高三数学理一轮复习考点规范练第三章 导数及其应用 单元质检三 及答案.docx

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高三数学理一轮复习考点规范练第三章导数及其应用单元质检三及答案

单元质检三　导数及其应用

（时间:

100分钟　满分:

150分）

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分）

1.如果一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是（　　）

A.7米/秒B.6米/秒

C.5米/秒D.8米/秒

2.设曲线y=在点（3,2）处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a等于（　　）

A.2B.-2C.D.-

3.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是（　　）

A.m>0B.m<0C.m>1D.m<1

4.已知函数f（x）=-x3+ax2-x-1在R上是减函数,则实数a的取值范围是（　　）

A.（-∞,-]∪[,+∞）

B.[-]

C.（-∞,-）∪（,+∞）

D.（-）

5.函数f（x）=x2+x-lnx的零点的个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

6.（2016山东滨州二模）若f（x）=ae-x-ex为奇函数,则f（x-1）

A.（-∞,0）B.（-∞,2）

C.（2,+∞）D.（0,+∞）

7.已知a≤+lnx对任意x∈恒成立,则a的最大值为（　　）

A.0B.1C.2D.3

8.已知函数f（x）=lnx+tanα的导函数为f'（x）,若方程f'（x）=f（x）的根x0小于1,则α的取值范围为（　　）

A.B.C.D.

9.设f（x）,g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f'（x）g（x）+f（x）g'（x）>0,且g（3）=0,则不等式f（x）g（x）<0的解集是（　　）

A.（-3,0）∪（3,+∞）B.（-3,0）∪（0,3）

C.（-∞,-3）∪（3,+∞）D.（-∞,-3）∪（0,3）

10.已知f（x）是可导的函数,且f'（x）

A.f

（1）e2014f（0）

B.f

（1）>ef（0）,f（2014）>e2014f（0）

C.f

（1）>ef（0）,f（2014）

D.f

（1）

11.若函数f（x）=x2+x+1在区间内有极值点,则实数a的取值范围是（　　）

A.B.C.D.

〚导学号37270560〛

12.（2016江西金太阳考前原创题）若存在两个不相等正实数x,y,使得等式x+a（y-2ex）（lny-lnx）=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.（-∞,0）〚导学号37270561〛

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）

13.函数y=x-x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于　　　　　. 

14.已知函数f（x）=ax3+3x2-x+1在区间（-∞,+∞）内是减函数,则实数a的取值范围是　　　　　. 

15.（2016河南焦作二模）已知f（x）=x3-6x2+9x-abc,a

①f（0）f

（1）<0;②f（0）f

（1）>0;

③f（0）f（3）>0;④f（0）f（3）<0;

⑤f

（1）f（3）>0;⑥f

（1）f（3）<0.

其中正确的结论是　　　　　.（填序号） 

16.已知过点A（1,m）恰能作曲线f（x）=x3-3x的两条切线,则m的值是　　　　　.〚导学号37270562〛 

三、解答题（本大题共6小题,共70分）

17.（10分）设函数f（x）=6x3+3（a+2）x2+2ax.

（1）若f（x）的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,求实数a的值;

（2）是否存在实数a,使得f（x）是（-∞,+∞）内的单调函数?

若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.

〚导学号37270563〛

18.（12分）（2016河北张家口考前模拟）设函数f（x）=ex-1-x-ax2.

（1）若a=0,求f（x）的单调区间;

（2）若当x≥0时,f（x）≥0,求a的取值范围.

〚导学号37270564〛

19.（12分）已知函数f（x）=ex-ax（a为常数）的图象与y轴交于点A,曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为-1.

（1）求a的值及函数f（x）的极值;

（2）证明:

当x>0时,x2

〚导学号37270565〛

20.（12分）（2016河南商丘二模）已知直线y=x+b与函数f（x）=lnx的图象交于两个不同的点A,B,其横坐标分别为x1,x2,且x1

（1）求b的取值范围;

（2）当x2≥2时,证明x1·<2.

〚导学号37270566〛

21.（12分）已知函数f（x）=ex-x2+a,x∈R的图象在x=0处的切线方程为y=bx.（e≈2.71828）

（1）求函数f（x）的解析式;

（2）当x∈R时,求证:

f（x）≥-x2+x;

（3）若f（x）>kx对任意的x∈（0,+∞）恒成立,求实数k的取值范围.

〚导学号37270567〛

22.（12分）（2016湖北优质高中联考）已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a>0,且a≠1）.

（1）求函数f（x）在点（0,f（0））处的切线方程;

（2）求函数f（x）的单调区间;

（3）若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1（e是自然对数的底数）,求实数a的取值范围.

〚导学号37270568〛

参考答案

单元质检三　导数及其应用

1.C　解析根据瞬时速度的意义,可得3s末的瞬时速度是v=s'|t=3=（-1+2t）|t=3=5.

2.B　解析因为y=的导数为y'=,所以曲线在点（3,2）处的切线斜率k=-,又直线ax+y+3=0的斜率为-a,所以-a·=-1,解得a=-2.

3.B　解析求导得y'=ex+m,由于ex>0,若y=ex+mx有极值,则必须使y'的值有正有负,故m<0.

4.B　解析由题意,知f'（x）=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立,故Δ=（2a）2-4×（-3）×（-1）≤0,解得-≤a≤.

5.A　解析由f'（x）=2x+1-=0,得x=或x=-1（舍去）.当0

当x>时,f'（x）>0,f（x）单调递增.则f（x）的最小值为f+ln2>0,所以无零点.

6.D　解析∵f（x）在R上为奇函数,

∴f（0）=0,即a-1=0.∴a=1.

∴f（x）=e-x-ex,

∴f'（x）=-e-x-ex<0.

∴f（x）在R上单调递减.

∴由f（x-1）

得x-1>-1,即x>0.

∴f（x-1）

7.A　解析令f（x）=+lnx,

则f'（x）=.

当x∈时,f'（x）<0;

当x∈（1,2]时,f'（x）>0.

∴f（x）在内单调递减,在（1,2]上单调递增,

∴在x∈上,f（x）min=f

（1）=0,∴a≤0,即a的最大值为0.

8.A　解析∵f（x）=lnx+tanα,

∴f'（x）=.

令f（x）=f'（x）,得lnx+tanα=,

即tanα=-lnx.

设g（x）=-lnx,显然g（x）在（0,+∞）内单调递减,而当x→0时,g（x）→+∞,

故要使满足f'（x）=f（x）的根x0<1,只需tanα>g

（1）=1,

又0<α<,∴α∈.

9.D　解析∵当x<0时,f'（x）g（x）+f（x）·g'（x）>0,即[f（x）g（x）]'>0,

∴当x<0时,f（x）g（x）为增函数,又g（x）是偶函数,且g（3）=0,∴g（-3）=0,

∴f（-3）g（-3）=0.故当x<-3时,f（x）g（x）<0;

因为f（x）g（x）是奇函数,所以当x>0时,f（x）g（x）为增函数,且f（3）g（3）=0,故当0

10.D　解析令g（x）=,则g'（x）='=<0,

故函数g（x）=在R上是减函数,所以g

（1）

即,

故f

（1）

11.C　解析若f（x）=x2+x+1在区间内有极值点,

则f'（x）=x2-ax+1在区间内有零点,且零点不是f'（x）的图象顶点的横坐标.

由x2-ax+1=0,得a=x+.因为x∈,y=x+的值域是,

当a=2时,f'（x）=x2-2x+1=（x-1）2,不合题意.

所以实数a的取值范围是,故选C.

12.A　解析由题意知,a=.

设=t（t>0,且t≠1）,

则a==（2e-t）lnt.

令f（t）=（2e-t）lnt,f（t）≠0,

则f'（t）=-（1+lnt）,

令=（1+lnt）,得t=e,由数形结合可知,当t>e时,f'（t）<0,当00.所以f（t）≤e,且f（t）≠0,所以0<≤e或<0,解得a<0或a≥.

13.　解析由x-x2=0,得x=0或x=1.

因此,所围成的封闭图形的面积为（x-x2）dx=.

14.（-∞,-3]　解析由题意可知f'（x）=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立,

则解得a≤-3.

15.①③⑥　解析∵f（x）=x3-6x2+9x-abc,

∴f'（x）=3x2-12x+9

=3（x-1）（x-3）.

∴当13时,f'（x）>0.

∴f（x）的单调递增区间为（-∞,1）和（3,+∞）,单调递减区间为（1,3）.

∴f（x）极大值=f

（1）=1-6+9-abc=4-abc,

f（x）极小值=f（3）=27-54+27-abc=-abc.

∵f（x）=0有三个解a,b,c,

∴a<1

∴f

（1）=4-abc>0,且f（3）=-abc<0.∴0

∵f（0）=-abc,∴f（0）<0,

∴f（0）f

（1）<0,f（0）f（3）>0,f

（1）·f（3）<0.

16.-3或-2　解析设切点为（a,a3-3a）.

∵f（x）=x3-3x,

∴f'（x）=3x2-3,

∴切线的斜率k=3a2-3,

由点斜式可得切线方程为y-（a3-3a）=（3a2-3）（x-a）.

∵切线过点A（1,m）,

∴m-（a3-3a）=（3a2-3）（1-a）,

即2a3-3a2=-3-m.

∵过点A（1,m）可作曲线y=f（x）的两条切线,

∴关于a的方程2a3-3a2=-3-m有两个不同的根.

令g（x）=2x3-3x2,

∴g'（x）=6x2-6x.

令g'（x）=0,解得x=0或x=1,

当x<0时,g'（x）>0,当01时,g'（x）>0,

∴g（x）在（-∞,0）内单调递增,在（0,1）内单调递减,在（1,+∞）内单调递增,

∴当x=0时,g（x）取得极大值g（0）=0,当x=1时,g（x）取得极小值g

（1）=-1.

关于a的方程2a3-3a2=-3-m有两个不同的根,等价于y=g（x）与y=-3-m的图象有两个不同的交点,

∴-3-m=-1或-3-m=0,解得m=-3或m=-2,

∴实数m的值是-3或-2.

17.解

（1）由题意知f'（x）=18x2+6（a+2）x+2a.

因为x1,x2是f（x）的两个极值点,

所以f'（x1）=f'（x2）=0.

所以x1x2==1,