学年度最新苏教版高中数学苏教版必修一学案312 指数函数一Word文件下载.docx
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③ax的系数必须为1；
④指数函数等号右边不会是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数．
知识点二 指数函数的图象和性质
思考 函数的性质包括哪些？
如何探索指数函数的性质？
梳理 指数函数y＝ax（a>
0，且a≠1）的图象和性质
a>
1
0<
a<
图象
性质
（1）定义域：
R
（2）值域：
（0，＋∞）
（3）图象过定点（0,1）
（4）在（－∞，＋∞）上是单调增函数
在（－∞，＋∞）上是单调减函数
类型一 求指数函数的解析式
例1 已知指数函数f（x）的图象过点（3，π），求函数f（x）的解析式．
反思与感悟
（1）根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>
0，a≠1.指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这些要求的都不是指数函数．
（2）要求指数函数f（x）＝ax（a>
0，且a≠1）的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．
跟踪训练1 已知指数函数y＝（2b－3）ax经过点（1,2），求a，b的值．
类型二 求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域
命题角度1 f（ax）型
例2 求下列函数的定义域、值域．
（1）y＝
；
（2）y＝4x－2x＋1.
反思与感悟 解此类题的要点是设ax＝t，利用指数函数的性质求出t的范围．从而把问题转化为y＝f（t）的问题．
跟踪训练2 求下列函数的定义域与值域．
（2）y＝
（a>
0，且a≠1）．
命题角度2 af（x）型
例3 求函数y＝
的定义域、值域．
反思与感悟 y＝af（x）的定义域即f（x）的定义域，求y＝af（x）的值域可先求f（x）的值域，再利用y＝at的单调性结合t＝f（x）的范围求y＝at的范围．
跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域．
（1）y＝0.3
（2）y＝3
.
类型三 指数函数图象的应用
命题角度1 指数函数整体图象
例4 试画出y＝2x＋1的图象，指出它与y＝2x的图象的关系．
反思与感悟 函数y＝ax的图象主要取决于0<
1还是a>
1.但前提是a>
0且a≠1.在此基础上通过平移、伸缩对称等变换，可得到一些常遇到的函数图象．
跟踪训练4 已知函数f（x）＝4＋ax＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是________．
命题角度2 指数函数局部图象
例5 若直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围．
反思与感悟 指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，本例就体现了指数函数图象的“原料”作用．
跟踪训练5 试画出函数y＝a|x|（a>
1）的图象．
1．下列各函数中，为指数函数的是________．（填序号）
①y＝（－3）x；
②y＝－3x；
③y＝3x－1；
④y＝（
）x.
2．若函数y＝（2a－1）x（x是自变量）是指数函数，则a的取值范围是________．
3．函数y＝3－x2的值域是________．
4．函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则a，b的取值范围分别是________．
5．函数f（x）＝
＋
的定义域为________．
1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax（a＞0，且a≠1）这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
2．指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的性质分底数a＞1,0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．
3．由于指数函数y＝ax（a>
0，且a≠1）的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af（x）（a＞0，且a≠1）与函数f（x）的定义域相同．
4．求函数y＝af（x）（a＞0，且a≠1）的值域的方法如下：
（1）换元，令t＝f（x），并求出函数t＝f（x）的定义域；
（2）求t＝f（x）的值域t∈M；
（3）利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 y＝2x.它的底为常数，自变量为实数，在指数位置，而y＝x2恰好反过来．
梳理 函数y＝ax（a>
0，a≠1） R
知识点二
思考 函数的性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性．可以通过描点作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般．
题型探究
例1 解设f（x）＝ax，将点（3，π）代入，得到f（3）＝π，
即a3＝π，解得a＝
，于是f（x）＝
跟踪训练1 解 由指数函数定义可知2b－3＝1，即b＝2.
将点（1,2）代入y＝ax，得a＝2.
例2 解
（1）函数的定义域为R（∵对一切x∈R,3x≠－1）．
∵y＝
＝1－
，
又∵3x>
0,1＋3x>
1，
∴0<
<
1，∴－1<
－
0，
1－
1，∴值域为（0,1）．
（2）函数的定义域为R，
y＝（2x）2－2x＋1＝（2x－
）2＋
∵2x>
0，∴2x＝
，即x＝－1时，y取最小值
，同时y可以取一切大于
的实数，
∴值域为[
，＋∞）．
跟踪训练2 解
（1）∵1－
x≥0，∴
x≤1，解得x≥0，
∴原函数的定义域为[0，＋∞）．
令t＝1－
x（x≥0），则0≤t<
∴0≤
∴原函数的值域为[0,1）．
（2）原函数的定义域为R.
方法一 设ax＝t，则t∈（0，＋∞）．
y＝
＝
∵t>
0，∴t＋1>
1，∴－2<
∴－1<
1.
即原函数的值域为（－1,1）．
方法二 由y＝
0，且a≠1），得ax＝－
∵ax>
0，∴－
>
0，∴－1<
y<
∴原函数的值域是（－1,1）．
例3 解 要使函数有意义，
则x应满足32x－1－
≥0，
即32x－1≥3－2.
∵y＝3x在R上是单调增函数，
∴2x－1≥－2，解得x≥－
故所求函数的定义域为
当x∈
时，
32x－1∈
∴32x－1－
∈[0，＋∞）．
∴原函数的值域为[0，＋∞）．
跟踪训练3 解
（1）由x－1≠0，得x≠1，
所以函数定义域为{x|x≠1}．
由
≠0，得y≠1，
所以函数值域为{y|y>
0且y≠1}．
（2）由5x－1≥0，得x≥
所以函数定义域为{x|x≥
}．
≥0，得y≥1，所以函数值域为{y|y≥1}．
例4 解 y＝2x＋1的图象如图，它是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到．
跟踪训练4 （－1,5）
解析 方法一 当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，此时f（x）＝4＋1＝5.即点P的坐标为（－1,5）．
方法二 y＝ax过定点（0,1），它向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得y＝ax＋1＋4的图象．
∴f（x）的图象过定点P（－1,5）．
例5 解 y＝|2x－1|＝
图象如下：
由图可知，要使直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图象有两个公共点，需
2a<
1，即0<
跟踪训练5 解 函数y＝a|x|是偶函数，当x>
0时，y＝ax.由已知a>
1，图象如图．
当堂训练
1．④ 2.a>
，且a≠1 3.（0,1]
4．0<
1，b<
0 5.（－3,0]
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