线性代数课后习题答案范文word版 23页Word文件下载.docx

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k）;

不能使变量k得到正确数值的原因是:

中的格式控制类型与变量k的定义类型不匹配，应将％d改为％f.

习题4答案

选择题

1．B2．A3．B4．B5．C6．B阅读程序，写结果

7．128．139．*0**2*10.

if（s>

=90）m=4;

elseif（s>

=80）m=3;

elseif（s>

=70）m=2;

=60）m=1;

elsem=0;

11.输入4个整数a,b,c,d，编写程序，将它们按从大到小顺序输出。

#include<

main（）

{inta,b,c,d,t;

%d%d%d%d"

a,&

b,&

c,&

d）;

if（a<

b）{t=a;

a=b;

b=t;

}if（a<

c）{t=a;

a=c;

c=t;

d）{t=a;

a=d;

d=t;

}if（b<

c）{t=b;

b=c;

d）{t=b;

b=d;

}if（c<

d）{t=c;

c=d;

}

%4d%4d%4d%4d"

a,b,c,d）;

12.据所输入的3条边长值，判断它们能否构成三角形，如能构成，再判断是等腰三角形、直角三角形还是一般三角形？

源程序：

#include<

#include"

math.h"

{floata,b,c,s,area;

%f%f%f"

c）;

if（（a+b>

c）&

（a+c>

b）&

（b+c>

a）&

（fabs（a-b）<

（fabs（a-c）<

（fabs（b-c）<

a））

{

if（a==b&

b==c）

等边三角形"

）;

elseif（a==b||b==c||a==c）printf（"

等腰三角形"

elseif（（a*a+b*b==c*c）||（a*a+c*c==b*b）||（b*b+c*c==a*a））printf（"

直角三角形"

elseprintf（"

一般三角形"

不能组成三角形"

13.输入一个整数，如果能被3，4，5同时整除，则输出“YES”，否则输出“NO”。

main（）{intt,flag;

%d"

t）;

if（t%3==0&

t%4==0&

t%5==0）printf（"

YES"

else

NO"

14.输入年号，判断是否为闰年。

判别闰年的条件是：

能被4整除但不能被100整除，或者能被400整除。

{intyear;

inputtheyear:

year）;

if（year%4==0&

year%100!

=0||year%400==0）printf（"

%disleapyear\n"

year）;

else

%dis'

tleapyear\n"

15.编写程序。

根据以下函数关系，对输入的每个x值进行计算，并输出相应的y值。

{doublex,y;

scanf（"

%lf"

x）;

if（x>

10）y=3*x+10;

elseif（x>

1）y=x*x+2*x;

篇二：

线性代数练习题（带解题过程）

线性代数试题

一填空题

◆1．设A为3阶方阵且A?

2，则3A

2A?

；

**【分析】只要与A有关的题，首先要想到公式，AA?

AA?

E，从中推你要的结论。

这里A?

AA*?

1代入

1A3A?

（?

1）3A?

注意：

为什么是（?

1）3

◆2．设?

2,?

3,?

1，

如?

1,?

3线性相关，则?

3线性______（相关）

3线性无关，则?

3线性______（无关）

【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘

法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。

101?

3]?

110?

，记此为B?

011?

这里r（B）?

r（AK）?

r（A），

切不可两边取行列式！

！

因为矩阵不一定是方阵！

你来做下面的三个题：

（1）已知向量组?

m（m?

2）线性无关。

设

m,?

试讨论向量组?

m的线性相关性。

（答案：

m为奇数时无关，偶数时相关）

（2）已知?

3线性无关，试问常数m,k满足什么条件时，向量组

1,m?

线性无关？

线性相关？

当mk?

1时，无关；

1时，相关）

（3）教材P103第2（6）题和P110例4和P113第4题

◆3．设非齐次线性方程Am?

4x?

b，r（A）?

2，?

3是它的三个解，且

（3,4,6,7）T,?

（1,2,3,4）T,?

（2,3,4,5）T

求该方程组的通解。

唯一）

【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数）

是多少，通解是如何构造的。

其次要知道解得性质。

你再做教材P147第3题

◆4．当k?

时，?

（1,k,5）能由?

（1,?

3,2）,?

（2,?

1,1）线性表示

（答案k?

8）

【分析】一个向量能否用一个向量组表示的问题，可转化为非齐次方程组有无解的问题。

你来做：

设?

1,t?

2）T，?

（t?

1,1,1）T，?

（1,t?

1,1）T，?

（1,1,t?

1）T，

问t为何值时，?

不能由?

3线性表示；

能由?

3线性表示且表法唯一；

3线性表示且表法无穷多并写出所有的表示方法。

注意：

关于含参数的方程组求解，如果系数矩阵是方阵，用行列式的方法往往简单，如

果不是方阵只有用初等行变换的方法了。

◆5．设?

1（2,3,5,6）T?

k1（1,1,1,1）T?

k2（1,1,2,2）T，形式不21

3（1,1,1）T，求?

3使Q?

为正交矩阵

【分析】求与一个向量正交的问题，就是解方程组的问题

1Tx?

当然要根据题之要求，还要使用Schimidt正交化，单位化过程（答案：

详见教材P117例3，还要再单位化）

你写一写

正交矩阵的充要条件有哪些，如果给你两个正交向量求一个向量与它们都正交

你也应该会！

二选择题

◆1．设A,B为满足AB?

0的两个非零矩阵，则必有

（A）A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关

（B）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关

（C）A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关

（D）A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关

【分析】遇到Am?

nBn?

0，就要想到r（A）?

r（B）?

n以及B的列向量均是线性方程组

Ax?

0的解。

另外：

遇到C?

AB要想到C的列组都是A的列组的线性组合，C的行组都是B的行组

的线性组合。

从这个角度也可做此题，你来想想。

◆2．设r（Am?

n）?

n，则（）（多选）。

（Ａ）A?

[Em,O]

（Ｂ）A?

n（Ｃ）对?

R，Ax?

b必有无穷多解rc

（Ｄ）若BA?

OT（Ｅ）AA?

0（答案:

B,C,D,E）

【分析】

（I）（A）和（B）是化标准形的问题。

这里A是行满秩矩阵，必有m阶子式非零，这个

m阶子式所在的行就是A的所有的行，只用列变换可把它所在的m列调到前面来

CA?

[Bm?

m,C]

此时B是非奇异矩阵，可只用列变换化为单位矩阵，然后用此单位矩阵只用列变换把后面的矩阵C消为零。

故（B）是对的。

（A）不对。

（II）对于（C）要知道，如果A是行满秩矩阵，则Ax?

b一定是有解的，这是因

为m?

r（Am?

n,b）?

r（A）?

r（A,b）

至于是否有唯一解还是有无穷多解还要把增广矩阵的秩（即独立方程组的个数）与未知数的个数（即A的列数比较），由题设r（Am?

n，故有无穷多解（C）也是对的。

（III）对于（D）这是书上定理AX?

O只有零矩阵解的充要条件是A是列满矩阵的

变形BA?

AB?

O这里A是列满秩,故（D）也是对的。

（IV）对于（E）要了解形如AA的是一个非常重要的矩阵，你必须知道这两个结

TT论一是AA是一个对称半正定的矩阵（这用x（AA）x?

0是很容易证明的），二

T是r（A）?

r（AA）（这是书上的例题）。

用第二个结论立即知AA可逆（实际上是TTTTTT

对称正定）的充要条件是A是列满秩。

这样就（E）是对的。

对于Am?

m型的矩阵，如果m?

n，一定有Am?

0（这是因为

，记忆方法：

高的矩阵乘矮的矩阵一定不可逆的（如r（Am?

m）?

m）

果是方阵的话）

◆3．设A为n阶可逆矩阵（n?

2），交换A的第1行与第2行得矩阵B，则（）

（Ａ）交换A的第１列与第２列得B（Ｂ）交换A的第１行与第２行得B

（Ｃ）交换A的第１列与第２列得?

B（Ｄ）交换A的第１行与第２行得?

【分析】对于此类题你不仅要熟悉伴随矩阵的运算还要熟悉初等矩阵的性质。

交换A和第1

行和第2行得B，则有E（i,j）A?

B（左行右列原则），从而?

B，由此关系找A与B的关系：

**********

B*?

BB?

1E（i,j）?

A*E（i,j）

由此知（C）是对的。

◆4．设A为方阵，?

2是齐次线性方程组Ax?

0的两个不同的解向量，则（）是

A的特征向量

（A）?

1与?

2，（B）?

2，（C）?

2，（D）（A）、（B）、（C）都是

【分析】齐次方程组有有两个不的解，当然必有非零解，从而必有特征值0，对应的特征向

量就是其非零解。

这里要选（C）才能保证是非零的。

把此题变化一下：

0的两个不同的解向量，r（Am?

则（）是Ax?

0的基础解系。

1（B）?

2，（D）?

相似的矩阵是（）◆5．与矩阵?

B）?

100?

111?

（B）?

，?

（D）?

（A）010，（C）010，?

002?

12?

【分析】首先相似矩阵有相同的特征值，都是1（二重）和2（单重），如有不是的就该排除，

这里没有。

这就要靠矩阵可对角化的充要条件是任一特征值的重数等于它所对应的

无关特征向量的个数（也称几何重数）去判别。

即ni?

r（?

iE?

A）亦即

，只需考虑多r（?

A）?

ni，对于单重的不需要考虑（这是为什么？

）

重的。

这里只需考虑r（1?

A）

三计算题?

122?

222?

◆1．计算行列式Dn?

223?

提示此行列式特点是对角元不等，其余相等。

每一行减第一行。

你还有更好的方法吗。

答案?

（n?

2）!

评注关于行列式的计算重点掌握化三角形，以及特殊分块行列式的计算

◆2．解矩阵方程?

（A）*?

XA?

2AX?

12E?

1其中A?

02030000?

10?

，求X2?

提示先化简方程为：

X（4E?

2A）?

12E

40?

20答案X?

00?

评注关于解矩阵方程一定要先化简，变为如下形式之一

AX?

B,XA?

B,AXB?

主要考察矩阵的基本运算，矩阵求逆等知识。

注意左乘还右乘的关系，这是同学们最容易错的。

◆3．设向量组

1,2,3,4?

（2,3,4,5）T,?

（3,4,5,6）T,?

（4,5,6,7）TT

求此向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。

篇三：

《线性代数》课后习题答案（陈维新）

第一章行列式

习题1.1

1.证明：

（1）首先证明Q（3）是数域。

因为Q?

Q（3），所以Q（3）中至少含有两个复数。

任给两个复数a1?

b13,a2?

b23?

Q（3），我们有

（a1?

b13）?

（a2?

b2（a1?

b13）（a2?

3）?

a2）?

（b1?

b2）33）?

b2）3

。

（a1a2?

3b1b2）?

（b1a2?

a1b2）3

因为Q是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以

b2）3?

Q（3）3）?

Q（3）

a1b2）3?

如果a2?

0，则必有a2,b2不同时为零，从而a2?

0。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以a1?

b13a2?

b23

b23）（a2?

b23）

3b1b2）a?

a1b2）a?

综上所述，我们有Q（3）是数域。

（2）类似可证明Q（

p）是数域，这儿p是一个素数。

（3）下面证明：

若p,q为互异素数，则Q（p）?

Q（q）。

（反证法）如果Q（p）?

Q（q），则?

a,b?

（

p）?

（a?

qb）?

2ab

bq，从而有

q。

由于上式左端是有理数，而q是无理数，所以必有2abq?

所以有a?

0或b?

如果a?

0，则p?

qb，这与p,q是互异素数矛盾。

如果b?

0，则有p?

a，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。

所以假设不成立，从而有Q（p）?

同样可得Q（q）?

Q（p）。

（4）因为有无数个互异的素数，所以由（3）可知在Q和?

之间存在无穷多个不同的数域。

2.解：

（1）P（?

1）是数域，证明略（与上面类似）。

（2）Q（?

1）就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。

而?

1）?

C（?

复数域。

（3）Z（?

1）不是数域，这是因为他关于除法不封闭。

例如

Z（?

1）。

3.证明：

（1）因为F,K都是数域，所以Q?

F,Q?

K，从而Q?

K。

故F?

K含

有两个以上的复数。

任给三个数a,b?

K,0?

K，则有a,b,c?

F且a,b,c?

因为F,K是数域，所以有a?

b,ab,所以F?

K是数域。

（2）F?

K一般不是数域。

例如F?

（2）,K?

Q（3），我们有2,3?

K，但是6?

23?

F且a?

b,ab,

所以a?

习题1.2

项a23a31a42a56a14a65的符号为（?

1）

（234516）?

（312645）

习题1.3

11?

aij?

1．证明：

根据行列式的定义=

j1j2?

（j1j2?

jn）

a1j1a2j2?

anjn

=0。

所以上式中（-1）的个数和（+1）的个数一样多，（-1）是由奇排列产生的，而（+1）是由偶排列产生的。

同时根据行列式的定义这里包括了所有的n阶排列，故可以得到全体n阶排列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多，各占一半。

1998

1999201X201X02301011

201X201X201X

2．解

（1）201X

201X1

02?

301101

C3?

1998201X201X

1999201X201X

111

C2?

1111=0；

102?

3010

1011110

00600

0下三角形08

1100

0121

8=96；

（2）

0041

0C3?

C200C?

414

（3）

110

1R2?

R101R?

R0311

1R2401101上三角形23

1R3?

R201X

111100

R4?

R3000

3=；

c2ab?

a2c

2a2bc?

（4）2b2c

R1?

R2?

c2b2c

cb?

c2bc?

提取公因子

1b?

a2c1?

027222

22722

12bc?

b22272

22227

Ri?

R1i?

2,3,4,5

c）2b

（2b）R1R3?

（2c）R1

c）0

22272

=（a?

c）。

27222

0000

25000

20500

201X0

20005

（5）2

C1?

上三角形

x1y1

15?

x1y2x2y2x3y2a

2222

x1y3x2y3x3y3

提取每行的公因子

x1x2x3y1

y2y2y2

y3y3y3

3．解：

（1）x2y1

x3y1

性质4

2a?

12b?

12c?

12d?

12222?

32b?

32c?

32d?

52b?

5C4?

C32c?

5C?

322d?

（2）左端

Ci?

1i?

4,3,2

bcd

abcd2222

1a1

2222a2a2

=0=右端。

an?

1an?

bn?

a1b10?

a20b2?

a1?

（3）?

a2?

b1b2?

b。

Cn?

C2?

C1）=。

if?

2n?

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