高三数学人教新课标理《必考问题13 空间线面位置关系的推理与证明》命题方向把握+命题分析文档格式.docx

1、（2）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面（3）一条直线与两平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交（4）平行于同一条直线的两条直线平行（5）平行于同一个平面的两个平面平行（6）如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线必与它们的交线平行 垂直关系的转化与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化必备方法1证明平行、垂直问题常常从已知联想到有关判定定理或性质定理，将分析法与综合法综合起来考虑2

2、证明面面平行、垂直时，常转化为线面的平行与垂直，再转化为线线的平行与垂直3使用化归策略可将立体几何问题转化为平面几何问题4正向思维受阻时，可考虑使用反证法5计算题应在计算中融入论证，使证算合一，逻辑严谨通常计算题是经过“作图、证明、说明、计算”等步骤来完成的，应不缺不漏，清晰、严谨此类问题涉及的知识面较广，综合性较强，常考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质，考查学生分析、解决问题的能力，难度中档【例1】 如图所示，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綉AD，BE綉AF，G、H分别为FA、FD的中点（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；

3、（2）C，D，F，E四点是否共面？为什么？审题视点 听课记录审题视点 要证明四边形BCHG是平行四边形，只要证明GH綉BC或GB綉HC即可；要证明C，D，E，F共面，可通过证明四边形CDEF中至少有一组对边平行或两边的延长线相交即可（1）证明由题意知，FGGA，FHHD，所以GH綉AD.又BC綉AD，故GH綉BC.所以四边形BCHG是平行四边形（2）解C、D、F、E四点共面理由如下：由BE綉AF，G是FA的中点知，BE綉GF，所以EF綉BG.由（1）知BGCH，所以EFCH，故EC、FH共面又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面法二由题设知FA，AB，AD两两互相垂直，如图，以A为坐标

4、原点，以射线AB为x轴正方向，以射线AD为y轴正方向，以射线AF为z轴正方向，建立直角坐标系Axyz.（1）证明设ABa，BCb，BEc，则由题设得A（0,0,0），B（a,0,0），C（a，b,0），D（0,2b,0），E（a,0，c），G（0,0，c），H（0，b，c）（0，b,0），（0，b,0），于是.又点G不在直线BC上，所以四边形BCHG是平行四边形（2）解C，D，F，E四点共面理由如下：由题设知F（0,0,2c），所以（a,0，c），又CEF，HFD，故C，D，E，F四点共面 解决空间线面位置关系的组合判断题常有以下方法：（1）借助空间线面位置关系的线面平行、面面平行、线面垂直、

5、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；（2）借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，肯定或否定某些选项，并作出选择【突破训练1】 给出下列关于互不相同的直线m，l，n和平面，的四个命题：若m，lA，点Am，则l与m不共面；若m、l是异面直线，l，m，且nl，nm，则n；若l，m，则lm；若l，m，lmA，l，m，则.其中为真命题的是_（填序号）解析中lm或l，m异面，所以错误，其他正确答案此类问题多以多面体为载体，求证线线、线面的平行与垂直，在解答题中往往作为第一问，难度一般不大，适当添加辅助线是解题的常用方法，考查学生灵活应用线线、线面的

6、平行与垂直的相互转化能力【例2】 如图所示，正三棱柱A1B1C1ABC中，点D是BC的中点，BCBB1，设B1DBC1F.求证：（1）A1C平面AB1D；（2）BC1平面AB1D.审题视点 本题可先挖掘正三棱柱中有关的线面平行及垂直关系，第（1）问可利用“线线平行”或“面面平行”，第（2）问可利用“线线垂直”来证“线面垂直”证明（1）连接A1B，设A1B与AB1交于E，连接DE.点D是BC中点，点E是A1B中点，DEA1C，A1C平面AB1D，DE平面AB1D，A1C平面AB1D.（2）ABC是正三角形，点D是BC的中点，ADBC.平面ABC平面B1BCC1，平面ABC平面B1BCC1BC，A

7、D平面ABC，AD平面B1BCC1，BC1平面B1BCC1，ADBC1.点D是BC的中点，BCBB1，BDBB1.，RtB1BDRtBCC1.BDB1BC1C.FBDBDFC1BCBC1C90BC1B1D.因为B1DADD，BC1平面AB1D. 将立体几何问题转化为平面几何问题，是解决立体几何问题的很好途径，其中过特殊点作辅助线，构造平面是比较常用的方法当然，记住公式、定理、概念等基础知识是解决问题的前提【突破训练2】 （2011山东）如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB2AD，ADA1B1，BAD60.证明：（1）AA1BD；（2）CC

8、1平面A1BD.证明（1）因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，所以BDD1D，取AB的中点G，连接DG，在ABD中，由AB2AD得，AGAD，又BAD60，所以ADG为等边三角形因此GDGB，故DBGGDB，又AGD60，所以GDB30，故ADBADGGDB603090所以BDAD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1，又AA1平面ADD1A1，故AA1BD.（2）连接AC，A1C1，设ACBDE，连接EA1，因为四边形ABCD为平行四边形，所以ECAC，由棱台定义及AB2AD2A1B1知，A1C1EC且A1C1EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形，因此CC1EA1，又因为EA

9、1平面A1BD，CC1平面A1BD，所以CC1平面A1BD.此类问题多以多面体为载体，结合线线、线面的位置关系，涉及的知识点多，综合性强，通常考查面面位置关系的判定及性质，考查学生的推理论证能力【例3】 如图所示，在四棱锥PABCD中，PAB为正三角形，且面PAB面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，且ADBC，BCD，AD1，BC2，E为棱PC的中点（1）求证：DE平面PAB；（2）求证：平面PAB平面PBC.审题视点 （1）证明线面平行只需在平面内找一条和该直线平行的直线即可，也可转化为经过这条直线的平面和已知平面平行；（2）证明面面垂直，只需在一个平面内找到另一个平面的垂线（1）证明如图

10、所示，取线段BC的中点F，连接EF、FD.在PBC中，E、F分别为PC、CB的中点，EFPB.在直角梯形ABCD中，F为CB的中点，BFBC1.又ADBC，且AD1，AD綉BF.四边形ABFD是平行四边形，FDAB.又EFFDF，PBBAB，平面EFD平面PAB.又DE平面EFD，DE平面PAB.（2）证明在直角梯形中，CBAB，又平面PAB平面ABCD，且平面PAB平面ABCDAB，CB平面PAB.CB平面PBC，平面PBC平面PAB. 解决空间两个平面位置关系的思维方法是“以退为进”，即面面问题退证为线面问题，再退证为线线问题，充分利用面面、线面、线线相互之间的转化关系【突破训练3】 （2

11、011江苏）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点求证：（1）直线EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD.（1）如图，在PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EFPD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF平面PCD.（2）连接BD.因为ABAD，BAD60所以ABD为正三角形因为F是AD的中点，所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.此类问题通常是把平面图形折叠成空间几何体，并以此为载体考

12、查线线、线面、面面位置关系及有关计算考查学生的知识迁移能力和空间想象能力，难度较大【例4】 （2012临沂二模）如图，在直角梯形ABCP中，APBC，APAB，ABBCAP，D是AP的中点，E、F分别为PC、PD的中点，将PCD沿CD折起得到四棱锥PABCD.（1）G为线段BC上任一点，求证：平面EFG平面PAD；（2）当G为BC的中点时，求证：AP平面EFG.审题视点 （1）转化为证EF平面PAD；（2）转化为证平面PAB平面EFG.证明（1）在直角梯形ABCP中，BCAP，BCAP，D为AP的中点，BC綉AD，又ABAP，ABBC，四边形ABCD为正方形CDAP，CDAD，CDPD.在四棱

13、锥PABCD中，E，F分别为PC、PD的中点，EFCD、EFAD，EFPD.又PDADD、PD面PAD、AD面PAD.EF面PAD.又EF面EFG，面EFG面PAD.（2）法一G、F分别为BC和PC中点，GFBP，GF面PAB，BP面PAB，GF面PAB.由（1）知，EFDC，ABDC，EFAB，EF面PAB，AB面PAB，EF面PAB.EFGFF，EF面EFG，GF面EFG.面EFG面PAB.PA面PAB，PA面EFG.法二取AD中点H，连接GH、HE.由（1）知四边形ABCD为平行四边形，又G、H分别为BC、AD的中点，GHCD.由（1）知，EFCD，EFGH.四点E、F、G、H共面E、H

14、分别为PD、AD的中点，EHPA.PA面EFGH，EH面EFGH，PA面EFGH，即PA面EFG. （1）解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口（2）在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形【突破训练4】 如图，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2，AD4.将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.ABDE；（2）求三棱锥EABD的侧面积（1）证明在ABD中，AB2，AD4，DAB60，BD2AB2BD2AD2，AB

15、BD.又平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，AB平面EBD.又DE平面EBD，ABDE.（2）解由（1）知ABBD.CDAB，CDBD，从而DEBD.在RtDBE中，DB2，DEDCAB2，SDBEDBDE2又AB平面EBD，BE平面EBD，ABBE.BEBCAD4，SABEABBE4.DEBD，平面EBD平面ABD，ED平面ABD，而AD平面ABD，EDAD，SADEADDE4.综上，三棱锥EABD的侧面积S82证明线面关系，严禁跳步作答证明线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，但分析问题时不能只局限在线上，要

16、把相关的线归结到某个平面上，通过证明线面垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的【示例】 （2012北京东城一模）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点EF平面ABC1D1；EFB1C.满分解答（1）连接BD1，如图所示，在DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，则EFD1B，D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1，EF平面ABC1D1.（6分）（2）ABCDA1B1C1D1为正方体，AB平面BCC1B1.B1CAB.又B1CBC1，AB平面ABC1D1，BC1平面ABC1D1且ABBC1B，B

17、1C平面ABC1D1，又BD1平面ABC1D1，B1CBD1.又EFBD1，EFB1C.（12分）老师叮咛：本题失分原因主要有两点：一是推理论证不严谨，在使用线面位置关系的判定定理、性质定理时忽视定理的使用条件，如由EFD1B就直接得出EF平面ABC1D1；二是线面位置关系的证明思路出错，如本题第（2）问的证明，缺乏转化的思想意识，不知道证明线线垂直可以通过线面垂直达到目的，出现证明上的错误解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等【试一试】 （2012福州二模）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是菱形，SA底面ABCD，M为SA的中点，N为CD的中点证明：（1）平面SBD平面SAC；（2）直线MN平面SBC.证明（1）ABCD是菱形，BDAC.SA底面ABCD，BDSA.SAACA，BD平面SAC.又BD平面SBD，平面SBD平面SAC.（2）如图，取SB中点E，连接ME，CE.M为SA中点，MEAB且MEAB.又ABCD是菱形，N为CD的中点，CNAB且CNCDCN綉ME.四边形CNME是平行四边形，MNCE.又MN平面SBC，CE平面SBC，直线MN平面SBC.