小波变化电路的最优化设计Word格式文档下载.docx

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一是“小”，即在时域都具有紧支集或近似紧支集；

二是正负交替的“波动性”，也即直流分量为零。

将小波母函数

进行伸缩和平移，可得

式中，a为伸缩因子；

b为平移因子；

称为小波基函数。

由于伸缩因子a和平移因子b是联系变化的值，因此

也称为连续小波基函数。

将任意

空间中的函数

在小波基下展开，称这种展开为函数

的连续小波变换（CWT），以表达式为

式中，

为

与

的内积；

的共轭；

为小波变换系数，也常记为

。

设小波母函数

，若函数族

满足条件

构成

的正交小波[1]。

1.2小波变换的特点

小波变换是一种窗口大小固定但形状可变，时间和频率也都是可变的时频局部变换方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。

通过尺度从粗到细的不断变化，小波变换可以逐步聚焦到分析对象的任何细节，把任何细微的变化充分展示出来。

小波变换的主要特点是：

（1）具有多分辨率的特点，可以由粗到精地逐步观察信号。

根据这一特性，它常被誉为观察信号的“数学显微镜”。

（2）可以把小波变换看成用基本频率特性为

的带通滤波器在不同尺度a下对信号做滤波。

由于傅里叶变换的尺度特性，如果

的傅里叶变换是

，则

的傅里叶变换为

，因此这组滤波器具有品质因数恒定的特点。

（3）适当地选择基本小波，使

在时域上是有限支撑的，

在频域上也是较集中，便可以使得小波变换在时域、频域都具有表征信号局部特征的能力，因此有利于检测信号的瞬态或奇异点[1]。

第二部分小波去噪的几种方法

2.1小波分解与重构法去噪

设一个噪声污染的信号模型描述为：

S（x）=（f（x）+n1（x））*n2（x）

式中，s（x）表示为降质信号，f（x）表示为原信号，n1（x）表示加性噪声，n2（x）表示乘性噪声。

大多数情况下，信号降质过程可看成是线性不变模型，上式可改写为：

S（x）=f（x）+n（x）

式中，n（x）为高斯白噪声，小波的多分辨分析特性能将信号在不同尺度下进行多分辨率的分解，并将交织在一起的各种不同频率组成的混合信号分解成不同频段的子信号，因而对信号具有按频带处理的能力。

因为噪声n（x）是一个实的、方差为σ2的平稳的高斯白噪声，其小波系数的平均功率与尺度成反比。

并

且它的离散细节信号的幅值随着小波变换级数的增长而不断减少。

对于所有的尺度，白噪声小波变换的离散细节信号系数的反差随着尺度的增加会有规律地减少。

又因为小波变换是线性变换，所以降质信号的小波系数是信号的小波系数和噪声的小波系数的和；

降质信号的离散逼近部分和离散细节部分分别是信号变换后的离散逼近部分和离散细节部分与噪声变换后的离散逼近部分和离散细节部分的和。

因此在消噪过程中，利用信号与白噪声在小波变换后，它们各自的小波系数的性质不同，可以消除或减弱噪声。

小波分析运用在信号去噪处理，主要表现在以下方面：

是针对信号经小波变换后在不同分辨率下呈现不同规律，在不同分辨率下设定不同阈值门限，调整小波系数，达到去除噪声的目的[2]。

利用小波分解与重构去噪的步骤：

1）首先对含噪声信号f（x）进行小波分解，得到小波变换之后的逼近部分

和

细节部分；

2）然后取出第j层的细节部分

，根据选定的阈值

；

3）最后利用逼近部分

和细节部分

利用重构算法进行重构，得到滤波后的信号。

2.2小波变换阈值去噪

由于小波变换的小波基都是紧支集，因此小波变换具有一种“集中”的能力，可以使信号的能量在小波变换域集中于少数系数上，那么相对来说，对这些系数的取值必然大于在小波系数域内能量分散于大量小波系数的噪声的小波系数值，这个意味着对小波系数进行阀值处理可以在小波变换域中去除低于固定幅度的噪声。

小波阀值去噪方法可以分为硬阀值法和软阀值法两种。

其中硬阀值的处理步骤如下：

1）先把信号做小波变换，得到小波系数；

2）计算出阀值，把小波系数的绝对值与阀值进行比较，小于或等于阀值的点设为零，大于阀值的点保持不变；

3）再把处理过的小波系数进行小波变换来重构信号。

软阀值的处理步骤如下：

1）含噪信号进行小波分解，选择合适的小波，确定小波的分解层次M，并对信号进行二进离散小波分解。

可选用Daubichie4小波，可通过正确设计的QFM（正交镜像滤波器）来实现。

2）对信号分解后的各级系数进行适当处理：

对第1到第M层的小波系数，选择一个软阈值，对每一级的小波系数进行阈值量化处理。

3）信号的重构：

对量化处理后的各级小波系数进行信号的小波重构[2]。

2.3平移不变量小波去噪

平移不变量小波去噪法是在阈值法基础上的改进。

虽然用阈值法能取得很好的去噪效果,但在有些情况下,如在信号的不连续邻域,阈值法去噪会表现出视觉上的非自然信号,如伪吉布斯现象,即不连续点附近的信号会在一个特定的目标水平上下跳变。

利用平移不变量法去噪,则可有效地抑制这种现象。

其方法是:

对含噪声信号进行n次循环平移,对平移后的信号进行的阈值法去噪处理,然后再对去噪的结果进行平均,这就是所谓的“平移-去噪-平均”的平移不变量小波去噪法。

对于一个信号xt（0≤t≤n）,Hn={h∶0≤h<

n},用Sh表示对信号xt进行h的时域平移,h是整数,T表示对信号用Donoho的阈值法进行去噪处理,Ave表示“平均”,S-h=（Sh）-1,则n次循环平移的平移不变量小波去噪方法可以表示为

该方法在去除伪吉布斯现象,表现出更好的视觉效果的同时,还能够得到比阈值法去噪更小的均方根误差（RMSE）,并且提高了信噪比（SRN）[3]。

第三部分小波去噪的应用

3.1小波去噪在GPS动态监测数据处理中的应用

试验采用香港理工大学振动平台获得的GPS动态形变监测数据,在Matlab[4-6]平台上进行试验分析。

选择几种常用小波基:

haar小波、daubechies小波（db6,db10）、sym6小波,选择去噪尺度5。

定义原始信号f（n）与去噪后的估计信号f（n）间方差的平方根为均方误差（mm）,即

其中其中,均方误差越小,去噪效果越好。

信噪比（SNR）是测量信号中噪声量度的传统方法,常作为评价去噪质量的指标。

信噪比（dB）可定义为:

式中，

，为真实信号功率,RMSE2为噪声功率。

haar小波去噪后信号具有不连续性。

db6小波、db10小波和sym6小波去噪曲线比haar小波去噪后曲线光滑,但对比发现,sym6小波比db小波保留了更多的细节信息。

而我们希望选择的小波基有最小的均方误差和最大的信噪比,sym6小波的均方误差最小、信噪比最大,满足要求。

建议使用sym6小波对GPS动态形变监测数据进行去噪处理。

3.2小波去噪及其在信号检测中的应用

在信号消噪中,为了估计Lipschitz指数,寻找极大值曲线是必不可少的,从理论上讲,必须对信号进行连续小波变换才能做到这一点.但在二进小波中,可采用简单的adhoc算法寻找模极大值曲线。

如果这两个点在同一个模极大值线上,则称尺度2j上的一个模极大值点“繁殖”了尺度2j+1上的一个模极大值点。

对于尺度2j的一个模极大值点a,如果它与尺度2j+1上的一个模极大值点具有相同的符号,且有较大的幅值,位置也比较靠近,那么就说a为b的“繁殖”点。

这种adhoc算法不够精确,但可节约时间。

从最大尺度2J开始,用adhoc算法向上寻找极大值曲线,将尺度2j+1上不在任一个极大值曲线上极大点去掉。

利用极大值曲线2J至21上对应的极大值点估计Lipschitz指数A。

如果A<

-0.5,则将此极大值线上的点全部去掉（即滤去噪声点）,最后根据重建算法恢复消噪后的信号。

为了提高处理速度,取消了计算Lipschitz指

数过程。

因为Lipschitz指数计算过程采用的最陡下降法是一种迭代算法,相当费时间。

因而将噪声模极大值的消除工作全部包含在adhoc算法中。

具体算法如下（以下的“点”都指模极大值点）。

A.对含噪信号进行二进离散小波变换,所选尺度个数以最大尺度上信号的极值点个数占优且信号的重要奇异点不丢失为准,这里以4个尺度为例.

B.设最大尺度2J上的极值点的最大幅度为M,那么将幅度低于M/J的极大值点去掉,因为在这些点上噪声占优.

C.对于尺度2j上的每一个极值点x0,用以下方法确定尺度2j+1上的“繁殖”点:

a.设x0前后的极值点分别为x1和x2,x1对

应的“繁殖”点为x1,那么x0对应的“繁殖”点将在区间L=（max（x1,x0）,x2）上寻找;

b.在L上与x0同符号的点（a1,a2,⋯,an）中,如果ai满足ai-x0≤aj-x0/3,j=1,2,

⋯,n,j≠i,那么ai为x0的“繁殖”点;

c.如果不存在这样的点,那么幅度最大的同符号点为x0的“繁殖”点.

D.设x0为x0的“繁殖”点,如果x0的幅度是x0的两倍,那么x0和x0将是噪声的极值点而被去掉,否则将作为一个点对而保留（x0,x0）。

E.重复以上的过程直到尺度23,22。

F.在保留的点对中,如果存在（xi,xi）,（xi,xi）,⋯,那么xi,xi,xi⋯将作为信号极大

值线上的点而保留,不满足以上条件的点将去掉。

G.把第一个尺度上的极值点去掉,将第二个尺度上极值点的分布及其幅值完全复制到第一个尺度上去。

H.将保留的极值点用Matllat重建算法恢复信号[8]。

3.3基于小波神经网络的嵌入式语音识别系统

由于噪声的存在，使得训练环境与识别环境不匹配，从而导致语音识别系统的性能降低。

为了克服该缺点，本文使用小波变换解决信号降噪问题。

小波变换具有下列良好特性:

①低熵性:

小波系数的稀疏分布，使信号变换后的熵降低；

②多分辨率特性:

可以非常好地刻画信号的非平稳性，如边缘、尖峰等；

③去相关性:

可取出信号的相关性，且噪声在小波变换后有白化趋势，所以比时域更利于去噪；

④选基灵活性:

由于小波变化可以灵活选择基函数，因此可根据信号特点和去噪要求选择合适的小波。

在小波去噪中，阈值去噪是一种实现简单、效果较好的一种去噪方法。

阈值去噪的思想就是对小波分解后的各层系数中模大于和小于某阈值的系数分别处理，然后对处理完的小波系数再进行反变换，重构出经过去噪后的信号。

语音信号是声压随时间变化的一维信号，其模型可表

示为：

s（k）=f（k）+ε⋅e（k）,k=0,l,…,n-1,

其中,f（k）为有用信号，e（k）为噪声信号，s（k）为含噪信号。

一般而言，小波阈值去噪的过程可分为如下3个步骤[9]:

①信号的小波分解。

选择一个小波并确定分解的层次N,然后对信号进行N层小波分解计算；

②小波分解高频系数的阈值量化。

对各个分解尺度下的高频系数选择一个阈值进行软阈值量化处理；

③一维小波重构。

根据小波分解的底层低频系数和各层高频系数进行一维小波重构。

在以上3个步骤中，最关键的是如何选择阈值及如何进行阈值量化，在某种程度上，它关系到信号降噪的质量。

这里选用Sym8小波对其进行4层分解，采用Heursure阈值选取规则和只调整小波分解的第一层的阈值的重调方法进行降噪，经过实验，取得了良好的去噪效果，为特征参数的提取奠定了基础[10]。

参考文献：

【1】张忠.现代信号处理理论与应用[M].电子工业出版社.2011

【2】王新楼.小波去噪方法分析与Matlab仿真.工业控制计算机.2008年21卷第6期

【3】文　莉、刘正士、葛运建.小波去噪的几种方法.合肥工业大学学报.2002.4

【4】葛哲学,陈仲生.Matlab时频分析技术及其应用.北京:

人民邮电出版社,2006

【5】张志涌.精通Matlab6.5[M].北京:

北京航空航天大学出版社,2003

【6】王济,胡晓.Matlab在振动信号处理中的应用.北京:

中国水利水电出版社,2006

【7】李旋、戴吾蛟、田晓振.小波去噪在GPS动态监测数据处理中的应用.测绘信息与工程.Oct.2007;

32（5）

【8】杨宗凯.小波去噪及其在信号检测中的应用.华中理工大学学报.1997.2

【9】余兆明,查日勇,黄磊,等.图像编码标准H.264技术.北京:

人民邮电出版社,2006

【10】李卫、宋弘、姜天华.基于小波神经网络的嵌入式语音识别系统.通信技术.2010年第06期

【11】MallatS.Theoryformulti-resolutionsignaldecomposition:

Thewaveletrepresentation[J].IEEETransactionsonPatternAnalysisandMachineIntelligence,1989,11（7）:

674-693.

【12】MallatS,HwangWL.Singularitydetectionandprocessingwithwavelets[J].IEEETransactiononInformationTheory,1992,38

（2）:

617-643.