次函數，其圖形為拋物線。

7.畫二次函數圖形的步驟：

（1）利用配方法或公式法找出圖形的頂點坐標。

（2）描點（至少五點），再以平滑曲線連接。

8.二次函數的基本概念：

（1）二次函數其圖形為軸對稱的拋物線圖形。

（2）若平方項係數為正，則開口向上；

若平方項係數為負，則開口向下。

（3）若平方項係數的絕對值較大，則開口較小；

若平方項係數的絕對值較小，則開口較大。

（4）y=（x-h）2的圖形是將y=x2向右平移h單位長。

（5）y=x2+k的圖形是將y=x2向上平移k單位長。

（6）y=（x-h）2+k的圖形是將y=x2向右平移h單位長，再向上平移k單位長。

（7）二次函數y=a（x-h）2+k（a≠0）的頂點坐標為（h，k），對稱軸方程式為x=h。

9.由係數判別圖形：

二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），其頂點坐標為（-

，-

），

對稱軸方程式為x=-

。

（1）若a＞0，則開口向上。

（2）若a＜0，則開口向下。

（3）若b≠0，則頂點不在y軸上。

（4）若b=0，則頂點在y軸上。

（5）若c≠0，則圖形不通過原點。

（6）若c=0，則圖形通過原點。

（7）若b=c=0，則頂點在原點。

10.由圖形判別係數：

設二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），

（1）a：

由開口方向決定。

開口向上a＞0；

開口向下a＜0。

（2）b：

由頂點的x坐標決定。

（3）c：

由圖形與y軸交點決定。

例：

如右圖試判斷a、b、c的正負值

解：

因為開口向上所以a＞0

>

0，又a＞0，所以b＜0

與y軸交於正向，所以c＞0

11.二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸、y軸交點坐標求法：

（1）與x軸交點坐標求法：

令y=0。

（2）與y軸交點坐標求法：

令x=0。

（3）拋物線與x軸不一定有交點，但與y軸一定有交點，其交點坐標為（0，c）。

12.二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖形與x軸之關係：

（1）若b2-4ac＞0，則拋物線與x軸交於相異兩點A、B。

A點坐標為（

，0）

B點坐標為（

的中點坐標為（-

，0），

=

（2）若b2-4ac=0，則拋物線與x軸相交於一點（相切），其交點坐標為（-

，0）。

（3）若b2-4ac＜0，則拋物線與x軸沒有交點。

若a＞0且b2-4ac＜0，則圖形全部在x軸的上方。

若a＜0且b2-4ac＜0，則圖形全部在x軸的下方。

13.二次函數的假設法：

（1）若二次函數通過A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）三點，則設此二次函數為y=ax2+bx+c。

（2）若二次函數的頂點為（a，b），又經過C（x1，y1），則設此二次函數為y=k（x-a）2+b。

14.二次函數最大值與最小值的求法：

（1）配方法：

當a＞0時，將原式化為y=a（x-h）2+k≥k。

則當x=h時，y有最小值k，圖形最低點為（h，k）。

當a＜0時，將原式化為y=a（x-h）2+k≤k。

則當x=h時，y有最大值k，圖形最高點為（h，k）。

（2）公式法：

若二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）

設a＞0時，則當x=-

時，y有最小值-

設a＜0時，則當x=-

時，y有最大值-

15.兩正數和一定時，則當兩數相等時，其乘積為最大，其平方和為最小。

16.設A（a）、B（b）為數線上相異兩點，若P（x）是數線上任一點，則當x=

時，

有最小值。

貳、例題

例1.函數y=（k2+k-6）x2+（k2-3k+2）x+（k2-4），若

（1）圖形為通過原點之直線，則k=？

（2）函數為一次函數，則k=？

（3）函數為常數函數，則k=？

（4）圖形為通過原點之拋物線，則k=？

例2.

，試求f（-2）+f（10）+f（-10）=？

例3.f（x）=

，試求f

（2）+f（5）=？

例4.y=x2-3x+2，則下列敘述何者為真？

（A）當1<

x<

2時，y<

0（B）當x>

2或x<

1時，y<

（C）當3<

5時，y>

0（D）x為任意實數時，y>

0恆成立

例5.說出下列各二次函數開口的方向，並比較開口的大小。

（1）y=-x2

（2）y=

x2（3）y=3x2+1（4）y=-

x2-2

例6.將函數y=-3x2的圖形向左平移1個單位，再向上平移3個單位，求新圖形之函數。

例7.y=2x2的圖形向右平移3單位，再向下平移1單位，所得新方程式為？

例8.下面哪一個圖形與y=3x2的圖形相同？

（A）y=-3（x+2）2+1（B）y=-

x2+2x+5（C）y=（x+2）（3x+1）

（D）y=-3x2+5x（E）y=2x2

例9.下列各圖為二次函數y=ax2+bx+c之圖形。

設D=b2-4ac，試判別a、b、c、D的正、負或零。

（1）

（2）

例10.下列各圖為二次函數y=ax2+bx+c之圖形。

例11.y=x2-4x+5的圖形為一拋物線，則：

（1）對稱軸方程式

（2）頂點座標（3）與Y軸交點座標（4）與X軸交點有幾個？

例12.二次函數y=

（x-2）2-2的圖形與x軸的交點座標為？

與y軸的交點座標為？

例13.二次函數y=x2+2x-3的圖形，與x軸交於A、B兩點；

與y軸交於C點，試求ABC之面積？

例14.直線y=9與拋物線y=x2相交於A、B兩點，則

=？

例15.二次函數y=（a-1）x2-2x+1，若其圖形與x軸交於兩點，則a之範圍為？

例16.二次函數y=4x2+12x+k，若其圖形與x軸交於一點，則k=？

交點座標為？

【答：

9、（

，0）】

例17.二次函數y=x2+2x+k，若其圖形全部在x軸之上方，則k之範圍為？

例18.拋物線y=ax2+bx+c通過（-3，0）、（0，2）、（1，0）三點，則a=？

b=？

c=？

、

、2】

例19.二次函數y=ax2+bx+1的最高點座標為（-1，2），則a+b=？

-3】

例20.若A為二次函數y=-x2+8x-7的最高點，而B、C為二次函數與x軸的兩個交點，則ABC的面積為？

27平方單位】