初二上册整式教案Word下载.docx
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a3·
a2=（a·
a·
a）·
（a·
a）=a5=a3+2．
5m·
5n=
=5m+n．
（让学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙述）．
[生]我们可以发现下列规律：
（一）这三个式子都是底数相同的幂相乘．
（二）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．
am·
an等于什么（m、n都是正整数）？
为什么？
2．议一议
出示投影片
[师生共析]
an表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：
an=
·
=
=am+n
于是有am·
an=am+n（m、n都是正整数），用语言来描述此法则即为：
“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．
[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．
[生]am表示n个a相乘，an表示n个a相乘，am·
an表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有（m+n）个a相乘，根据乘方的意义可得am·
an=am+n．
[例1]计算：
（1）x2·
x5
（2）a·
a6
（3）2×
24×
23（4）xm·
x3m+1
[例2]计算am·
an·
ap后，能找到什么规律？
[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．
3．例题讲解
[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？
[生1]
（1）、
（2）、（4）可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．
[生2]（3）也可以，先算2个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．
[师]接下来我们来看例2．受（3）的启发，能自己解决吗？
与同伴交流一下解题方法．
解法一：
am·
ap=（am·
an）·
ap
=am+n·
ap=am+n+p；
解法二：
ap=am·
（an·
ap）=am·
an+p=am+n+p．
解法三：
ap=
=am+n+p．
评析：
解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还用了乘法的结合律；
解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．
[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加．
[师]是的，能不能用符号表示出来呢？
[生]am1·
am2·
…·
amn=am1+m2+mn
[师]太棒了．那么例1中的第（3）题我们就可以直接应用法则运算了．
2×
23=21+4+3=28．
15．2．3幂的乘方
：
1、计算
（1）（x+y）2·
（x+y）3
（2）x2·
x2·
x+x4·
x
（3）（0.75a）3·
（
a）4（4）x3·
xn-1－xn-2·
x4
教学过程：
通过练习的方式，先让学生复习乘方的知识，并紧接着利用乘方的知识探索新课的内容。
一、探索练习：
1、64表示_________个___________相乘.（62）4表示_________个___________相乘.
a3表示_________个___________相乘.（a2）3表示_________个___________相乘.
2、（62）4=______×
______×
______=______（根据an·
am=anm）=__________
（33）5=_____×
_______×
_____×
____=______（根据an·
（a2）3=_______×
_________×
_______=__________（根据an·
am=anm）=__________
（am）2=________×
_________=__________（根据an·
（am）n=_____×
…×
_____=______（根据an·
即（am）n=______________（其中m、n都是正整数）
通过上面的探索活动,发现了什么?
幂的乘方,底数__________,指数__________.
二、巩固练习：
1、计算下列各题：
（1）（103）3
（2）[（
）3]4（3）[（－6）3]4（4）（x2）5（5）－（a2）7
（6）－（as）3（7）（x3）4·
x2（8）2（x2）n－（xn）2（9）[（x2）3]7
学生在做练习时，不要鼓励他们直接套用公式，而应让学生说明每一步的运算理由，进一步体会乘方的意义与幂的意义。
2、判断题，错误的予以改正。
（1）a5+a5=2a10（）
（2）（s3）3=x6（）
（3）（－3）2·
（－3）4=（－3）6=－36（）
（4）x3+y3=（x+y）3（）
（5）[（m－n）3]4－[（m－n）2]6=0（）
学生通过练习巩固刚刚学习的新知识。
在此基础上加深知识的应用.
三、提高练习：
1、计算①5（P3）4·
（－P2）3+2[（－P）2]4·
（－P5）2
②[（－1）m]2n+1m-1+02002―（―1）1990
2、若（x2）n=x8，则m=_____________.3、若[（x3）m]2=x12，则m=_____________。
4、若xm·
x2m=2，求x9m的值。
5、若a2n=3，求（a3n）4的值。
6、已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.
§
15．2．3积的乘方
[师]还是就上节课开课提出的问题：
若已知一个正方体的棱长为1.1×
103cm，你能计算出它的体积是多少吗？
[生]它的体积应是V=（1.1×
103）3cm3．
[师]这个结果是幂的乘方形式吗？
[生]不是，底数是1.1和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理．
[师]你分析得很有道理，积的乘方如何运算呢？
能不能找到一个运算法则？
有前两节课的探究经验，老师想请同学们自己探索，发现其中的奥秒．
学生探究的经过：
1．
（1）（ab）2=（ab）·
（ab）=（a·
（b·
b）=a2b2，其中第①步是用乘方的意义；
第②步是用乘法的交换律和结合律；
第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出
（2）、（3）题．
（2）（ab）3=（ab）·
（ab）·
（ab）=（a·
b·
b）=a3b3；
（3）（ab）n=
=anbn
2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．
用符号语言叙述便是：
（ab）n=an·
bn（n是正整数）
3．正方体的体积V=（1.1×
103）3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：
V=（1.1×
103）3=1.13×
（103）3=1.13×
103×
3=1.13×
109=1.331×
109（cm3）
通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则：
bn（n为正整数）
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
4．积的乘方法则可以进行逆运算．即：
an·
bn=（ab）n（n为正整数）
分析这个等式：
左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：
同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．
看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．
对于an·
bn=（a·
b）n（n为正整数）的证明如下：
bn=
──幂的意义
=
──乘法交换律、结合律
＝（a·
b）n──乘方的意义
5．[例3]计算
（1）（2a）3=23·
a3=8a3．
（2）（-5b）3=（-5）3·
b3=-125b3．
（3）（xy2）2=x2·
（y2）2=x2·
y2×
2=x2·
y4=x2y4．
（4）（-2x3）4=（-2）4·
（x3）4=16·
x3×
4=16x12．
（学生活动时，老师要深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获）
[师]通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．可以作如下归纳总结：
1．积的乘方法则：
积的乘方等于每一个因式乘方的积．即（ab）n=an·
bn（n为正整数）．
2．三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质．如（abc）n=an·
bn·
cn（n为正整数）．
3．积的乘方法则也可以逆用．即an·
bn=（ab）n，an·
cn=（abc）n，（n为正整数）．
15．3．1平方差公式
[师]你能用简便方法计算下列各题吗？
（1）2001×
1999
（2）998×
1002
[生甲]直接乘比较复杂，我考虑把它化成整百，整千的运算，从而使运算简单，2001可以写成2000+1，1999可以写成2000-1，那么2001×
1999可以看成是多项式的积，根据多项式乘法法则可以很快算出．
[生乙]那么998×
1002=（1000-2）（1000+2）了．
[师]很好，请同学们自己动手运算一下．
[生]
（1）2001×
1999=（2000+1）（2000-1）
=20002-1×
2000+1×
（-1）
=20002-1
=4000000-1
=3999999．
（2）998×
1002=（1000-2）（1000+2）
=10002+1000×
2+（-2）×
1000+（-2）×
2
=10002-22
=1000000-4
=1999996．
[师]2001×
1999=20002-12
998×
1002=10002-22
它们积的结果都是两个数的平方差，那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢？
我们继续进行探索．
计算下列多项式的积．
（1）（x+1）（x-1）
（2）（m+2）（m-2）
（3）（2x+1）（2x-1）（4）（x+5y）（x-5y）
观察上述算式，你发现什么规律？
运算出结果后，你又发现什么规律？
再举两例验证你的发现．（学生讨论，教师引导）
[生甲]上面四个算式中每个因式都是两项．
[生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积．例如算式
（1）是x与1这两个数的和与差的积；
算式
（2）是m与2这两个数的和与差的积；
算式（3）是2x与1这两个数的和与差的积；
算式（4）是x与5y这两个数的和与差的积．
[师]这个发现很重要，请同学们动笔算一下，相信你还会有更大的发现．
[生]解：
（1）（x+1）（x-1）=x2+x-x-1=x2-12
（2）（m+2）（m-2）=m2+2m-2m-2×
2=m2-22
（3）（2x+1）（2x-1）=（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12
（4）（x+5y）（x-5y）=x2+5y·
x-x·
5y-（5y）2
=x2-（5y）2
[生]从刚才的运算我发现：
也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我们前面的简便运算得出的是同一结果．
[师]能不能再举例验证你的发现？
[生]能．例如：
51×
49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12．
即（50+1）（50-1）=502-12．
（-a+b）（-a-b）=（-a）·
（-a）+（-a）·
（-b）+b·
（-a）+b·
（-b）
=（-a）2-b2=a2-b2
这同样可以验证：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
[师]为什么会是这样的呢？
[生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了．
[师]很好．请用一般形式表示上述规律，并对此规律进行证明．
[生]这个规律用符号表示为：
（a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式．
利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明：
（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．
[师]同学们真不简单．老师为你们感到骄傲．能不能给我们发现的规律（a+b）（a-b）=a2-b2起一个名字呢？
[生]最终结果是两个数的平方差，叫它“平方差公式”怎样样？
[师]有道理．这就是我们探究得到的“平方差公式”，请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式．
（出示投影）
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
即：
（a+b）（a-b）=a2-b2
平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用．
在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算
（出示投影片）
例1：
运用平方差公式计算：
（1）（3x+2）（3x-2）
（2）（b+2a）（2a-b）（3）（-x+2y）（-x-2y）
例2：
计算：
（1）102×
98
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
[师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座．
在例1的
（1）中可以把3x看作a，2看作b．
（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22（a+b）（a-b）=a2-b2
同样的方法可以完成
（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如
（2）应先作如下转化：
（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）．
如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．
（作如上分析后，学生可以自己完成两个例题．也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的）
[例1]解：
（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4．
（2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2．
（3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2．
[例2]解：
（1）102×
98=（100+2）（100-2）
=1002-22=10000-4=9996．
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
=y2-22-（y2+5y-y-5）
=y2-4-y2-4y+5
=-4y+1．
[师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么？
[生]我觉得应注意以下几点：
（1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．
（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．
（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．
[生]运算的最后结果应该是最简才行．
Ⅲ．随堂练习
计算：
（1）（a+b）（-b+a）
（2）（-a-b）（a-b）
（3）（3a+2b）（3a-2b）（4）（a5-b2）（a5+b2）
（5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）
Ⅳ．课时小结
通过本节学习我们掌握了如下知识．
（1）平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．这个公式叫做乘法的平方差公式．即（a+b）（a-b）=a2-b2．
（2）公式的结构特征
①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；
②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；
③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：
（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2．
15．3．2．1完全平方公式
（一）
[师]请同学们探究下列问题：
一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，…
（1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？
多多少？
[生]
（1）第一天老人一共给了这些孩子a2糖．
（2）第二天老人一共给了这些孩子b2糖．
（3）第三天老人一共给了这些孩子（a+b）2糖．
（4）孩子们第三天得到的糖块总数与前两天他们得到的糖块总数比较，应用减法．即：
（a+b）2（a2+b2）
我们上一节学了平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2，现在遇到了两个数的和的平方，这倒是个新问题．
[师]老师很欣赏你的观察力，这正是我们这节课要研究的问题．
[师]能不能将（a+b）2转化为我们学过的知识去解决呢？
[生]可以．我们知道a2=a·
a，所以（a+b）2=（a+b）（a+b），这样就转化成多项式与多项式的乘积了．
[师]像研究平方差公式一样，我们探究一下（a+b）2的运算结果有什么规律．
计算下列各式，你能发现什么规律？
（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；
（2）（m+2）2=_______；
（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；
（4）（m-2）2=________；
（5）（a+b）2=________；
（6）（a-b）2=________．
[生甲]
（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+p+p+1=p2+2p+1
（2）（m+2）2=（m+2）（m+2）=m2+2m+m·
2+2×
2=m2+4m+4
（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=p2+p·
（-1）+（-1）·
p+（-1）×
（-1）=p2-2p+1
（4）（m-2）2=（m-2）（m-2）=m2+m·
（-2）+（-2）·
m+（-2）×
（-2）=m2-4m+4
（5）（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2
（6）（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
[生乙]我还发现
（1）结果中的2p=2·
p·
1，
（2）结果中4m=2·
m·
2，（3）、（4）与
（1）、
（2）比较只有一次项有符号之差，（5）、（6）更具有一般性，我认为它可以做公式用．
[师]大家分析得很好．可以用语言叙述吗？
[生]两数和（或差）的平方等于这两数的平方和再加（或减）它们的积的2倍．
[生]它是一个完全平方的形式，能不能叫完全平方公式呢？
[师]很有道理．它和平方差公式一样，使整式运算简便易行．于是我们得到完全平方公式：
文字叙述：
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．
符号叙述：
（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2
其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式．
你能根据图
（1）和图
（2）中的面积说明完全平方公式吗？
[生甲]先看图
（1），可以看出大正方形的边长是a+b．
[生乙]还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．
[生丙]阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2；
另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；
另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；
大正方形的边长是a+b，其面积是（a+b）2．于是就可以得出：
（a+b）2=a2+ab+b2．这正好符合完全平方公式．
[生丁]那么，我们可以用完全相同的方法来研究图
（2）的几何意义了．
如图
（2）中，大正方形的边长是a，它的面积是a2；
矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们的面积都是a·
b；
正方形HCGM的边长是b，其面积就是b2；
正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是（a-b）2．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积．也就是：
（a-b）2=a2-2ab+b2．这也正好符合完全平方公式．
[师]数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一步理解完全平方公式的结构特征．现在，大家可以轻松解开课时提出的老人用糖招待孩子的问题了．
（a+b）2-（a2+b2）
=a2+2ab+b2-a2-b2=2ab．于是得孩子们第三天得到的糖果总数比前两天他们得到的糖果总数多2ab块．
应用举例：
[例1]应用完全平方公式计算：
（1）（4m+n）2
（2）（y-
）2（3）（-a-b）2（4）（b-a）2
[例2]运用完全平方公式计算：
（1）1022
（2）992
分析：
利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；
第二步准确代入公式；
第三步化简．
（1）（4m+n）2=（4m）2+2·
4m·
n+n2=16m2+8mn+n2
（2）方法一：
（y-
）2=y2-2·
y·
+（
）2=y2-y+
方法二：
）2=[y+（-
）]2=y2+2·
（-
）+（-
（3）（-a-b）2=（-a）2-2·
（-a）·
b+b2=a2+2ab+b2
（4）（b-a）2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2
从（3）、（4）的计算可以发现：
（a+b）2=（-a-b）2，（a
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