高三数学人教新课标理《必考问题13 空间线面位置关系的推理与证明》命题方向把握+命题分析文档格式.docx

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（2）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面．

（3）一条直线与两平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交．

（4）平行于同一条直线的两条直线平行．

（5）平行于同一个平面的两个平面平行．

（6）如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线必与它们的交线平行．

垂直关系的转化

与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图．

在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：

两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化．

必备方法

1．证明平行、垂直问题常常从已知联想到有关判定定理或性质定理，将分析法与综合法综合起来考虑．

2．证明面面平行、垂直时，常转化为线面的平行与垂直，再转化为线线的平行与垂直．

3．使用化归策略可将立体几何问题转化为平面几何问题．

4．正向思维受阻时，可考虑使用反证法．

5．计算题应在计算中融入论证，使证算合一，逻辑严谨．通常计算题是经过“作图、证明、说明、计算”等步骤来完成的，应不缺不漏，清晰、严谨．

此类问题涉及的知识面较广，综合性较强，常考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质，考查学生分析、解决问题的能力，难度中档．

【例1】►如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°

，BC綉

AD，BE綉

AF，G、H分别为FA、FD的中点．

（1）证明：

四边形BCHG是平行四边形；

（2）C，D，F，E四点是否共面？

为什么？

[审题视点]　

[听课记录]

[审题视点]要证明四边形BCHG是平行四边形，只要证明GH綉BC或GB綉HC即可；

要证明C，D，E，F共面，可通过证明四边形CDEF中至少有一组对边平行或两边的延长线相交即可．

（1）证明　由题意知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH綉

AD.

又BC綉

AD，故GH綉BC.所以四边形BCHG是平行四边形．

（2）解　C、D、F、E四点共面．理由如下：

由BE綉

AF，G是FA的中点知，BE綉GF，所以EF綉BG.

由

（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面．

法二　由题设知FA，AB，AD两两互相垂直，如图，以A为坐标原点，以射线AB为x轴正方向，以射线AD为y轴正方向，以射线AF为z轴正方向，建立直角坐标系Axyz.

（1）证明　设AB＝a，BC＝b，BE＝c，则由题设得

A（0,0,0），B（a,0,0），C（a，b,0），

D（0,2b,0），E（a,0，c），G（0,0，c），

H（0，b，c）．

＝（0，b,0），

＝（0，b,0），于是

＝

.

又点G不在直线BC上，所以四边形BCHG是平行四边形．

（2）解　C，D，F，E四点共面．

理由如下：

由题设知F（0,0,2c），所以

＝（－a,0，c），

，又C∉EF，H∈FD，故C，D，E，F四点共面．

解决空间线面位置关系的组合判断题常有以下方法：

（1）借助空间线面位置关系的线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；

（2）借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，肯定或否定某些选项，并作出选择．

【突破训练1】给出下列关于互不相同的直线m，l，n和平面α，β的四个命题：

①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，则l与m不共面；

②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；

③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；

④若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.

其中为真命题的是________（填序号）．

解析　③中l∥m或l，m异面，所以③错误，其他正确．

答案　①②④

此类问题多以多面体为载体，求证线线、线面的平行与垂直，在解答题中往往作为第一问，难度一般不大，适当添加辅助线是解题的常用方法，考查学生灵活应用线线、线面的平行与垂直的相互转化能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例2】►如图所示，正三棱柱A1B1C1ABC中，点D是BC的中点，BC＝

BB1，设B1D∩BC1＝F.求证：

（1）A1C∥平面AB1D；

（2）BC1⊥平面AB1D.

[审题视点]本题可先挖掘正三棱柱中有关的线面平行及垂直关系，第

（1）问可利用“线线平行”或“面面平行”，第

（2）问可利用“线线垂直”来证“线面垂直”．

证明　

（1）连接A1B，设A1B与AB1交于E，连接DE.

∵点D是BC中点，点E是A1B中点，

∴DE∥A1C，∵A1C⊄平面AB1D，

DE⊂平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D.

（2）∵△ABC是正三角形，点D是BC的中点，∴AD⊥BC.

∵平面ABC⊥平面B1BCC1，

平面ABC∩平面B1BCC1＝BC，AD⊂平面ABC，

∴AD⊥平面B1BCC1，

∵BC1⊂平面B1BCC1，∴AD⊥BC1.

∵点D是BC的中点，BC＝

BB1，∴BD＝

BB1.

∵

，∴Rt△B1BD∽Rt△BCC1.

∴∠BDB1＝∠BC1C.

∴∠FBD＋∠BDF＝∠C1BC＋∠BC1C＝90°

∴BC1⊥B1D.因为B1D∩AD＝D，

∴BC1⊥平面AB1D.

将立体几何问题转化为平面几何问题，是解决立体几何问题的很好途径，其中过特殊点作辅助线，构造平面是比较常用的方法．当然，记住公式、定理、概念等基础知识是解决问题的前提．

【突破训练2】（2011·

山东）如

图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°

.证明：

（1）AA1⊥BD；

（2）CC1∥平面A1BD.

证明　

（1）因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以BD⊥D1D，

取AB的中点G，连接DG，

在△ABD中，由AB＝2AD得，

AG＝AD，

又∠BAD＝60°

，所以△ADG为等边三角形．

因此GD＝GB，故∠DBG＝∠GDB，

又∠AGD＝60°

，所以∠GDB＝30°

，

故∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°

＋30°

＝90°

所以BD⊥AD.又AD∩D1D＝D，

所以BD⊥平面ADD1A1，又AA1⊂平面ADD1A1，

故AA1⊥BD.

（2）连接AC，A1C1，设AC∩BD＝E，连接EA1，

因为四边形ABCD为平行四边形，

所以EC＝

AC，

由棱台定义及AB＝2AD＝2A1B1知，

A1C1∥EC且A1C1＝EC，

所以四边形A1ECC1为平行四边形，

因此CC1∥EA1，

又因为EA1⊂平面A1BD，CC1⊄平面A1BD，

所以CC1∥平面A1BD.

此类问题多以多面体为载体，结合线线、线面的位置关系，涉及的知识点多，综合性强，通常考查面面位置关系的判定及性质，考查学生的推理论证能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例3】►如图所示，

在四棱锥PABCD中，△PAB为正三角形，且面PAB⊥面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，∠BCD＝

，AD＝1，BC＝2，E为棱PC的中点．

（1）求证：

DE∥平面PAB；

（2）求证：

平面PAB⊥平面PBC.

[审题视点]

（1）证明线面平行只需在平面内找一条和该直线平行的直线即可，也可转化为经过这条直线的平面和已知平面平行；

（2）证明面面垂直，只需在一个平面内找到另一个平面的垂线．

（1）证明　如图所示，取线段BC的中点F，连接EF、FD.

在△PBC中，E、F分别为PC、CB的中点，∴EF∥PB.

在直角梯形ABCD中，F为CB的中点，

∴BF＝

BC＝1.

又∵AD∥BC，且AD＝1，

∴AD綉BF.

∴四边形ABFD是平行四边形，

∴FD∥AB.

又∵EF∩FD＝F，PB∩BA＝B，

∴平面EFD∥平面PAB.

又∵DE⊂平面EFD，

∴DE∥平面PAB.

（2）证明　在直角梯形中，CB⊥AB，

又∵平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，

∴CB⊥平面PAB.

∵CB⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.

解决空间两个平面位置关系的思维方法是“以退为进”，即面面问题退证为线面问题，再退证为线线问题，充分利用面面、线面、线线相互之间的转化关系．

【突破训练3】（2011·

江苏）如图，

在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°

，E，F分别是AP，AD的中点．求证：

（1）直线EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD.

（1）如图，在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.

又因为EF⊄平面PCD，

PD⊂平面PCD，

所以直线EF∥平面PCD.

（2）连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°

所以△ABD为正三角形．

因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.

因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.

又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.

此类问题通常是把平面图形折叠成空间几何体，并以此为载体考查线线、线面、面面位置关系及有关计算．考查学生的知识迁移能力和空间想象能力，难度较大．

【例4】►（2012·

临沂二模）如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝

AP，D是AP的中点，E、F分别为PC、PD的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥PABCD.

（1）G为线段BC上任一点，求证：

平面EFG⊥平面PAD；

（2）当G为BC的中点时，求证：

AP∥平面EFG.

[审题视点]

（1）转化为证EF⊥平面PAD；

（2）转化为证平面PAB∥平面EFG.

证明　

（1）在直角梯形ABCP中，

∵BC∥AP，BC＝

AP，D为AP的中点，

∴BC綉AD，又AB⊥AP，AB＝BC，

∴四边形ABCD为正方形．

∴CD⊥AP，CD⊥AD，CD⊥PD.

在四棱锥PABCD中，∵E，F分别为PC、PD的中点，

∴EF∥CD、EF⊥AD，EF⊥PD.

又PD∩AD＝D、PD⊂面PAD、AD⊂面PAD.

∴EF⊥面PAD.

又EF⊂面EFG，∴面EFG⊥面PAD.

（2）法一　∵G、F分别为BC和PC中点，∴GF∥BP，

∵GF⊄面PAB，BP⊂面PAB，∴GF∥面PAB.

由

（1）知，EF∥DC，∵AB∥DC，∴EF∥AB，

∵EF⊄面PAB，AB⊂面PAB，∴EF∥面PAB.

∵EF∩GF＝F，EF⊂面EFG，GF⊂面EFG.

∴面EFG∥面PAB.∵PA⊂面PAB，∴PA∥面EFG.

法二　取AD中点H，连接GH、HE.

由

（1）知四边形ABCD为平行四边形，

又G、H分别为BC、AD的中点，∴GH∥CD.

由

（1）知，EF∥CD，∴EF∥GH.

∴四点E、F、G、H共面．

∵E、H分别为PD、AD的中点，∴EH∥PA.

∵PA⊄面EFGH，EH⊂面EFGH，

∴PA∥面EFGH，即PA∥面EFG.

（1）解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．

（2）在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．

【突破训练4】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°

，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.

AB⊥DE；

（2）求三棱锥EABD的侧面积．

（1）证明　在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°

，∴BD＝

＝2

∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.

又∵平面EBD⊥平面ABD，

平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，

∴AB⊥平面EBD.又∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.

（2）解　由

（1）知AB⊥BD.

∵CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥BD.

在Rt△DBE中，∵DB＝2

，DE＝DC＝AB＝2，

∴S△DBE＝

DB·

DE＝2

又∵AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，∴AB⊥BE.

∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝

AB·

BE＝4.

∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD，

而AD⊂平面ABD，∴ED⊥AD，

∴S△ADE＝

AD·

DE＝4.

综上，三棱锥EABD的侧面积S＝8＋2

证明线面关系，严禁跳步作答

证明线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上，通过证明线面垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的．

【示例】►（2012·

北京东城一模）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．

EF∥平面ABC1D1；

EF⊥B1C.

[满分解答]　

（1）连接BD1，如图所示，在△DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，

则EF∥D1B，

∵D1B⊂平面ABC1D1，

EF⊄平面ABC1D1，

∴EF∥平面ABC1D1.（6分）

（2）∵ABCDA1B1C1D1为正方体，

∴AB⊥平面BCC1B1.

∴B1C⊥AB.

又B1C⊥BC1，AB⊂平面ABC1D1，

BC1⊂平面ABC1D1且AB∩BC1＝B，

∴B1C⊥平面ABC1D1，

又∵BD1⊂平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1.

又EF∥BD1，∴EF⊥B1C.（12分）

老师叮咛：

本题失分原因主要有两点：

一是推理论证不严谨，在使用线面位置关系的判定定理、性质定理时忽视定理的使用条件，如由EF∥D1B就直接得出EF∥平面ABC1D1；

二是线面位置关系的证明思路出错，如本题第

（2）问的证明，缺乏转化的思想意识，不知道证明线线垂直可以通过线面垂直达到目的，出现证明上的错误．解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等．

【试一试】（2012·

福州二模）如图，

在四棱锥SABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥底面ABCD，M为SA的中点，N为CD的中点．证明：

（1）平面SBD⊥平面SAC；

（2）直线MN∥平面SBC.

证明　

（1）∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC.

∵SA⊥底面ABCD，∴BD⊥SA.

∵SA∩AC＝A，∴BD⊥平面SAC.

又∵BD⊂平面SBD，∴平面SBD⊥平面SAC.

（2）如图，取SB中点E，连接ME，CE.

∵M为SA中点，

∴ME∥AB且ME＝

AB.

又∵ABCD是菱形，N为CD的中点，

∴CN∥AB且CN＝

CD＝

∴CN綉ME.

∴四边形CNME是平行四边形，∴MN∥CE.

又MN⊄平面SBC，CE⊂平面SBC，

∴直线MN∥平面SBC.