不等式解不等式复习课.docx

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不等式解不等式复习课

不等式·解不等式复习课·教案

教学目标

1．通过复习小结，学生系统地掌握不等式的解法及其内在联系，提高学生的解题技能．

2．通过对各类不等式内在联系的揭示，加深学生对等价转化的认识，为今后进一步学习数学打好基础．

教学重点和难点

解不等式变形过程中等价变换思想的理解和进一步应用．

教学过程

师：

我们已对哪些不等式的解法做了研究？

生：

一元一次不等式；一元二次不等式；简单的一元高次不等式；简单的分式不等式；简单的无理不等式；简单的指数不等式；简单的对数不等式；含有绝对值的不等式．

师：

好．请先看几道题目．

（教师板书，请三位学生到黑板上做，其余学生在笔记本上做题）

解下列不等式：

所以原不等式的解集为（-∞，-1）∪（0，3］．

2．解：

原不等式

所以原不等式的解集为（1，5）．

（待三位学生写完后，教师开始讲评）

师：

好，这三个题解得都很正确．请问做第3题的同学，原题中的底数有2，0.25，4这三个，换底时你为什么选择以4为底呢？

生：

都用大于1的底其单调性看起来比较方便，所以不选0.25；如果用2为底，那么以0.25，4为底的对数换底时真数中都要出现根号，而最后还要把根式变成整式，太麻烦．

师：

那为什么又要把左边减的一项挪到右边去呢？

生：

如果不移过去而直接运算的话，不等号左边的真数将是个分式，最后也得变成整式，同样麻烦．

师：

好．还有，左移项之后不等号右边对数运算时，为什么又多出两个条件x-1＞0和2x-1＞0呢？

在不等式中不是有log4（x-1）（2x-1）一项在，它已包含了（x-1）（2x-1）＞0吗？

生：

是因为x-1＞0且2x-1＞0和（x-1）（2x-1）＞0这两个条件是不等价的．如果略去x-1＞0和2x-1＞0这两个条件将会扩大解的范围．

师：

很好．这些问题都是我们在解不等式的过程中应该注意的．刚才我们分别回顾了简单的分式不等式、无理不等式和对数不等式．在我们学习过的八类不等式中，一元一次不等式和一元二次不等式是最简单、最基本的不等式，而像我们刚才做的这些其他类型的不等式，我们是如何解决的呢？

生：

把它们转化为一元一次或一元二次不等式．

师：

具体来说这个转化的目标是实现的呢？

生：

逐级转化：

超越不等式代数化；无理不等式有理化；分式不等式整式化；高次不等式低次化．

师：

实现这些转化的理论依据是什么？

生：

第一个是利用函数的单调性，后三者是根据不等式的性质．

师：

在这个转化的过程中，最应该注意的是什么？

生：

每一次变换必须是等价变换．

师：

为什么要求这样？

生：

为了保证得到的解集与原不等式的解集相同．

师：

我们在处理方程求解的问题时也遇到过这个问题．那时并不要求等价变换，只要验一下根就可以了．这里不行吗？

生：

不行．因为一般方程的根只有有限的几个，增根可以通过检验的方式找出来．而不等式的解集一般都是无限集，因此非等价变换产生的增根无法由检验来剔除．

师：

说得好．我们来通过几个例题来看看如何用等价变换解不等式．

　　师：

为什么这两种解法得到的解集不一样呢？

师：

正确．这个解法是把题目看成了绝对值不等式，它和例1的解法类似，都是把根号或绝对值号中的式子先看成一个整体来考虑它的范围，这样做比较容易保证等价性．这道题是否还有别的解法呢？

生乙：

有．这道题可以把它看作一个分式不等式，将不等式左边变

的，因此这个不等式可以当作分式不等式来解．那么这两种解法哪个更好呢？

生：

第二种更好算一些．

师：

因此我们解决不等式问题时应先观察题目，在等价转化的前提下尽量选择简捷的途径．请再看一道题．

师：

这道题中的x也参加了对数运算和分式运算．应把它看作哪类不等式？

生：

x参与的对数运算只有logax，把这个整体看成一个未知数，就可以转化成分式不等式了．

师：

好，说说你的解法．

（学生口述，教师板书）

师：

对．在解集的端点中含有字母系数时，要特别注意它们大小的比较．下面大家自己做几个题目．

（教师板书，学生在笔记本上做题）

练习：

解下列不等式：

师：

那如果把题目中的“≥”号改成“＞”号就可以直接去掉了吗？

生：

是．这样不会漏掉解．

师：

试想，即使不影响结论，也是因为忽略的情况凑巧不在解集内．虽然我们要求等价变换的目的是为了保证同解，但不能因为凑巧同解就忽视等价变换．

师：

很好．对于含有字母系数的不等式，我们需要在必要时对字母系数的范围进行讨论；并且在最后确定解集时，要注意对含有字母系数的区间端点的大小比较．

师：

我看到有的同学处理第3题时下手就把两边平方，这样做可以吗？

生：

可以，但不好．如果一平方，不等号右侧就成了四次式，那样过于麻烦了．

师：

那又如何处理呢？

生：

观察不等式，根号内、外的x的二次项、一次项的系数对应成比例，由这可以想到使用换元法．

师：

很好．这个方法我们在处理方程问题时就用过．把你的解法写出来．

（学生板书）

师：

解不等式要立足基本题型，通过等价变换，把它们最终归结为一元一次不等式或一元二次不等式的求解．

课堂教学设计说明

1．作为不等式解法的复习课，我们把等价变换放在突出位置．也就是说，要求每一次变形所得到的不等式和变形前的不等式是等价的．这与课本中有所不同，课本原意是用同解不等式的观点作统帅．这样做有这样做的道理，但操作上有困难．因为两个不等式是否同解，要等解出来以后，从结果才能看清楚，用作为指导性的东西显得有些困难．我们强调等价变换是从过程看，这样做既好操作，也符合逻辑，还容易看清楚，可以引导学生从逻辑上把解不等式理论认识清楚．

2．在本节课中，没有给出不等式的这种分类（见分类表）．因为我们认为应该淡化形式，注重实质，而且表中的不等式也并没有全部涉及到．我们对于各类不等式的要求是不完全相同的，其中一元一次不等式、一元二次不等式分类表：

的解法是最基本的，它是解各类不等式的基础．而解其他类型的不等式，关键在于利用不等式的性质或相关函数的单调性，将其等价变换成一元一次或一元二次不等式（组）再求解．

对于已分类学习研究过的不等式解法，复习并不是简单地罗列各种解法，堆砌各类题型，这只是形式上的表面文章，冲淡了学生对其本质——等价变换的认识．像3道例题，它们并不纯属于哪一类不等式，对于这类问题的讲解，就要引导学生在立足基本题型、基本方法的基础上，抓住内在联系，把握基本思想，有的要通过换元、分类讨论等手段，问题得以解决．