公务员行测数量关系经典总结五Word下载.docx

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15%+x）÷

（200+x）＝20%，解得x＝12.5。

（二）特值法

对于那些比例非常明确的浓度问题，我们可以用特值法来避免分数的出现，从而简化计算步骤。

例题2：

两个相同的瓶子装满某种化学溶液，一个瓶子中溶质与水的体积比是3∶1，另一个瓶子中溶质与水的体积比是4∶1，若把两瓶化学溶液混合，则混合后的溶质和水的体积之比是：

A.31∶9B.7∶2C.31∶40D.20∶11

【答案详解】1＋3=4和1＋4=5的最小公倍数为4×

5=20，且3∶1=15∶5，4∶1=16∶4，设瓶子的容积为20，则混合后溶质和水的体积比为（15＋16）∶（5＋4）=31∶9。

（三）十字交叉法

对于两种溶液混合的结果：

某一溶液相对于混合后溶液，溶质增加；

另一种溶液相对于混合后溶液，溶质减少。

由于总溶质不变，因此增加的溶质等于减少的溶质，这就是十字交叉法的原理。

十字交叉法在之前已经讲过，这里就拿一个例子来说明一下。

例题3：

甲杯中有浓度为17%的溶液400克，乙杯中有浓度为23%的同种溶液600克，现在从甲、乙取出相同质量的溶液，把甲杯取出的倒入乙杯中，把乙杯取出的倒入甲杯中，使甲、乙两杯溶液的浓度相同，问现在两杯溶液浓度是多少？

A.20%B.20.6%C.21.2%D.21.4%

【答案详解】设混合后总浓度为x。

浓度交叉作差对应量

第一部分（甲）17%23%-x400

总浓度（总体平均值）x

第二部分（乙）23%x-17%600

由十字交叉法得

=

，解得x=20.6%。

另外，此题可利用整体法，两杯溶液浓度相同，应该等于它们混合以后的浓度，为

=20.6%。

四、题型精讲

（一）单次蒸发/稀释问题

溶液蒸发降低的是水（溶剂）的含量，也就是增加溶质的浓度。

加水增加的是溶剂的含量，溶质浓度将降低。

这两种情境都需要抓住溶质不变这一点，利用相同溶质的不同比例求解溶剂变化的情况。

例题4：

15克盐放入135克水中，放置一段时间后，盐水重量变为100克，这时盐水的浓度是多少？

浓度比原来提高了百分之几？

A.75%，12.5%B.25%，12.5%C.15%，50%D.50%，62.5%

【答案详解】原来的浓度是15÷

（135+15）×

100%=10%。

水蒸发以后，盐的质量没变，这时盐水的浓度是15÷

100×

100%=15%，浓度比原来提高了（15%－10%）÷

10%=50%。

（二）多次浓度变化问题

这类问题涉及了多次操作使得浓度发生变化，我们其实可以把它转化为多个单次浓度变化问题，其解题的关键在于找到单次操作对浓度变化的递推式，然后直接计算即可。

例题5：

一杯糖水，第一次加入一定量的水后，糖水的含糖百分比变为15%；

第二次又加入同样多的水，糖水的含糖百分比变为12%；

第三次再加入同样多的水，糖水的含糖百分比将变为多少？

A.8%B.9%C.10%D.11%

【答案详解】设第一次加水后糖水总量为100，糖为100×

15%=15，则第二次加水后糖水变为15÷

12%=125，所以每次加入的水为125－100=25，故第三次加水后糖水的含糖百分比为15÷

（125+25）=10%。

例题6：

从装满1000克浓度为50%的酒精瓶中倒出200克酒精，再倒入蒸馏水将瓶加满。

这样反复三次后，瓶中的酒精浓度是多少？

A.22.5%B.24.4%C.25.6%D.27.5%

【答案详解】每次操作后，酒精浓度变为原来的（1000－200）÷

1000=0.8，故反复三次后浓度变为50%×

0.8×

0.8=25.6%。

（三）溶液混合问题

解决此类问题只需要综合十字交叉法和混合溶液特性即可，其关键在于混合前后，两种溶液的总质量和溶质总质量没有发生变化。

例题7：

甲容器中有浓度为4%的盐水150克，乙容器中有某种浓度的盐水若干，从乙中取出450克盐水，放入甲中混合成浓度为8.2%的盐水，那么乙容器中的浓度是多少？

A.9%B.10%C.12%D.9.6%

【答案详解】运用十字交叉法。

设乙容器内溶液浓度为x。

甲：

4%x-8.2%150

8.2%

乙：

x4.2%450

由

，解得x=9.6%。

例题8：

现有一种预防禽流感的药物配置成甲、乙两种不同浓度的消毒溶液。

若从甲中取2100克，乙中取700克，则混合而成的消毒溶液的浓度为3%；

若从甲中取900克，乙中取2700克，则混合而成的消毒溶液的浓度为5%。

则甲、乙两种消毒溶液的浓度分别为：

A.3%，6%B.3%，4%C.2%，6%D.4%，6%

【答案详解】应用溶液混合特性原则，不同配比的甲、乙两种溶液混合后浓度是3%和5%，说明甲、乙中必然有一个浓度小于3%，另外一个浓度大于5%。

据此排除A、B、D，直接选C。

五、核心要点

溶液问题：

浓度=溶质÷

溶液

溶液问题常见的有两种，一种是溶液的混合，这种问题用公式解决；

另外一种是单一溶液的蒸发或稀释，这种题目一般用比例法解决，即利用溶质不变进行求解。

抽屉问题

抽屉问题在国家公务员考试虽不多见，但是它的难度一直比较大，其中的最差思想也能够帮助其他部分解题，因此仍然需要大家记住它的解法。

二、抽屉原理概述

抽屉原理，又叫狄利克雷原理，它是一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决各种有趣的问题，并且常常能够得到令人惊奇的结果。

许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，利用它能很容易得到解决。

那么，什么是抽屉原理呢？

我们先从一个最简单的例子谈起。

将三个苹果放到两只抽屉里，想一想，可能会有什么样的结果呢？

要么在一只抽屉里放两个苹果，而另一只抽屉里放一个苹果；

要么一只抽屉里放有三个苹果，而另一只抽屉里不放。

这两种情况可用一句话概括：

一定有一只抽屉里放入了两个或两个以上的苹果。

虽然哪只抽屉里放入至少两个苹果我们无法断定，但这是无关紧要的，重要的是有这样一只抽屉放入了两个或两个以上的苹果。

如果我们将上面问题做一下变动，例如不是将三个苹果放入两只抽屉里，而是将八个苹果放到七只抽屉里，我们不难发现，这八个苹果无论以怎样的方式放入抽屉，仍然一定会有一只抽屉里至少有两个苹果。

在公务员考试数学运算中，考查抽屉原理问题时，题干通常有“至少……，才能保证……”这样的字眼。

我们下面讲述一下抽屉原理的两个重要结论：

①抽屉原理1

将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品件数不少于2。

（也可以理解为至少有2件物品在同一个抽屉）

②抽屉原理2

将多于m×

n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。

（也可以理解为至少有m+1件物品在同一个抽屉）

三、直接利用抽屉原理解题

（一）利用抽屉原理1

有20位运动员参加长跑，他们的参赛号码分别是1、2、3、…、20，至少要从中选出多少个参赛号码，才能保证至少有两个号码的差是13的倍数？

A.12B.15C.14D.13

【答案详解】若想使两个号码的差是13，考虑将满足这个条件的两个数放在一组，这样的号码分别是{1、14}、{2、15}、{3、16}、{4、17}、{5、18}、{6、19}、{7、20}，共7组。

还剩下号码8、9、10、11、12、13，共6个。

考虑最差的情况，先取出这6个号码，再从前7组中的每一组取1个号码，这样再任意取出1个号码就能保证至少有两个号码的差是13的倍数，共取出了6+7+1=14个号码。

（二）利用抽屉原理2

一个口袋中有50个编上号码的相同的小球，其中编号为1、2、3、4、5的各有10个。

一次至少要取出多少小球，才能保证其中至少有4个号码相同的小球？

A.20个B.25个C.16个D.30个

【答案详解】将1、2、3、4、5五种号码看成5个抽屉。

要保证有一个抽屉中至少有4件物品，根据抽屉原理2，至少要取出5×

3+1=16个小球，才能保证其中至少有4个号码相同的小球。

四、利用最差原则

最差原则说的就是在抽屉问题中，考查最差的情况来求得答案。

因为抽屉原理问题所求多为极端情况，故可以从最差的情况考虑。

从各类公务员考试真题来看，“考虑最差情况”这一方法的使用广泛而且有效。

从一副完整的扑克牌中，至少抽出多少张牌，才能保证至少6张牌的花色相同？

A.21B.22C.23D.24

【答案详解】一副完整的扑克牌包括大王、小王；

红桃、方块、黑桃、梅花各13张，分别是A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K。

要求6张牌的花色相同，考虑最差情况，即红桃、方块、黑桃、梅花各抽出5张，再加上大王、小王，此时共取出了4×

5＋2=22张，此时若再取一张，则一定有一种花色的牌有6张。

即至少取出23张牌，才能保证至少6张牌的花色相同。

一个布袋里有大小相同、颜色不同的一些小球，其中红的10个，白的9个，黄的8个，蓝的2个。

一次至少取多少个球，才能保证有4个相同颜色的球？

A.12B.13C.14D.15

【答案详解】从最坏的情况考虑，红、白、黄三种颜色的球各取了3个，蓝色的球取了2个，这时共取球3×

3+2=11个，若再取1个球，那么不管取到何种颜色的球，都能保证有4个相同颜色的球，故至少要取12个。

五、与排列组合问题结合

某区要从10位候选人中投票选举人大代表，现规定每位选举人必须从这10位中任选两位投票，问至少要有多少位选举人参加投票，才能保证有不少于10位选举人投了相同两位候选人的票？

A．382B．406C．451D．516

【答案详解】从10位候选人中选2人共有C

=45种不同的选法，每种不同的选法即是一个抽屉。

要保证有不少于10位选举人投了相同两位候选人的票，由抽屉原理2知，至少要有45×

9+1=406位选举人投票。

六、与几何问题结合

在一个长4米、宽3米的长方形中，任意撒入5个豆，5个豆中距离最小的两个豆距离的最大值是多少米？

A.5B.4C.3D.2.5

【答案详解】将长方形分成四个全等的小长方形（长为2米，宽为1.5米），若放5个豆的话，则必有2个豆放在同一个小长方形中，二者之间的距离不大于小长方形对角线长，因此5个豆中距离最小的两个豆距离的最大值是2.5米。

行程问题

无论是从题型种类数还是从出现频率来看，行程问题不得不说是数学运算中第一大题型。

行程问题的解题方法十分常规，考生需要对每种题型的解法了如指掌，这样不单单是对行程问题的得分大有帮助，对其他题型也容易触类旁通。

二、解题方法

（一）基础行程问题

已知速度、时间、路程三者中的两个量，求第三个量。

该类型题目比较简单，举一道例题说明。

例题１：

Ａ、Ｂ两地相距１００公里，甲以１０千米／小时的速度从Ａ地出发骑自行车前往Ｂ地。

６小时后，乙开摩托车从Ａ地出发驶向Ｂ地。

问为了使乙不比甲晚到Ｂ地，摩托车每小时至少要行驶多少千米？

Ａ．２４Ｂ．２５Ｃ．２８Ｄ．３０

【答案详解】此题为典型的行程问题。

路程为１００公里，甲车速度为１０千米／小时，则甲车时间为１００÷

１０＝１０小时；

乙车时间不多于１０－６＝４小时，而路程依然是１００公里，则乙的速度不低于１００÷

４＝２５千米／小时。

（二）平均速度问题

平均速度问题一般是指存在多个过程，每个过程物体移动速度不相同，最终求物体全程平均速度的问题。

这类问题最常见的是时间相同和路程相同两种情况。

1、时间相同

公式：

第一个ｔ内运动的速度为ｖ１，第二个ｔ内运动的速度为ｖ２。

例题２：

一辆汽车刚启动时，第１秒内运动２米，第２秒内运动４米，求前２秒内的平均速度。

【答案详解】根据公式，平均速度＝

＝３米／秒。

2、路程相同

第一个路程ｓ以速度ｖ１行驶，第二个路程ｓ以速度ｖ２行驶。

例题３：

张师傅驾驶一辆载重汽车从县城到省城送货，到达省城后马上卸货并随即沿原路返回。

他驾驶这辆汽车去时每小时行５６千米，返回时每小时行６４千米，往返一趟共用去１２小时（在省城卸货所用时间略去不计）。

张师傅在省城和县城之间往返一趟共行多少千米？

【答案详解】张师傅往返一趟共行

×

１２＝７１６．８千米。

（三）相遇问题

相遇问题是研究相向运动中的速度、时间和路程三者之间关系的问题。

一般可以描述为甲从Ａ地到Ｂ地，乙从Ｂ地到Ａ地，然后甲、乙在途中相遇，实质上是两人共同走了Ａ、Ｂ之间这段路程，如果两人同时出发，那么就有Ａ、Ｂ两地的路程＝（甲的速度＋乙的速度）×

相遇时间＝速度和×

相遇时间。

相遇问题的核心是“速度和”问题。

基本公式：

相遇时间＝路程÷

（速度１＋速度２）

速度和＝速度１＋速度２＝路程÷

相遇时间

路程＝（速度１＋速度２）×

1、基础相遇问题

例题４：

两车同时从Ａ、Ｂ两地相向开出，相遇时甲车比乙车多开了６千米。

已知甲、乙两车单独走完全程分别需２小时、３小时，则Ａ、Ｂ两地相距多少千米？

Ａ．２０Ｂ．３０Ｃ．４０Ｄ．５０

【答案详解】设Ａ、Ｂ两地相距ｘ千米，则二者的相遇路程为ｘ千米。

甲车速度为

千米／时，乙车速度为

千米／时，速度和为

＋

＝

千米／时。

相遇时间为ｘ÷

＝１．２小时，则相遇时两车走的路程差为（

－

）×

１．２＝

千米，由题意可得

＝６，解得ｘ＝３０。

2、直线多次相遇问题

甲从Ａ地出发，乙从Ｂ地出发相向而行，两人在Ｃ地相遇，相遇后甲继续走到Ｂ地后返回，乙继续走到Ａ地后返回，第二次在Ｄ地相遇。

由上图可以知道：

在直线道路上不同两地分别同时出发的多次相遇问题中，第ｎ次相遇时，每个人走的路程等于他第一次相遇时所走路程的（２ｎ－１）倍。

例题５：

小赵和小李是两位竞走运动员，小赵从Ａ地出发，小李同时从Ｂ地出发，相向而行，在两地之间往返练习。

第一次相遇地点距Ａ地１．４千米，第二次相遇地点距Ｂ地０．６千米。

当他们两人第四次相遇时，地点距Ａ地有多远？

Ａ．２．６千米Ｂ．２．４千米Ｃ．１．８千米Ｄ．１．５千米

【答案详解】此题为直线多次相遇问题。

考生需要利用相遇问题的性质，首先求出Ａ、Ｂ两地的距离，然后再根据距离求出两人第四次相遇地点与Ａ地的距离。

由下图可知，第一次相遇时，两个人走的总路程为Ａ、Ｂ之间的路程，第二次相遇时，两个人走的总路程为Ａ、Ｂ之间路程的３倍，从而每个人走的路程也为他们第一次相遇所走路程的３倍。

第二次相遇时小赵走了１．４×

３＝４．２千米，由此可知Ａ、Ｂ两地相距４．２－０．６＝３．６千米。

第四次相遇时小赵走了１．４×

７＝９．８千米，９．８＝３．６×

２＋２．６，故第四次相遇时距Ａ地２．６千米。

3、环线多次相遇问题

与直线多次相遇问题不同，环形多次相遇问题每次相遇时所走的路程之和是一圈。

如果最初两个人是从同一点出发，那么第ｎ次相遇时，每个人走的路程等于他第一次相遇时所走路程的ｎ倍。

例题６：

甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形运动，当乙走了１００米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前６０米处又第二次相遇。

求此圆形场地的周长？

Ａ．４２０米Ｂ．４６０米Ｃ．４８０米Ｄ．５００米

【答案详解】当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完

圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完１＋

圈的路程。

所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为１∶３，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的３倍，即１００×

３＝３００米。

所以半圈为３００－６０＝２４０米，故此圆形场地的周长为２４０×

２＝４８０米。

（四）追及问题

追及问题的描述：

有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他，这就产生了“追及问题”。

实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差。

如果设甲走得快，乙走得慢，那么在相同时间内，甲走的距离－乙走的距离＝甲的速度×

时间－乙的速度×

时间＝（甲的速度－乙的速度）×

时间。

通常“追及问题”要考虑速度差。

做题时注意追及路程是指刚开始追及时，两人之间的距离。

追及路程＝速度差×

追及时间

追及时间（同向追及）＝追及路程÷

速度差

例题７：

两辆车从甲地开往乙地，第一辆车以9千米/小时的速度从甲地出发，半个小时后第二辆车以12千米/小时的速度从甲地出发，结果两车同时到达乙地。

问甲、乙两地相距多少千米？

A．15B．18C．20D．24

【答案详解】第二辆车出发时，第一辆车已经走了9÷

2=4.5千米，此时第二辆要追上第一辆车需要4.5÷

（12-9）=1.5小时，故甲、乙两地相距12×

1.5=18千米。

（五）过桥问题

火车过桥问题是行程问题的一种。

首先要弄清楚列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾离桥。

列车过桥的总路程是桥长加车长，这是解决过桥问题的关键。

过桥的路程＝桥长＋车长

车速＝（桥长＋车长）÷

过桥时间

例题８：

一列火车长150米，每秒钟行25米。

全车通过长600米的大桥，需要多少秒？

A．24B．30C．36D．60

【答案详解】火车从车头上桥到车尾离开桥，走了（桥长+车长）的距离，因此全车通过大桥，需要（150+600）÷

25=30秒。

（六）走走停停问题

在有些行程问题中，既有路程上的前后调头，又有时间上的走走停停，同时又有速度上的前后变化。

遇到此类问题，我们应分析其中的运动规律，把整个运动过程分成几段，再仔细分析每一段中的情况，然后再类推到其他各段中去。

这样既可使运动关系明确、简化，又可减少复杂重复的推理及计算。

现在介绍行程问题中的走走停停问题。

例题９：

两城市相距３２８千米，甲、乙两人骑自行车同时从两城出发，相向而行。

甲每小时行２８千米，乙每小时行２２千米，乙在中途修车耽误１小时，然后继续行驶，与甲相遇，求出发到相遇经过多少时间？

【答案详解】乙中途停车的１个小时，走的全部路程为甲１个小时内走的路程，则除去这一小时，甲乙共同走的路程为３２８－２８＝３００千米，所用实际为３００÷

（２８＋２２）＝６小时，则出发到相遇经过时间为６＋１＝７小时。

（七）流水问题

流水问题：

船在江河里航行时，除了本身的速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下讨论船只的航行速度、时间和路程的问题，叫做流水问题。

常见公式：

顺水速度＝船速＋水速

逆水速度＝船速－水速

静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷

２

水速＝（顺水速度－逆水速度）÷

1、基本流水问题

例题１０：

一只船沿河顺水而行的航速为30千米／小时，已知按同样的航速在该河上顺水航行3小时和逆水航行5小时的航程相等，则此船在该河上顺水漂流半小时的航程为：

A.1千米B.2千米C.3千米D.6千米

【答案详解】顺水速度为30千米/小时，逆水速度为30×

3÷

5=18千米/小时，则水速=（30-18）÷

2=6千米/小时。

此船在河上漂流，速度等于水速，所以半小时的航程为6×

=3千米。

注：

船处于漂流状态时，其速度就等于水速。

2、河流中的相遇问题

当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出，它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和。

甲船顺水速度＋乙船逆水速度＝（甲船速＋水速）＋（乙船速－水速）＝甲船船速＋乙船船速。

即两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系。

如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，也只与路程差和船速有关，与水速无关。

甲船顺水速度－乙船顺水速度＝（甲船速＋水速）－（乙船速＋水速）＝甲船速－乙船速。

如果两只船逆向追赶，则有甲船逆水速度－乙船逆水速度＝（甲船速－水速）－（乙船速－水速）＝甲船速－乙船速。

这说明水中相遇、追及问题与在静水中追及问题以及两车在陆地上相遇、追及问题一样。

例题１１：

小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距２千米，假定小船的速度是每小时４千米，水流速度是每小时２千米，那么他们追上水壶需要多少时间？

【答案详解】本题是水中的追及问题，已知路程差是２千米，船在顺水中的速度是船速＋水速。

水壶漂流的速度只等于水速，所以速度差＝船顺水速度－水壶漂流的速度＝（船速＋水速）－水速＝船速。

追及时间=路程差÷

船速＝２÷

４＝０．５小时。

（八）时钟问题

时钟问题相当于封闭曲线上的追及问题。

解题关键是确定分针与时针的初始位置，确定分针与时针的路程差。

①分格思路：

时钟的钟面圆周被均匀分成６０小格，每小格我们称为１分格。

分针每小时走６０分格，即一周；

而时针只走５分格，故分针每分钟走１分格，时针每分钟走

分格。

②度数思路：

从角度观点看，钟面圆周一周是３６０°

，分针每分钟转６°

，时针每分钟转０．５°

。

例题１２：

某人下午六点多从甲地步行去乙地，出发时发现表的时针和分针的夹角为110°

，七点前到达乙地时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是