最新课标XJ湘教版 七年级数学 下册第二学期 教学设计电子教案第四章 相交线与平行线第4单元全章教案文档格式.docx

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【类型一】对平行线的基本事实的理解

下列说法正确的是（　　）

A．经过一点有一条直线与已知直线平行

B．经过一点有无数条直线与已知直线平行

C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行

D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

根据平行线的基本事实：

经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断只有D选项正确．

理解并掌握平行线的基本事实是解题的基础．

【类型二】平行线的基本事实的运用

如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E三点是否共线？

你能说明理由吗？

根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”解答．

解：

C，D，E三点共线．理由如下：

因为过直线AB外一点C有且只有一条直线与AB平行，CD、DE都经过点C且与AB平行，所以点C、D、E三点共线．

“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”是我们后续学习中证明平行线的原始依据．

三、板书设计

从生活中的实例出发引出相交线与平行线的概念，通过观察分析引导学生正确理解平行线的基本事实和推论．本节课重在对知识的理解，教学时注意结合图形

4．1.2　相交直线所成的角

1．理解对顶角的概念，掌握对顶角的性质；

（重点）

2．了解同位角、内错角、同旁内角的概念，能正确识别同位角、内错角、同旁内角．（重点、难点）

如图，两条相交的公路构成四个角，这些角之间有什么关系？

对顶角的识别

下列图形中∠1与∠2互为对顶角的是（　　）

观察∠1与∠2的位置特征，只有C中∠1和∠2同时满足有公共顶点，且∠1的两边是另一个角∠2两边的反向延长线．故选C.

判断对顶角只看两点：

①有公共顶点；

②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线．

对顶角的性质

【类型一】直接求角度

如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°

，∠BOC＝110°

，求∠2的度数．

结合图形，由∠1和∠BOC求得∠BOF的度数，根据对顶角相等可得∠2的度数．

因为∠1＝40°

（已知），所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°

－40°

＝70°

.因为∠BOF＝∠2（对顶角相等），所以∠2＝70°

（等量代换）．

两条相交直线可构成对顶角，这时应注意“对顶角相等”这一隐含的结论．在图形中正确找到对顶角，利用角的和差及平角等关系找到角的等量关系，然后结合已知条件进行转化．

【类型二】结合方程思想求角度

如图，直线AC，EF相交于点O，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内，∠BOE＝

∠EOC，∠DOE＝72°

，求∠AOF的度数．

已知量与未知量的关系较复杂，所以想到列方程解答，根据观察可设∠BOE＝x，则∠AOF＝∠EOC＝2x，则可根据对顶角和邻补角找到等量关系，列方程．

设∠BOE＝x，则∠AOF＝∠EOC＝2x.∵∠AOB与∠BOC互为邻补角，∴∠AOB＝180°

－3x.∵OD平分∠AOB，∴∠DOB＝

∠AOB＝90°

－

x.∵∠DOE＝72°

，∴90°

x＋x＝72°

，解得x＝36°

.∴∠AOF＝2x＝72°

.

在相交线中求角的度数时，就要考虑使用对顶角相等或邻补角互补的性质．若已知关系较复杂，比如出现比例或倍分关系时，可列方程解决角度问题．

同位角、内错角、同旁内角的识别

如图，找出图中∠DEA，∠ADE的同位角、内错角和同旁内角．

结合图形，找出“三线八角”．

图中∠DEA的同位角为∠C、内错角为∠BDE、同旁内角为∠A或∠ADE；

∠ADE的同位角为∠B、内错角为∠CED、同旁内角为∠AED或∠A.

两个角的公共边所在直线为截线，其余两边所在直线是被截的两直线，在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．

1．对顶角

（1）概念；

（2）性质：

对顶角相等．

2．“三线八角”：

同位角、内错角、同旁内角

名称

同位角

内错角

同旁内角

基本

图形

与截线的

位置关系

同旁

两旁

与被截

线的位

置关系

同一方向

内部

图象

形状

“F”型

“Z”型

“U”型

本节课学习了两个内容：

对顶角及其性质和认识同位角、内错角、同旁内角．教学中可让学生自己画这些角，结合图形说出这些角的特征．“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角的识别是难点也是易错点，让学生在学习中不断纠错，不断进步

4．2　平　移

1．通过实例了解平移的概念；

2．理解并掌握平移的性质；

（重点、难点）

3．能按要求作出平移后的图形．（重点）

如图，高铁在笔直的铁轨上向前运行，它的形状和大小发生了变化吗？

平移的概念

【类型一】生活中的平移

下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是（　　）

A．摆动的钟摆

B．在笔直的铁路上行驶的火车

C．随风摆动的旗帜

D．汽车玻璃上雨刷的运动

选项A、C、D中图形的所有点不是按同一方向移动相同的距离，所以不是平移．选项B符合平移的条件，故选B.

把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．注意平移是图形整体沿某一直线方向移动．图形绕某一点的旋转不是平移．

【类型二】图形平移的判断

下列哪个图形是由左图平移得到的（　　）

选项A、B、D是由图形通过旋转得到，只有选项C是平移得到的，故选C.

本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，同学们容易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错．

【类型三】求平移的距离

如图，三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF的位置，若EF＝7cm，CE＝3cm，求平移的距离．

平移的距离可以看作是线段CF的长．

观察图形可知，平移的距离可以看作是线段CF的长．因为EF＝7cm，CE＝3cm，所以平移的距离为CF＝EF－EC＝7－3＝4（cm）．

平移既能产生线段相等，又能产生线段平行，平移前后的两个图形中，对应角相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等．

平移的性质

（2015·

湘潭县期末）如图，已知△ABC的面积为16，BC的长为8，现将△ABC沿BC向右平移m个单位到△A′B′C′的位置．若四边形ABB′A′的面积为20，求m的值．

首先根据三角形的面积，求出△ABC的边BC上的高；

然后根据平行四边形的面积，求出BB′的值，即可求出m的值．

设△ABC的边BC上的高为h，则平行四边形ABB′A′的边BB′上的高为h.∵△ABC的面积为16，BC＝8，∴

×

BC×

h＝16，∴

8×

h＝16，解得h＝4.又∵四边形ABB′A′的面积为20，∴BB′×

4＝20，∴BB′＝20÷

4＝5，∴m＝BB′＝5，即m的值是5.

（1）此题主要考查了平移的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；

②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等．

（2）此题还考查了三角形、平行四边形的面积的求法，要熟练掌握．

平移的作图

将图中的三角形ABC向右平移6格．

分别作出点A、B、C三点向右平移6格后的对应点A′、B′、C′，再顺次连接即可．

如图所示．

（1）平移的作图要注意两个方面：

平移的方向和平移的距离；

（2）作直线型图形平移后的图形，关键是作出平移后的关键点的对应点．

平移

本节课通过生活中的实例引入平移的概念，在学习中，引导学生观察、分析、概括得出平移的性质，并通过例题和练习加深对平移性质的理解．平移的作图是本节课的重点，应让学生加强训练，结合解题中的错误分析原因

4．3　平行线的性质

1．理解平行线的性质；

2．能运用平行线的性质进行推理证明．（重点、难点）

窗户内窗的两条竖直的边是平行的，在推动过程中，两条竖直的边与窗户外框形成的两个角∠1、∠2有什么数量关系？

平行线的性质

【类型一】直接利用平行线的性质求角度

已知：

如图，AB∥CD，BE∥DF，∠B＝65°

，求∠D的度数．

利用“两直线平行，内错角相等，同旁内角互补”的性质可求出结论．

∵AB∥CD，∴∠BED＝∠B＝65°

.∵BE∥FD，∴∠BED＋∠D＝180°

，∴∠D＝180°

－∠BED＝180°

－65°

＝115°

已知平行线求角度，应根据平行线的性质得出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，再结合已知条件进行转化．

【类型二】角平分线与平行线综合求角度

如图，DB∥FG∥EC，∠ACE＝36°

，AP平分∠BAC，∠PAG＝12°

，求∠ABD的度数．

先利用GF∥CE，易求∠CAG，而∠PAG＝12°

，易求∠PAC.AP是∠BAC的角平分线，可求∠BAP，从而可求∠BAG＝36°

＋12°

＝60°

，根据平行线的性质，即可求∠ABD.

∵FG∥EC，∴∠ACE＝∠CAG＝36°

.∵∠PAC＝∠CAG＋∠PAG，∴∠PAC＝36°

＝48°

.∵AP平分∠BAC，∴∠PAC＝∠BAP＝48°

.∵DB∥FG，∴∠ABD＝∠BAG＝∠BAP＋∠PAG＝48°

（1）利用平行线的性质可以得出角之间的相等关系或互补关系，利用角平分线的定义，可以得出角之间的倍分关系；

（2）求角的度数，可把一个角转化为一个与它相等的角或转化为已知角的和差．

平行线性质的应用

【类型一】利用平行线的性质解决长方形的折叠问题

把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，D、C分别在D′、C′的位置上，如图所示，若∠EFG＝55°

，求∠1与∠2的度数．

由∠1＋∠3＋∠4＝180°

和∠3＝∠4＝∠EFG＝55°

，可求∠1.由AD∥BC，得∠1＋∠2＝180°

，可求∠2.

由题意可得∠3＝∠4.因为∠EFG＝55°

，AD∥BC，所以∠3＝∠4＝∠EFG＝55°

，所以∠1＝180°

－∠3－∠4＝180°

－55°

2＝70°

.又因为AD∥BC，所以∠1＋∠2＝180°

，所以∠2＝180°

－∠1＝180°

－70°

＝110°

本题考查图形折叠的性质与平行线性质的应用．由图形的折叠能够得到对应图形的对应角相等，对应线段也相等．根据平行线的性质，可以得到角之间的关系．

【类型二】平行线的性质的实际应用问题

一大门的栏杆如图所示，∠BAE＝90°

，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝________°

过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE，∴∠BCD＋∠1＝180°

.又∵∠BAE＝90°

，BF∥AE，∴∠BAE＋∠ABF＝180°

，∴∠ABF＝90°

.∴∠ABC＋∠BCD＝90°

＋180°

＝270°

.故答案为270.

解本题时既可以过点B作BF∥AE，也可以过点C作CM∥AB，方法不唯一．

平行线的性质是几何证明的基础，教学中注意基本的推理格式的书写，培养学生严谨的逻辑思维能力，鼓励学生勇于尝试．在课堂上，力求体现学生的主体地位，把课堂交给学生，让学生在动口、动手、动脑中学数学

4．4　平行线的判定

第1课时　平行线的判定方法1

1．掌握基本事实：

同位角相等，两直线平行；

2．会用三角板和直尺过直线外一点作这条直线的平行线．

前面我们学习了平行线的性质，知道两直线平行，同位角相等．如果已知同位角相等，那么这两条直线平行吗？

平行线的判定方法1

如图，直线AB、CD分别与EF相交于点G、H，若∠1＝70°

，∠2＝70°

，试说明：

AB∥CD.

要说明AB∥CD，可转化为说明∠1与其同位角相等，∠1的同位角又是∠2的对顶角．

因为∠2＝∠EHD（对顶角相等），∠2＝70°

，所以∠EHD＝70°

.因为∠1＝70°

，所以∠EHD＝∠1，所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．

要说明两条直线平行，到目前为止我们学过的主要有两种方法：

①同位角相等；

②平行线的基本事实或推论．

平行线的判定方法1与性质的综合运用

如图，已知AB∥DC，∠D＝125°

，∠CBE＝55°

，AD与BC平行吗？

为什么？

根据AB∥DC及∠D＝125°

，可求出∠A的度数，从而说明∠A＝∠CBE.再根据同位角相等，两直线平行可得AD∥BC.

AD∥BC.理由如下：

因为AB∥DC（已知），所以∠A＋∠D＝180°

（两直线平行，同旁内角互补）．因为∠D＝125°

（已知），所以∠A＝180°

－∠D＝180°

－125°

＝55°

.因为∠CBE＝55°

（已知），所以∠A＝∠CBE，所以AD∥BC（同位角相等，两直线平行）．

本题综合运用了平行线的性质和判定，由两直线平行得出同旁内角互补（这是平行线的性质），从而说明同位角相等，得到两直线平行（这是平行线的判定）．解题时不可混淆了性质和判定．

平行线的判定方法1：

同位角相等，两直线平行．

解几何题时，重在分析，应结合图形分析题目给出的已知条件．本节课的易错点是学生容易混淆平行线的判定和性质，应着重强调．由角之间的关系得到平行，这是平行线的判定；

由平行得到角之间的关系，这是平行线的性质

第2课时　平行线的判定方法2，3

1．探索并证明平行线的判定方法2，3；

（难点）

2．能运用平行线的判定方法2，3证明两直线平行．（重点）

通过上节课的学习，我们知道：

同位角相等，两直线平行．如果有内错角相等，这时两条直线平行吗？

同旁内角互补呢？

平行线的判定方法2，3

【类型一】利用一次判定证明平行

如图，BE平分∠ABC，且∠1＝∠2，DE∥BC吗？

结合已知条件说明∠2＝∠EBC，从而可得DE∥BC.

DE∥BC.因为BE平分∠ABC，所以∠1＝∠EBC.因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠EBC，所以DE∥BC.

利用角之间的关系说明两直线平行，有三种方法：

同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．解题时能正确识别图形中的“三线八角”，是正确答题的关键．只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．

【类型二】利用两次判定证明平行

兴平期末）如图，已知∠A＝∠F，∠C＝∠D，试说明BD∥CE.

由∠A＝∠F，根据“内错角相等，得两条直线平行”，即AC∥DF；

根据平行线的性质，得∠C＝∠CEF，借助等量代换可以证明∠D＝∠CEF，从而根据同位角相等，证明BD∥CE.

∵∠A＝∠F（已知），∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行），∴∠C＝∠CEF（两直线平行，内错角相等）．∵∠C＝∠D（已知），∴∠D＝∠CEF（等量代换），∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）．

此题综合运用了平行线的判定及性质，比较简单．

平行线的判定与性质的综合运用

如图，已知∠A＝∠F，∠DBA＋∠DEC＝180°

.试问BD是否与CE平行？

先由∠A＝∠F可推出DF∥AC，利用平行线的性质结合已知条件，得到∠DBA＝∠C，进而判断出BD∥EC.

BD∥EC.理由如下：

因为∠A＝∠F，所以DF∥AC，所以∠DEC＋∠C＝180°

.又因为∠DBA＋∠DEC＝180°

，所以∠DBA＝∠C，所以BD∥EC.

由两条直线平行只能得到相应的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，而要判定两直线平行，只能根据相应的同位角相等或内错角相等或同旁内角互补．

平行于同一直线的两直线平行

平行线的判定

本节课学习了平行线的判定，平行线的判定与性质是几何的一个重要内容，初学时学生容易混淆．教师应注意引导学生分析，做到言必有据，书写时应体现几何逻辑思维的严密性．让学生从例题和练习中不断感悟

第1课时　垂　线

1．理解垂线、垂直的概念；

2．掌握垂线的两条性质，并会运用．（重点、难点）

如图是我们教室的一幅图片，黑板相邻两边的夹角等于多少度？

这样的两条边所在的直线有什么位置关系？

垂线

【类型一】垂直与方程综合求角的度数

如图，MO⊥NO，OG平分∠MOP，∠PON＝3∠MOG，求∠GOP的度数．

由于∠PON＝3∠MOG，若设∠MOG＝x°

，则∠PON＝3x°

.OG平分∠MOP可得∠POG＝x°

.又由于MO⊥NO，利用∠MON＋∠MOG＋∠GOP＋∠PON＝360°

可列出关于x的方程，从而求得x的值，进而解决问题．

设∠MOG＝x°

，则∠PON＝3∠MOG＝3x°

.因为MO⊥NO，所以∠MON＝90°

.因为OG平分∠MOP，所以∠GOP＝∠MOG＝x°

.因为∠MON＋∠MOG＋∠GOP＋∠PON＝360°

，所以90＋x＋x＋3x＝360，解得x＝54.所以∠GOP＝54°

当题目中出现形如“∠α＝k∠β”，“∠α∶∠β＝k∶1”这类等式的时候，常考虑设未知数，然后设法找出一个相等关系列出关于未知数的方程，从而解决问题．

【类型二】利用垂线的概念判断直线垂直

如图所示，已知OA⊥OC于点O，∠AOB＝∠COD，试判断OB和OD的位置关系，并说明理由．

由于OA⊥OC，根据垂直的定义，可知∠AOC＝90°

，即∠AOB＋∠BOC＝90°

.又∵∠AOB＝∠COD，则∠COD＋∠BOC＝90°

，即∠BOD＝90°

，再根据垂直的定义，得出OB⊥OD.

OB⊥OD.理由如下：

因为OA⊥OC，所以∠AOC＝90°

.因为∠AOB＝∠COD，所以∠COD＋∠BOC＝90°

，所以∠BOD＝90°

，所以OB⊥OD.

由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角，反过来，由两条直线相交构成的角为直角，可得这两条直线互相垂直．判断两条直线垂直最基本的方法就是说明这两条直线的夹角等于90°

垂线的性质

【类型一】利用垂线的性质判断两直线平行

如图，CD⊥AB于D，点E为BC边上的任意一点，EF⊥AB于F，且∠1＝∠2，那么BC与DG平行吗？

请说明理由．

要说明BC∥DG，可说明∠2＝∠BCD，而∠1＝∠2，故只需说明∠1＝∠BCD，这可由EF与CD都与AB垂直，从而得出EF与CD平行而得到．

BC∥DG.理由如下：

因为CD⊥AB，EF⊥AB，所以CD∥EF，所以∠1＝∠BCD（两直线平行，同位角相等）．又因为∠1＝∠2（已知），所以∠2＝∠BCD，所以BC∥DG（内错角相等，两直线平行）．

要说明两直线平行，除可根据同位角、内错角、同旁内角判定外，还可由垂线的性质得到平行．

【类型二】利用垂线的性质判断两直线垂直

如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2，试说明：

CD⊥AB.

由DG⊥BC，AC⊥BC可得DG∥AC，再结合已知条件可得出EF∥DC，而EF⊥AB，从而有CD⊥AB.

∵DG⊥BC，AC⊥BC，∴DG∥AC，∴∠2＝∠3.∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴EF∥DC.∵EF⊥AB，∴DC⊥AB.

判断两条直线垂直的方法有两种：

①根据垂直的定义，说明相交所成四个角中有一个角为直角；

②利用垂线的性质“在同一平面，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条”．

本节课学习了垂线的概念和垂线的性质，垂直是相交的一种特殊情况，要说明两条相交线的位置关系，一般都是垂直（如本节课的例2）．垂线的两条性质中，不要遗漏条件“在同一平面内”，以保证定理的精确性．对于垂线的概念和性质，要让学生理解记忆

第2课时　垂线段与点到直线的距离

1．掌握垂线的基本事实：

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

2．理解垂线段最短的性质及点到直线的距离的概念．（重点、难点）

如图，要想从图中的点P处修一条小路与公路相连，应怎样修才能使路程最短？

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

扶沟县期中）如图，已知ON垂直于直线l，OM垂直于直线l，所以OM与ON重合，其理由是（　　）

A．两点确定一条直线

B．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C．在同一平面内，过一点只能作一条直线

D．垂线段最短

A.点M、N可以确定一条直线，但不可以确定三点O、M、N都在直线l的垂