知识点043规律型图形的变化类解答题2Word文件下载.docx
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x=16．
答：
图中三角形的个数是102个，则图中应有16条横截线．
此题考查的知识点是图形数字变化类问题，解题的关键是观察总结规律，此题的规律是，有几条横截线就增加6的几倍的数的三角形．
3．用如图形状的三角形砖，按一定的方式搭起一个金字塔：
（1）观察图形，并填空：
当金字塔分别搭到3层、4层、5层时，所用三角形砖的块数分别为：
9 、 16 、 25 ；
又推断，当金字塔搭了n层时共用去三角形砖 n2 块．
（2）试推断，当金字塔搭到第99层时，底层需要多少三角形砖块；
反之，若底层用了99块三角形砖时，则金字塔能搭几层？
（1）找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
（2）仔细观察底部的三角形的个数可得出一般关系式：
底部三角形数量=2n﹣1，从而可求得答案．
（1）搭到3层、4层、5层时，所用块数分别为：
9、16、25；
搭n层时共用砖1+3+5+…+（2n﹣1）=n2；
（2）①当金字塔搭到共99层时，底层需要的三角形砖块数为：
2×
99﹣1=197；
②若底层用了99块三角形砖时，可设金字塔能搭n层：
2n﹣1=99，
∴n=50（层）．
当金字塔搭到共50层时，底层三角形砖块数刚好为99块．
本题考查了观察规律、总结规律的知识，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
4．四个小动物换座位．一开始，小鼠坐在第1号位子，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号．以后它们不停地交换位子．第一次上下两排交换．第二次是在第一次交换后再左右两排交换．第三次再上下两排交换第四次再左右两排交换…这样一直换下去．问：
第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上？
（参看下图．思考时间30秒）
观察图形，由已知小兔坐在第3号，按要求交换，第一次⇒①，第二次⇒②，第三次⇒④，第四次回到原位③，…，得到的规律是每4次一循环，根据此规律很容易得到第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上．
由已知和图形得知，小兔自第一次交换位子后依次坐在①→②→④→③→①…，得到每4次一循环，
因为，10÷
4=2余2，
所以，第十次交换位子后，小兔坐在和第二次交换的位子相同，即第2号位子上．
第十次交换座位后，小兔坐在第2号位子．
此题考查的知识点是图形的变化类问题，解题的关键是通过观察图形和已知得到规律：
小兔自第一次交换位子后依次坐在①→②→④→③③→①…，得到每4次一循环．
5．用棋子摆出下列一组图形：
（1）填写下表：
图形编号
3
4
5
图中棋子数
8
11
14
17
20
（2）照这样的方式摆下去，写出摆第n个图形所需棋子的枚数；
（3）其中某一图形可能共有2011枚棋子吗？
若不可能，请说明理由；
若可能，请你求出是第几个图形．
（1）首先观察图形数出每个图形的枚数，分别是5，8，11，…，分分析总结得出每个比前一个多3个，根据此填表，
（2）由
（1）得到一个首项为5，公差为3的等差数列，由此可写出摆第n个图形所需棋子的枚数．
（3）根据
（2）得出的代数式判断某一图形可能共有2011枚棋子是否可能．
（1）观察图形，得出枚数分别是，5，8，11，…，每个比前一个多3个，所以图形编号为5，6的棋字子数分别为17，20．
17和20．
（2）由
（1）得，图中棋子数是首项为5，公差为3的等差数列，
所以摆第n个图形所需棋子的枚数为：
5+3（n﹣1）=3n+2．
（3）不可能
由3n+2=2010，
解得：
n=669
，
∵n为整数，
∴n=669
不合题意
故其中某一图形不可能共有2011枚棋子．
此题考查的知识点是图形数字变化类，其关键是得到一个首项为5，公差为3的等差数列，根据
（2）得出的代数式判断某一图形可能共有2011枚棋子是否可能．
6．喜爱数学的小明一天在家里发现他妈妈刚从超市买回来的2块超能皂，小明仔细看了超能皂外包装上的尺寸说明，每块的尺寸均是：
长（a）、宽（b）、高（c）分别是16cm，6cm，3cm．他想起老师讲过关于物体外包装用料最省的问题，就想研究这两块超能皂如何摆放，它的外包装用料才最省？
实践与操作：
小明动手摆放了这2块超能皂摆放情况，发现无论怎样放置，体积都不会发生变化，但是由于摆放位置的不同，它们的外包装用料不同，经过实际操作发现这两块超能皂有3种不同的摆放方式，如图所示：
①请你帮助小明指出图1，图2，图3这3种不同摆放方式的长、宽、高，并计算其外包装用料，填写在下表中（包装接头用料忽略不计）？
：
长（cm）
宽（cm）
高（cm）
表面积（cm2）
图1
图2
图3
探究与思考：
如果现在有4块这样的超能皂，如何摆放使它的外包装用料最省呢？
说说你的理由．
图形的变化类；
几何体的表面积。
阅读型；
方案型。
长方体体积与表面积的变化：
按图1摆放，长宽没变，高发生了变化；
按图2摆放，宽高没变，长发生了变化；
按图3摆放，长高没变，宽发生了变化．在体积不变的情况下，长宽高有一边发生变化，表面积都会有变化．根据变化规律可发现放多块超能皂时外包装的用料情况．
按图1摆放，长为16，宽为6，高为6，表面积=2（16×
6+16×
6+6×
6）=456
按图2摆放，长为32，宽为6，高为3，表面积=2（32×
6+32×
3+6×
3）=612
按图3摆放，长为16，宽为12，高为3，表面积=2（16×
12+16×
3+12×
3）=556
16
2（16×
32
2（32×
6+36×
3）=636
12
3）=552
因此：
按图1摆放，表面积是最小的．
∵长＞宽＞高，∴按图1摆放时，所构成的新长方体的长是最小的，而宽高的变化不是太大，
∴表面积就会小一些．
故4块超能皂时，按图1摆放时，外包装用料最省，即将最大的面重合在一起即可．
本题考查了长方体，在体积不变的情况下，长宽高一边发生变化，表面积会发生变化．
7．用牙签按下图方式搭图．
（1）根据上面的图形，填写下表：
①
②
③
④
⑤
牙签根数
9
18
30
45
（2）第n个图形有多少根牙签？
观察牙签所摆列的图形，图①3根，图②9根，图③18根，从中找出规律，得图④30根，图⑤45根，…，根据规律表示出第n个图形有多少根牙签．
（1）观察图形得：
图①牙签根数：
3=3×
1，
图②牙签根数：
9=3×
（1+2），
图③牙签根数：
18=3×
（1+2+3），
所以，
图④牙签根数：
3×
（1+2+3+4）=30，
图⑤牙签根数：
（1+2+3+4+5）=45，
3，9，18，30，45．
（2）根据
（1）得到的规律，第n个图形的牙签数英表示为：
（1+2+3+4+5+…+n）=3×
（1+n）n=
n（n+1）．
所以第n个图形有
n（n+1）根牙签．
此题考查了图形数字变化规律问题，解题的关键是观察图形得到数字规律，图①牙签根数：
1，图②牙签根数：
（1+2），图③牙签根数：
（1+2+3），图④牙签根数：
（1+2+3+4）=30，图⑤牙签根数：
（1+2+3+4+5）=45．
8．如图，按一定的规律用牙签搭图形：
（1）按如图所示的规律填表：
图形标号
①
④
牙签根数
（2）搭第10个图形需要 155 根牙签．
（3）搭第n个图形需要
根牙签．
（4）如果现有2011颗牙签，那么他按照这种规律从①个图案摆放下去，是否可以摆放成完整的图案后刚好2011颗牙签一颗不剩？
如果可以，那么刚好摆放完成几个完整的图案？
如果不行，那么最多可以摆放多少个完整图案，还剩余几颗牙签？
（只答结果，不说明理由）
（1）第一个图形是围成1个三角形的根数减1，第二个图形是围成（1+2）个三角形的根数减2，第三个图形是围成（1+2+3）个三角形的根数减3，…由此找出搭第n个图形需要（1+2+3+…+n）×
3﹣n=
根牙签；
（2）（3）由
（1）得出的规律解答即可；
（4）由前n项的和的计算公式An=
n（n+1）2代入估算判定解答即可．
（1）如表，
2
7
15
26
（2）第10个图形需
=
=155个；
（3）第n个图形需要（1+2+3+…+n）×
；
（4）由题意得
n（n+1）2=2011，
可知n3＜n（n+1）2=4022＜（n+1）3，
15≤n＜16，
当n=15时，得
n（n+1）2=1920，
2011﹣1920=91（颗），
由以上可知，不可以摆放成完整的图案后刚好2011颗牙签一颗不剩，
当摆放完成15个完整图案，还剩下91颗牙签．
解决此题的关键是数形结合，找出规律，进一步利用通项解决问题．
9．观察下列图形：
图1阴影部分是半径为2与半径为1的圆所围成的圆环；
图2的阴影部分是在图1的基础之上添加的半径为4与半径为3的圆所围成的两个圆环；
以此类推，图3阴影部分分别是半径为：
1、2、3、4…、…、2009、2010的偶数半径与比其小1的半径所围成的所有圆环．
（1）图1阴影部分是 3π ．
（2）图2阴影部分是 10π ．
（3）求图3所有阴影部分的面积（结果都保留π）．
（1）直接利用圆的面积解答即可；
（2）首先利用圆的面积，再进一步因式分解，初步找出规律解答即可；
（3）利用
（1）
（2）的计算方法，找出规律解答即可．
（1）由圆的面积可得π×
（22﹣12）=3π；
（2）π（22﹣12）+π（42﹣32），
=π（2+1）（2﹣1）+π（4+3）（4﹣3），
=π+2π+3π+4π，
=10π；
（3）π（22﹣12）+π（42﹣32）+…+π（20102﹣20092），
=π+2π+3π+…+2009π+2010π，
=（2010+2009+2008+2007+…+4+3+2+1）π，
=2021055π．
图3所有阴影部分的面积为2021055π．
此题主要考查圆的面积公式，平方差公式，连续自然数相加的计算方法．
10．看看谁的观察能力及分析能力在课堂中得到了锻练，它有非常好的规律，等待着你去发现．加油啊，你一定能成功！
探索规律：
用棋子按下面的方式摆出正方形
（1）按图示规律填写下表：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
棋子个数
（2）按照这种方式摆下去，摆第n个正方形需要多少个棋子？
（3）按照这种方式摆下去，摆第20个正方形需要多少个棋子？
（1）易得
（1）
（2）（3）3个图形中棋子的个数，据此得到其余图形中棋子的总数与边数的关系即可；
（2）找到第n个图形中棋子的总数与边数及每边棋子的个数的关系即可；
（3）把n=20代入
（2）得到的关系式计算即可．
（1）图
（1）棋子个数为4；
图
（2）棋子个数为2×
4=8；
图（3）棋子个数为3×
4=12；
图（4）棋子个数为4×
4=16；
图（5）棋子个数为5×
4=20；
图（6）棋子个数为6×
4=24；
（2）第n个正方形需要棋子数为4n；
（3）当n=20时，需要棋子数为20×
4=80．
考查图形的变化规律；
找到棋子总数与正方形的边数4及每边上的棋子的个数的关系是解决本题的关键．
11．观察下列图形及图形所对应的等式，探究其中的规律：
1+8=32；
1+8+16=52；
1+8+16+24= ；
．
（1）在横线上写出第3个图形所对应的算式的结果；
（2）在横线上写出第4个图形所对应的等式；
（3）根据你发现的规律计算1+8+16+24+…+8n（n是正整数）的结果为（用含n的代数式表示）．
由已知条件1+8×
1=32；
1+8×
2=52，直接求出1+8+8×
2+8×
3=72，由1+8=32；
1+8+8×
2=52，1+8+8×
3=72可以发现出第4个是9的平方，进而求出1+8+16+24+…+8n（n是正整数）的结果．
（1）1+8+16+24=72；
（2）∵第1个图形是：
1+8=32，第2个图形是：
1+8+16=52，
第3个图形是：
1+8+16+24=72
由1，2，3得：
分别是3，5，7的平方，可得出第4个是9的平方；
（3）∵由
（2）中分析可知，3，5，7，9…第n个的表示方法为：
2n+1，1+8+16+24+…+8n（n是正整数）=（2n+1）2．
此题主要考查了数的规律性注意由已知发现数字的变化，从而得出一般规律．
12．探索规律：
按照如图方式摆放餐桌和椅子．完成问题：
图形编号
（1）
（2）
（3）
（4）
（10）
（100）
图中座位总数
（2）照这样的方式摆下去，写出摆第n个图形座位的总数．
根据所给的图，正确数出即可，在数的过程中，能够发现多一张桌子多摆4个座，根据这一规律用字母表示即可；
6
10
14
18
42
402
（2）n=1时，6个座位；
n=2时，10个座位；
n=3时，14个座位；
当n张桌子时，可摆（4n+2）个座位．
本题考查规律的总结，解答此类题一定要结合图形发现规律：
多一张桌子多4个座位．把这一规律运用字母表示出来即可．
13．火柴棒按图中所示的方法搭图形．
（1）填写下表
火柴棒根数
（2）搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？
（1）可以从几个图形中数出火柴根数；
（2）规律：
除第一个图形外，每增加一个三角形需要两根火柴．
（1）3、5、7、9、11；
（2）由图形得到：
第一个图形要火柴1+2=3根；
第一个图形要火柴1+2+2=5根；
第一个图形要火柴1+2+2+2=7根；
故第n个图形要火柴1+2+2+…+2=1+2n根．
本题考查了图形的变化类题目，认真观察、分析和归纳总结是解决此题的关键．
14．观察下图找规律．
（1）填出缺少的图形
（2）填按照这样的规律，第21个图中，○在最 下 ．（填“上”“下”“左”“右）
（1）观察所给图形可知：
三角形和圆按逆时针方向绕正方形旋转，继而即可填出缺少的图形；
（2）每4个图形一个循环，则第21个图形与第一个图相同．
（1）填出图形如下所示：
（2）每4个图形一个循环，则第21个图形与第一个图相同，○在最下．
下．
本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，解题关键是找出三角形和圆按逆时针方向绕正方形旋转．
15．如图，圆上有五个点，这五个点将圆分成五等份（每一份称为一段弧长），把这五个点按顺时针方向依次编号为1，2，3，4，5，若从某一点开始，沿圆周顺时针方向行走，点的编号是数字几，就走几段弧长，则称这种走法为一次“移位”．
如：
小明在编号为3的点，那么他应走3段弧长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的点，然后从1→2为第二次“移位”．
（1）①若小明从编号为3的点开始，第三次“移位”后，他到达编号为 4 的点；
②若小明从编号为4的点开始，第一次“移位”后，他到达编号为 3 的点，
若小明从编号为4的点开始，第四次“移位”后，他到达编号为 4 的点，第2012次“移位”后，他到达编号为 4 的点．
（2）若将圆进行二十等份，按照顺时针方向依次编号为1，2，3，…，20，小明从编号为3的点开始，沿顺时针方向行走，经过60次“移位”后，他到达编号为 8 的点．
（1）①根据移位的定义，进行计算即可得解；
②根据移位的定义，结合图形第一次“移位”走4段弧长，然后依次进行计算即可得到第四次“移位”的位置，再根据规律求出第2012次“移位”的位置；
（2）根据移位的定义，找出前几次的移位到达的数字编号，找出规律，然后根据规律即可求出第60次的移位到达的数字编号．
（1）①从编号为3的点开始，第一次“移位”到达1，
第二次“移位”到达2，
第三次“移位”到达4；
②从编号为4的点开始，第一次“移位”到达3，
第二次“移位”到达1，
第三次“移位”到达2，
第四次“移位”到达4；
第五次“移位”到达3，
依此类推，每4次为一组“移位”循环，
∴2012÷
4=503，
∴第2012次“移位”后与第4次移位到达的数字编号相同，为4；
（2）从编号为3的点开始，第一次“移位”到达6，
第二次“移位”到达12，
第三次“移位”到达4，
第四次“移位”到达8，
第五次“移位”到达16，
第六次“移位”到达12；
第七次“移位”到达4，
第八次“移位”到达8，
第九次“移位”到达16，
第10次“移位”到达12，
依此类推，从第二次开始，每4次移位为一组“移位”循环，
∴（60﹣1）÷
4=14…3，
∴60次“移位”后，他到达编号为第15次循环的第三次“移位”，与第四次的移位到达的编号相同，到达8．
（1）①4；
②3，4，4；
（2）8．
本题是对图形变化规律的考查，读懂题目信息，根据“移位”的定义，找出其变化循环的规律是解题的关键．
16．如图，把一个面积为1的正方形分成两个面积为
的长方形，再把其中一个面积为
的长方形分成两个面积为
的正方形，再把其中一个面积为
的正方形分成两个面积为
的长方形，如此进行下去，用图形揭示的规律计算：
（1）计算；
（2）计算：
+…+
．
规律型；
数形结合。
可以看成1﹣
可以看成
﹣
…把所得的数相加即可；
（2）由
（1）得到的规律计算即可．
（1）原式=（1﹣
）+（
）=1﹣
（2）原式=（1﹣
）+…+（
考查规律性的计算；
根据数形结合的方法得到每个分数可以分成的哪2个分数之差是解决本题的关键．
17．如图，将一张正方形纸片剪成四个形状大小一样的小正方形（称为剪一次），然后将其中一个小正方形再按相同的方法剪成四个小正形，再将其中一个小正方形剪成四个小正方形，如反复做下去．
（1）填表：
剪的次数
小正方形个数
（2）若剪了2011次，共剪出多少个小正方形？
（1）易得第一次小正方形的个数，继续剪，则依次在4的基础上增加3；
（2）剪了2011次，那么小正方形的个数是在4的基础上增加了2010个3．
剪的次数
1
3
4
5
小正方形个数
13
16
（2）剪了2011次，共剪出小正方形的个数为4+2010×
3=6034．
得到剪n次后，小正方形的个数是在4的基础上增加（n﹣1）个3的规律是解决本题的关键．
18．现有9棵树，把它们栽成3行，要使每行恰好为4棵，如图所示就是两种不同的栽法．请至少再给出3种不同的栽法．
认识平面图形。
给出的图形是基本图形，那么新方法仍是三角形形状，三条直线交于三点，可得到如下图形．
如图所示．
本题考查了规律型：
图形的变化，需仔细分析题意，结合图形，解题的关键是满足三个交点．
19．让我们一起来探究以下问题：
（1
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